フック長公式を鏡映法で示す

$S=\{(\sigma,p)|\sigma\in S_n, p\in\Path(u,\sigma(v-\delta)+\delta)\}$, $S_{+}=\{(\sigma,p)|\sigma\in A_n, p\in\Path(u,\sigma(v-\delta)+\delta)\}$, $S_{-}=S\setminus S_{-}$,$S_0=\{\id\}\times \SPath(u,v)\subset S$と定める. 任意の$a,b\in \Z^n$に対し, $\binom(b-a)=\#\Path(a,b)$なので示すべきは$(\#S_+)-(\#S_{-})=\#S_0$. よって, $S\setminus S_0$上の対合$\iota$であって, $\iota(S_{+}\setminus S_0)\subset S_{-}$, $\iota(S_{-})\subset S_{+}\setminus S_0$を満たすものを作ればよい.

$p=(u_0,u_1,\cdots u_l)\in S\setminus S_0$を任意にとる. $S$の定義より, $p\in \Path(u,\sigma(v-\delta)+\delta)$となる$\sigma\in S_n$がuniqueにとれる. このとき, ある$i$が存在し, $u_i\notin C$を満たす. ($\sigma\neq \id$なら$i=l$とすればok. そうでない場合は, $(\id,p)\in S\setminus S_0$なので$S_0$の定義より従う) . このような$i$の中で最小のものを再び$i$と置く. $u\in C$より, $i>0$なので, $u_i-u_{i-1}=e_j$と$j$を置く. ここで, $i$の最小性より, $j>0$かつ$u_{i,j}=u_{i,j-1}+1$である. よって, $S_n\ni \tau:=(j-1,j)$と置く.
$u'_k(0\leq k \leq l)$を次式で定める.
\begin{equation} u'_{k}=\begin{cases} u_k && k\leq i\\ \tau(u_k-u_i)+u_i && k\geq i \end{cases} \end{equation}
($k=i$のとき上下どちらで定義しても値が変わらないことに注意せよ.)
$k< i$のとき$u'_{k+1}-u'_k=u_{k+1}-u_k$であり, $k\geq i$のときは$u'_{k+1}-u'_k=\tau(u_{k+1}-u_k)$である. よって, $(u_0,u_1,\cdots ,u_l)$はパスである. さらに, $u_{i,j}=u_{i,j-1}+1$に注意すると, $u'_l=\tau(u_l)-\tau(u_i)+u_i=\tau(\sigma(v-\delta)+\delta)+e_{j}-e_{j-1}.$ $\tau(\delta)-\delta=e_{j-1}-e_j$なので, 結局$u'_l=(\tau\sigma)(v-\delta)+\delta$.よって, $u'_i=u_i\not\in C$と合わせ,$(\tau\sigma,u')\in S\setminus S_0$. $\iota(\sigma,u)=(\tau\sigma,u')$と$\iota$を定義すると, これが求める対合になることを示す. 対合であることは定義に従って計算すれば明らか. ($\tau^2=\id$が効く. )$\mathrm{sgn}(\tau)=-1$なので, $\iota$は $S_{+}\setminus S_0$を$S_{-}$に, $S_{-}$を$ S_{+}\setminus S_0$に送る. これが示したいことだった.

以下, 負の整数$n$に対し$(n!)^{-1}=0$とする.
先の定理より,
\begin{equation} \#\SPath(u,v)=s!\sum_{\sigma\in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=0}^{n-1}(w_i+\sigma(i))!^{-1} \end{equation}
よって, $n\times n$行列$A$を$A_{i,j}=(w_i+j)!^{-1}$で定めると, $s!\det(A)=\#\SPath(u,v)$.
$n$未満の非負整数$j$に対して, 多項式$f_j(x)\in \Z[x]$を, $f_j(x)=(x+j)(x+j+1)\cdots (x+n-1)$と定めると, $A_{i,j}=f_j(w_i)(w_i+(n-1))!^{-1}$. ($v_i\geq 0$より, $w_i+(n-1)\geq 0$なので, $w_i<0$でもこの式は正しい. ) よって, $n\times n$行列$B$を$B_{i,j}=f_j(w_i)$と定めると,
\begin{equation} \#\SPath(u,v)=s!\det(A)=s!\prod_{0\leq i< n} (w_i+(n-1))!^{-1}\det(B) \end{equation}
よって, 次の命題から主張は従う.

行基本変形(の中で, 行の$i$行目の定数倍を$j$行目に足す操作)を繰り返し, $f_i=x^{n-1-i}$としてよい. すると主張はヴァンデルモンドの行列式そのもの.

ここでは図形的に示す.
次図は$n=6,v=(8,6,3,3,2,1),i=1$の場合の例である. 赤い線が$\{w_i-w_i,w_i-w_{i+1},\ldots w_i-w_{n-1}\}$に, 青い線が$\{w_i+v^t_0-1,w_i+v^t_1-2,\ldots ,w_i+v^t_{v_i-1}-v_i\}$に対応する.

一般の場合も同様. ($x$座標-$y$座標を考えよ)

上の補題より,
\begin{equation} (w_i+(n-1))!^{-1}\prod_{i< j< n} (w_i-w_j)=\prod_{0\leq j< v_i} (w_i+v_j^t-(j+1))=\prod_{0\leq j< v_i} (v_i+v_j^t-i-j-1) \end{equation}
主張はこれと定理2から明らか.