【スピン幾何】Clifford代数の構造と周期性

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　Clifford代数は行列環として実現させることができますが、一般にどのような行列環になるかを見ましょう。複素Clifford代数と実Clifford代数で様子が違いますが、今後スピン表現に関係するのが複素Clifford代数なのでそちらだけ論じます。

複素Clifford代数と構造定理

複素Clifford代数

$s + t = n$ に対して、 $C l (n) = C l (s, t) \otimes_{C} C$ を $n$ 次複素Clifford代数と呼ぶ。

複素化しているので計量の符号はどうでもよくなります。

　複素Clifford代数の構造にとって基本になるのが次の周期性です。

$C l (n + 2) ≃ C l (n) \otimes_{C} C l (2) ≃ C l (n) \otimes_{C} E n d (C^{2})$

$C^{2}$ の正規直交基底を $e_{1}, e_{2}$ とし、 $ω = - i e_{1} e_{2}$ をchiral作用素とする。
分解 $C^{n + 2} = C^{n} \oplus C^{2}$ に関して、 $C^{n + 2} \in u = (x, y)$ と表示するとき、 $δ : C^{n + 2} \to C l (n) \otimes_{C} C l (2)$ を
$δ (u) := x \otimes ω + 1 \otimes y$
と定義する。
$\begin{aligned} δ (u)^{2} & = (x \otimes ω + 1 \otimes y) (x \otimes ω + 1 \otimes y) \\ = x^{2} \otimes 1 + x \otimes ω y + x \otimes y ω + 1 \otimes y^{2} \\ = x^{2} \otimes 1 + 1 \otimes y^{2} = - g (u, u) \end{aligned}$
となる。ただし $g$ は $C^{n + 2}$ の標準計量である。
よって $C l (n + 2) ≃ C l (n) \otimes_{C} C l (2)$ が従う。

　よって次の定理を得ます。

複素Clifford代数の構造定理１

複素Clifford代数は以下のようになる。

$n$	$N$	$C l (n)$
偶数	$2^{n / 2}$	$E n d (C^{N})$
奇数	$2^{(n - 1) / 2}$	$E n d (C^{N}) \oplus E n d (C^{N})$

(i) $n$ が奇数のときに帰納的に示す。
$n = 1$ のとき、 $C l (1) = C \otimes C$ であり、 $C \oplus C \to C \otimes C$ を
$\begin{array}{r} (1, 0) \mapsto \frac{1}{2} (1 \otimes 1 + i \otimes i), (i, 0) \mapsto \frac{1}{2} (i \otimes 1 - 1 \otimes i) \\ (0, 1) \mapsto \frac{1}{2} (1 \otimes 1 - i \otimes i), (0, i) \mapsto \frac{1}{2} (i \otimes 1 + 1 \otimes i) \end{array}$
と定義すれば、環同型 $C l (1) = C \otimes C ≃ C \oplus C$ が成り立つ。
$n = 2 k - 1$ のとき、 $C l (2 k - 1) = E n d (C^{2^{k - 1}}) \oplus E n d (C^{2^{k - 1}})$ が成り立つと仮定すると、命題１より $n = 2 k + 1$ のときも成り立つ。

(ii) $n$ が偶数のときも、 $C l (2) = E n d (C^{2})$ に注意すると帰納的に成り立つ。

　次にスピン群を定義するために重要な $C l (n)$ の部分集合 $C l_{0} (n)$ の定義は以下です。

C l_{0} (n)

$C l (n)$ の部分集合 ${v_{1} \dots v_{2 k}; v_{1}, \dots, v_{2 k} \in C^{n - 1}, k \in N}$ で生成される部分環を $C l_{0} (n)$ と書く。

　 $C l_{0} (n)$ の基本性質は以下です。

C l_{0} (n)

の基本性質

$C l_{0} (n) ≃ C l (n - 1)$

$C^{n - 1} \subset C^{n}$ であるから、 $δ : C^{n - 1} \to C l (n - 1)$ を
$δ (x) := x \cdot e_{n}$
と定義すれば、 $δ (x)^{2} = - g (x, x)$ であるから、Clifford代数の同型 $C l_{0} (n) ≃ C l (n - 1)$ が成り立つ。