Well-poised q超幾何級数のq対称モーメント3
前の記事 の予想について, ChatGPTに質問したところ, すぐに証明が得られたので, 今回はその証明をまとめたいと思う.
\begin{align}
\hat{\mu}^a(w):=-\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-wq^n)(1-aq^n/w)}
\end{align}
とするとき, 非負整数$N\geq 0$に対し,
\begin{align}
&\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_N}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^{-N}\hat{\mu}^a(wq^N)\\
&=\hat{\mu}^a(w)+\frac wa\frac{(a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq^2/bcd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-w^2q^{2n+1}/a)(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_n}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{n+1}}\left(\frac{bcd}{aq}\right)^{n+1}
\end{align}
が成り立つ.
まず, $N=1$の場合を示す. 以下の補題が鍵となっている.
\begin{align}
A(w)&:=\frac{(1-wq/a)(1-wq/b)(1-wq/c)(1-wq/d)}{(1-w)(1-wb/a)(1-wc/a)(1-wd/a)}\frac{bcd}{aq^2}\\
B(w)&:=\frac wa\frac{1-w^2q/a}{(1-w)(1-wb/a)(1-wc/a)(1-wd/a)}\frac{bcd}{aq}\\
r(x)&:=\frac{(1-x)(1-ax/b)(1-ax/c)(1-ax/d)}{x(1-wx)(1-ax/wq)}\\
\rho(x)&:=\frac{(1-ax)(1-bx)(1-cx)(1-dx)}{(1-xq)(1-axq/b)(1-axq/c)(1-axq/d)}\frac{aq^2}{bcd}
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
&\frac{1-ax^2}{(1-wx)(1-ax/w)}-A(w)\frac{1-ax^2}{(1-wxq)(1-ax/wq)}\\
&=B(w)\left(\frac{(1-aq/bcd)(1-ax^2)}{x}+\rho(x)r(xq)-r(x)\right)
\end{align}
が成り立つ.
有理関数の等式なので, 数式処理システムなどを用いることで確認できる.
これを用いると, 以下を示すことができる.
$N=1$のとき, 定理1が成り立つ.
補題2の等式
\begin{align}
&\frac{1-ax^2}{(1-wx)(1-ax/w)}-A(w)\frac{1-ax^2}{(1-wxq)(1-ax/wq)}\\
&=B(w)\left(\frac{(1-aq/bcd)(1-ax^2)}{x}+\rho(x)r(xq)-r(x)\right)
\end{align}
に$x=q^n$を代入して
\begin{align}
\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^n
\end{align}
を掛けて$n\geq 0$において足し合わせると
\begin{align}
&A(w)\hat{\mu}^a(wq)-\hat{\mu}^a(w)\\
&=B(w)(1-aq/bcd)\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n\\
&\qquad+B(w)\sum_{0\leq n}\left(\frac{(a,b,c,d;q)_{n+1}}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_{n+1}}r(q^{n+1})-\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}r(q^n)\right)\\
&=B(w)(1-aq/bcd)\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n
\end{align}
となる(2つ目の等号は望遠鏡和による). ここで,
Rogersの${}_6\phi_5$和公式
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n=\frac{(a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align}
A(w)\hat{\mu}^a(wq)-\hat{\mu}^a(w)&=B(w)\frac{(a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq^2/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
を得る. これは定理1の$N=1$の場合になっている.
これを用いることによって, 定理1を示すことができる.
$N$に関する帰納法を用いる. 固定した$N\geq 1$に対して
\begin{align}
&\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_N}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^{-N}\hat{\mu}^a(wq^N)\\
&=\hat{\mu}^a(w)+\frac wa\frac{(a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq^2/bcd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-w^2q^{2n+1}/a)(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_n}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{n+1}}\left(\frac{bcd}{aq}\right)^{n+1}
\end{align}
が成り立つとする. このとき, $w\mapsto wq$として, 両辺に
\begin{align}
\frac{(1-wq/a)(1-wq/b)(1-wq/c)(1-wq/d)}{(1-w)(1-wb/a)(1-wc/a)(1-wd/a)}\frac{bcd}{aq^2}
\end{align}
を掛けて, 補題3を用いることにより,
\begin{align}
&\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{N+1}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{N+1}}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^{-N-1}\hat{\mu}^a(wq^{N+1})\\
&=\frac{(1-wq/a)(1-wq/b)(1-wq/c)(1-wq/d)}{(1-w)(1-wb/a)(1-wc/a)(1-wd/a)}\frac{bcd}{aq^2}\hat{\mu}^a(wq)+\frac wa\frac{(a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq^2/bcd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-w^2q^{2n+1}/a)(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{n+1}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{n+2}}\left(\frac{bcd}{aq}\right)^{n+2}\\
&=\hat{\mu}^a(w)+\frac wa\frac{(a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq^2/bcd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\left(\left(\sum_{n=0}^0+\sum_{n=1}^{N}\right)\frac{(1-w^2q^{2n+1}/a)(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{n}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{n+1}}\left(\frac{bcd}{aq}\right)^{n+1}\right)\\
&=\hat{\mu}^a(w)+\frac wa\frac{(a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq^2/bcd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N}\frac{(1-w^2q^{2n+1}/a)(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{n}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{n+1}}\left(\frac{bcd}{aq}\right)^{n+1}\\
\end{align}
となって$N+1$の場合が示される. よって, $N$に関する帰納法により示すべき定理を得る.
定理1の証明において, 本質的に重要なのは補題2である. そのような等式を見つける手法については$q$-Zeilbergerのアルゴリズムとして確立されているようである.
