文献あり

『代数函数論』定理1.9（前半）

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

準備

トレースとノルム

$L / K$ を体の有限次拡大とする． $L$ を $K$ 上のベクトル空間とみなしておく．すると $a \in L$ について， $a$ 倍写像は線形写像なので，trace・determinant・特性多項式の概念がある． $a$ 倍写像を線形写像と見たときに得られるこれらの概念を $a$ の $K$ に関する，trace・determinant・特性多項式という．
　 $a$ の $K$ に関する特性多項式について，以下の補題が成り立ちます．

$K$ の有限次拡大体 $L$ の元 $a$ についての特性多項式 $P_{a} (x)$ と $a$ の $K$ に関する最小多項式 $f (x)$ との間には
$P_{a} (x) = f (x)^{[L : K (a)]}$
という関係がある．

基底を固定する． $A$ を $a$ 倍写像の行列表現とする． $f (a) = 0$ より， $f (A) = O$ ．[よって， $f (x)$ の既約性より $f (x)$ は $A$ の最小多項式である．（追記）]ゆえに $P_{a} (x)$ の根は $f (x)$ の根に等しい．ゆえに， $P_{a} (x) | f (x)^{n}$ （ $n = [L : K]$ ）． $f (x)$ の既約性により $P_{a} (x) = f (x)^{r}$ と書ける．最後に， $[L : K] = deg P_{a} (x) = r deg f (x) = r [K (a) : K]$
であることから補題を得る．

$L / K$ を体の拡大， $ν^{'}$ を $K$ の付値 $ν$ の $L$ における任意の拡張とする． $L$ の元 $c$ が
$c^{m} + a_{1} c^{m - 1} + \dots + a_{m} = 0, a_{i} \in K, ν (a_{i}) \geq 0, (i = 1, \dots, m)$
なる方程式を満足するならば， $ν^{'} (c) \geq 0$ である．

$ν^{'} (a_{i}) = ν (a_{i}) \geq 0$ より，
$m ν^{'} (c) = ν^{'} (c^{m}) = ν^{'} (a_{1} c^{m - 1} + \dots + a_{m}) \geq min ((m - i) ν^{'} (c); i = 1, \dots m)$
よって $ν^{'} (c) \geq 0$ である．

本題

参考文献[1]の定理1.9の一部を示します．残りは別の記事でやります．

$K$ を素因子 $P$ に関する完備体， $L$ を $K$ の任意の有限次拡大体とすれば， $P$ の $L$ における拡張がただ一つ存在する．

$L / K$ のノルムを $N$ とし， $P$ に属する正規付値を $ν$ とおく．
$ν^{*} (a) = ν (N (a))$
として得られる $L$ 上の関数を考察する． $a \neq 0$ ならば $N (a) \neq 0$ より， $ν^{*} (a)$ は有理整数．また，明らかに $ν^{*} (0) = \infty$ ．次に $N (a b) = N (a) N (b)$ より， $ν^{*} (a b) = ν^{*} (a) + ν^{*} (b)$ が分かる．次に， $ν^{*} (c) \geq 0$ ならば $ν^{*} (1 + c) \geq 0$ を示せば， $ν^{*}$ が付値を与えることが分かる．
　 $ν^{*} (c) \geq 0$ と仮定する． $c$ が $K$ に関して満足する既約多項式を
$(1) f (x) = x^{m} + a_{1} x^{m - 1} + \dots + a_{m}, f (c) = 0, a_{i} \in K$
とすれば，補題1より， $c$ の $K$ に関する特性多項式 $F (x)$ は $(f (x))^{\frac{n}{m}}$ に等しいので，二つの多項式の定数項を比べて， $N (c) = \pm (a_{m})^{\frac{n}{m}}$ （ここで， $n = [L : K]$ である）．よって
$ν (a_{m}) = \frac{m}{n} ν (N (c)) = \frac{m}{n} ν^{*} (c) \geq 0$
今完備体を考えているので，参考文献[1]の補題1.7より（以前の記事[3]も参照） $ν (a_{i}) \geq 0$ （ $i = 1, \dots, m$ ）．
　さて， $1 + c$ の $K$ に関する特性多項式は $F (x - 1) = (f (x - 1))^{\frac{n}{m}}$ となるので， $F (x - 1)$ の定数項である $N (1 + c)$ は
$N (1 + c) = \pm (f (- 1))^{\frac{n}{m}} = \pm ((- 1)^{m} + a_{1} (- 1)^{m - 1} + \dots a_{m})^{\frac{n}{m}}$
となるので， $ν^{*} (1 + c) \geq 0$ ．
　次に一意性を示す． $P^{''}$ を $P$ の $L$ における任意の拡張とし， $ν^{''}$ を $P^{''}$ に属する $ν$ の拡張とする． $ν^{*} (c) \geq 0$ となる $c \in L$ が $K$ に関して満足する既約方程式を $(1)$ とすれば，すでに証明したように $ν (a_{i}) \geq 0$ （ $i = 1, \dots, m$ ）であるから補題2より， $ν^{″} (c) \geq 0$ である．よって参考文献[1]の補題1.3より（あるいは以前の記事[4]の補題3より）， $ν^{*} \sim ν^{″}$ である．よって $P^{″} = P^{'}$ ．QED