【スピン幾何】Majoranaスピノル

　 スピノルの基本事項

　Majoranaスピノルについて解説します。Majoranaスピノルのスピン表現の実構造の不変空間の元として定義されます。物理的には粒子と反粒子が同じであるフェルミオンのことです。

　まず複素表現の実構造とは以下です。

　複素表現に対していつも実構造があるとは限りません。実構造があるとその不変空間として部分実表現が得られます。

スピン表現に実構造が存在するとき、その不変空間の元としてMajoranaスピノルが定義されます。

　$(\mathrm{\Delta },S)$がMajorana表現であるとき、任意の$\varphi \in S$はMajoranaスピノル${\varphi }_1,{\varphi }_2$により、$\varphi ={\varphi }_1+i{\varphi }_2$と表されます。

　スピン表現$(\mathrm{\Delta },S)$がMajoranaであるとき、実構造$\sigma$に対して、
$${\psi }^C:=\sigma (\psi )$$
と書くことがよくあります。${\psi }^C$は$\psi$の荷電共役(charge conjugate)と呼ばれます。ある複素行列$B$で
$$B^{\ast }B=1,B\mathrm{\Delta }(g{)}^{\ast }=\mathrm{\Delta }(g)B,g\in Spi{n}^{+}(t,s)$$
となるものあり、
$${\psi }^C=B{\psi }^{\ast }$$
と書くことができます。

4次元Minkowskiの場合

　$\mathrm{\Delta }:Spi{n}^{+}(1,3)\to GL({\mathbb{C}}^4)$をスピン表現とするとき、
$$B=-i{\gamma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i{\sigma }_2\\ i{\sigma }_2& 0\end{array}\right)$$
は実構造$\sigma (\psi )={\psi }^C=B{\psi }^{\ast }$を定めます($B$の取り方は一意的ではないです)。このとき、Majoranaスピノルは
$$\psi =\left(\begin{array}{c}\phi \\ i{\sigma }_2{\phi }^{\ast }\end{array}\right),\phi \in S^{+}={\mathbb{C}}^2$$
となります。

　素粒子物理において、Majorana粒子は粒子と反粒子が同一のフェルミオンとして、1937年にエットーレ・マヨラナ(Ettore Majorana)により導入されたようです。現在でもニュートリノがDirac粒子なのかMajorana粒子なのかは分かってないらしいです。