Clausenの公式の3F2への一般化

今回はClausenの公式の${}_3F_2$に対する一般化を示したいと思う. 前の記事 で示した系2は$\frac 32-2n=b+c+d+e+f$として,
\begin{align} &\F65{-n,b,c,d,e,f}{1-n-b,1-n-c,1-n-d,1-n-e,1-n-f}1\\ &=\frac{(e+f,2e,2f)_n}{(e,f,2e+2f)_n}\F98{e+f-\frac 12,\frac{2e+2f+3}4,b+e+f+n-\frac 12,c+e+f+n-\frac 12,d+e+f+n-\frac 12,e,f,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac{2e+2f-1}4,1-n-b,1-n-c,1-n-d,e+\frac 12,f+\frac 12,e+f+\frac{n}2,e+f+\frac{n+1}2}1 \end{align}
と表される. ここで, $b\mapsto 1-n-b,c\mapsto 1-n-c$とすると, 条件は$b+c=d+e+f+\frac 12$となり,
\begin{align} &\F65{-n,1-n-b,1-n-c,d,e,f}{b,c,1-n-d,1-n-e,1-n-f}1\\ &=\frac{(e+f,2e,2f)_n}{(e,f,2e+2f)_n}\F98{e+f-\frac 12,\frac{2e+2f+3}4,b-d,c-d,e,f,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac{2e+2f-1}4,b,c,1-n-d,e+\frac 12,f+\frac 12,e+f+\frac{n}2,e+f+\frac{n+1}2}1 \end{align}
ここで, 左辺は
\begin{align} \F65{-n,1-n-b,1-n-c,d,e,f}{b,c,1-n-d,1-n-e,1-n-f}1&=\frac{n!(b,c)_n}{(d,e,f)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(d,e,f)_k}{k!(b,c)_k}\frac{(d,e,f)_{n-k}}{(n-k)!(b,c)_{n-k}} \end{align}
と表されるから,
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{(d,e,f)_k}{k!(b,c)_k}\frac{(d,e,f)_{n-k}}{(n-k)!(b,c)_{n-k}}\\ &=\frac{(d,e+f,2e,2f)_n}{n!(b,c,2e+2f)_n}\F98{e+f-\frac 12,\frac{2e+2f+3}4,b-d,c-d,d+e+f+n-\frac 12,e,f,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac{2e+2f-1}4,b,c,1-n-d,e+\frac 12,f+\frac 12,e+f+\frac{n}2,e+f+\frac{n+1}2}1 \end{align}
を得る. よって, 変数を置き換えて両辺の母関数を考えることにより以下を得る.

Baileyの変換公式 より$n$が偶数のとき, $n=2k$のとき,
\begin{align} &\F98{b+c-\frac 12,\frac{2b+2c+3}4,d-a,e-a,a+b+c+n-\frac 12,b,c,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac{2b+2c-1}4,d,e,1-n-a,b+\frac 12,c+\frac 12,b+c+\frac n2,b+c+\frac{n+1}2}1\\ &=\frac{\left(b+c+\frac 12,a,\frac 32-d-2k,\frac 32-e-2k\right)_k}{\left(d,e,\frac 32-a-2k,\frac 32+a-d-e-2k\right)_k}\\ &\qquad\cdot\F98{\frac 12-a-n,\frac{5-2a-2n}4,d-a,e-a,\frac 12,1-a-b-n,1-a-c-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac{1-2a-2n}4,\frac 32-d-n,\frac 32-e-n,1-a-n,b+\frac 12,c+\frac 12,\frac 32-a-\frac n2,1-a-\frac n2}{1}\\ &=\frac{\left(b+c+\frac 12,a,d-\frac 12+k,e-\frac 12+k\right)_k}{\left(d,e,a+k-\frac 12,b+c+k\right)_k}\\ &\qquad\cdot\F98{\frac 12-a-n,\frac{5-2a-2n}4,d-a,e-a,\frac 12,1-a-b-n,1-a-c-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac{1-2a-2n}4,\frac 32-d-n,\frac 32-e-n,1-a-n,b+\frac 12,c+\frac 12,\frac 32-a-\frac n2,1-a-\frac n2}{1}\\ &=\frac{\left(2b+2c,2a-1,d-\frac 12,e-\frac 12\right)_n}{\left(2d-1,2e-1,a-\frac 12,b+c\right)_n}\\ &\qquad\cdot\F98{\frac 12-a-n,\frac{5-2a-2n}4,d-a,e-a,\frac 12,1-a-b-n,1-a-c-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac{1-2a-2n}4,\frac 32-d-n,\frac 32-e-n,1-a-n,b+\frac 12,c+\frac 12,\frac 32-a-\frac n2,1-a-\frac n2}{1} \end{align}
となる. $n$が奇数の場合も同様である. よって, これを定理1に代入して以下が得られる.

定理1, 定理2において, $e=a$とすると
\begin{align} \F21{b,c}{b+c+\frac 12}{x}^2&=\sum_{0\leq n}\frac{(2b,2c,b+c)_n}{n!\left(b+c+\frac 12,2b+2c\right)_n}x^n\\ &=\F32{2b,2c,b+c}{b+c+\frac 12,2b+2c}x \end{align}
となって確かにClausenの公式が得られることが分かる. さらに定理2において$a,e$以外を固定して$a\to\infty$とすると,
\begin{align} \F21{b,c}{d}{x}^2&=\sum_{0\leq n}\frac{(2b,2c,d-\frac 12)_n}{n!(d,2d-1)_n}x^n\F43{\frac 12+b+c-d,\frac 12,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac 32-d-n,b+\frac 12,c+\frac 12}{1} \end{align}
を得る. 定理1は${}_9F_8$の$n$に依存している成分が少ないという利点があり, 定理2にはChaundyの公式を含んでいるという利点がある.

${}_2F_1$の4乗になる場合

定理1, 定理2の左辺の${}_3F_2$がClausenの公式により
\begin{align} \F21{a,b}{a+b+\frac 12}{x}^2=\F32{2a,2b,a+b}{a+b+\frac 12,2a+2b}x \end{align}
となっている場合を考える. そのとき, $a,b$に関して対称になるように変数を選んで, 定理1, 定理2は以下のようになる.

上の${}_3F_2$において, $a\mapsto\frac a2,b\mapsto\frac{1-a}2$とした場合の
\begin{align} \F32{\frac 12,a,1-a}{1,1}x \end{align}
はモジュラー形式との関係などで特に重要である. その場合, 定理3の2つ目の式は以下のようになる.
\begin{align} \F32{\frac 12,a,1-a}{1,1}{x}^2 &=1+\sum_{0< n}\frac{\left(\frac 12,\frac 12,\frac 12,2a,2-2a\right)_n}{n!^5}x^n\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\frac{\left(-n,\frac 12,\frac 12,\frac 12,\frac 12-a-n,a-\frac 12-n\right)_k}{k!\left(\frac 12-n,\frac 12-n,\frac 12-n,a+\frac 12,\frac 32-a\right)_k}(2-\delta_{k,\frac n2})\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{\left(2a,2-2a,\frac 12+a,\frac 32-a\right)_n}{n!^4}x^n\sum_{k=0}^n\frac{\left(\frac 12\right)_k^3\left(\frac 12\right)_{n-k}^3}{k!\left(a+\frac 12,\frac 32-a\right)_k(n-k)!\left(a+\frac 12,\frac 32-a\right)_{n-k}} \end{align}
つまり, 以下を得る.

これはCayley-Orr型の定理と言える.