フック長公式については
https://mathlog.info/articles/3114
を見てください.
上にあるように, フック長公式はカタラン数の一般化の文脈でよく言及されます. 一方で, カタラン数の綺麗な求め方として鏡映法が知られています. (
https://mathlog.info/articles/3097
など) じゃあ一般化したフック長公式も鏡映法で求められないのかというのは自然な発想ですね. ということで示します.
以下
ここで,
である. ただし, ある
(
以下, 負の整数
先の定理より,
よって,
よって, 次の命題から主張は従う.
monicな多項式
行基本変形(の中で, 行の
見なれたフック長公式を得るためにもうひと変形を行う.
ただし,
ここでは図形的に示す.
次図は
一般の場合も同様. (
上の補題より,
主張はこれと定理2から明らか.
他のコセクター系への拡張や, 重み付けしてシューア関数との関係性などが気になります. また何か思いついたら追記します.