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【スピン幾何】Clifford代数の構造と周期性

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スピノルの基本事項

 Clifford代数は行列環として実現させることができますが、一般にどのような行列環になるかを見ましょう。複素Clifford代数と実Clifford代数で様子が違いますが、今後スピン表現に関係するのが複素Clifford代数なのでそちらだけ論じます。

複素Clifford代数と構造定理

複素Clifford代数

s+t=nに対して、Cl(n)=Cl(s,t)CCn複素Clifford代数と呼ぶ。

複素化しているので計量の符号はどうでもよくなります。

 複素Clifford代数の構造にとって基本になるのが次の周期性です。

Cl(n+2)Cl(n)CCl(2)Cl(n)CEnd(C2)

C2の正規直交基底をe1,e2とし、ω=ie1e2をchiral作用素とする。
分解Cn+2=CnC2に関して、Cn+2u=(x,y)と表示するとき、δ:Cn+2Cl(n)CCl(2)
δ(u):=xω+1y
と定義する。
δ(u)2=(xω+1y)(xω+1y)=x21+xωy+xyω+1y2=x21+1y2=g(u,u)
となる。ただしgCn+2の標準計量である。
よってCl(n+2)Cl(n)CCl(2)が従う。

 よって次の定理を得ます。

複素Clifford代数の構造定理1

複素Clifford代数は以下のようになる。

nNCl(n)
偶数2n/2End(CN)
奇数2(n1)/2End(CN)End(CN)

(i) nが奇数のときに帰納的に示す。
n=1のとき、Cl(1)=CCであり、CCCC
(1,0)12(11+ii),  (i,0)12(i11i)(0,1)12(11ii),  (0,i)12(i1+1i)
と定義すれば、環同型Cl(1)=CCCCが成り立つ。
n=2k1のとき、Cl(2k1)=End(C2k1)End(C2k1)が成り立つと仮定すると、命題1よりn=2k+1のときも成り立つ。

(ii) nが偶数のときも、Cl(2)=End(C2)に注意すると帰納的に成り立つ。

 次にスピン群を定義するために重要なCl(n)の部分集合Cl0(n)の定義は以下です。

Cl0(n)

Cl(n)の部分集合{v1v2k; v1,,v2kCn1, kN}で生成される部分環をCl0(n)と書く。

 Cl0(n)の基本性質は以下です。

Cl0(n)の基本性質

Cl0(n)Cl(n1)

Cn1Cnであるから、δ:Cn1Cl(n1)
δ(x):=xen
と定義すれば、δ(x)2=g(x,x)であるから、Clifford代数の同型Cl0(n)Cl(n1)が成り立つ。

 定理2と命題3を合わせると次の定理を得る。

複素Clifford代数の構造定理2

複素Clifford代数は以下のようになる。

nNCl0(n)
偶数2n/2End(CN/2)End(CN/2)
奇数2(n1)/2End(CN)

複素Clifford代数の構造まとめ

nNCl(n)Cl0(n)
偶数2[n/2]End(CN)End(CN/2)End(CN/2)
奇数2[n/2]End(CN)End(CN)End(CN)
投稿日:202372
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Submersion
Submersion
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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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