Clifford代数は行列環として実現させることができますが、一般にどのような行列環になるかを見ましょう。複素Clifford代数と実Clifford代数で様子が違いますが、今後スピン表現に関係するのが複素Clifford代数なのでそちらだけ論じます。
複素化しているので計量の符号はどうでもよくなります。
複素Clifford代数の構造にとって基本になるのが次の周期性です。
分解
と定義する。
となる。ただし
よって
よって次の定理を得ます。
複素Clifford代数は以下のようになる。
偶数 | ||
奇数 |
(i)
と定義すれば、環同型
(ii)
次にスピン群を定義するために重要な
と定義すれば、
定理2と命題3を合わせると次の定理を得る。
複素Clifford代数は以下のようになる。
偶数 | ||
奇数 |
偶数 | |||
奇数 |