文献あり

２つの圏の定義について（はじめての圏論シリーズ）

標準的には、圏は有向グラフに特別な演算が付いたものとして定義される。吾輩の記事$[1]$でもそのように定義した。しかし、これより弱い定義を採用した文献も多い。これら２つの定義を見比べてみよう^*1。

１．強い圏の定義

強い圏の定義$[1]$

$\mathbfcal{C}=(\mathcal{C},\text{Mor}_\mathcal{C},\text{dom},\text{cod},\circ,\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{\bullet})$は以下の条件を満たすとき、圏であるという。
・$(\mathcal{C},\text{Mor}_\mathcal{C},\text{dom},\text{cod})$は有向グラフ
・写像 $\circ_\mathcal{}:\{(g,f)\in\text{Mor}_\mathcal{C}\times\text{Mor}_\mathcal{C}\mid \text{cod}(f)=\text{dom}(g)\}\rightarrow\text{Mor}_\mathcal{C};$
・写像 $\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{\bullet}:\mathcal{C}\rightarrow \text{Mor}_\mathcal{C};$

・$\text{dom}(g\circ f)=\text{dom}(f),\;\text{cod}(g\circ f)=\text{cod}(g)$
・$\text{dom}(\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x})=x=\text{cod}(\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x})$
・結合律：$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
・左右単位律：$f\circ \underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x}=f,\;\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x}\circ g=g$

（※ただし、合成は合成可能な射に対して定義される）

$\text{cod}(f)=\text{dom}(g)$が成り立つことを「$(g,f)$は合成可能である」という。各$x,y\in\mathcal{C}$に対して$\text{Hom}_\mathcal{C}(x,y)\coloneqq\{f\in\text{Mor}_\mathcal{C}\mid\text{dom}(f)=x,\text{cod}(f)=y\}$、$\text{End}_\mathcal{C}(x)\coloneqq\text{Hom}_\mathcal{C}(x,x)$と定義する。

関手かんしゅ

$\mathbfcal{C}=(\mathcal{C},\text{Mor}_\mathcal{C},\text{dom}_\mathcal{C},\text{cod}_\mathcal{C},\circ_\mathcal{C},\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{\bullet}),$
$\mathbfcal{D}=(\mathcal{D},\text{Mor}_\mathcal{D},\text{dom}_\mathcal{D},\text{cod}_\mathcal{D},\circ_\mathcal{D},\underset{\mathcal{D}}{\text{id}}{}_{\bullet})$を圏とする。$(F,\hspace{-1.5pt}$$\hspace{-1.5pt}(F$がこれらの間の関手かんしゅであるとは、以下を満たすこと。

$F$は対象の写像$F:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D};$
$F$は射の写像$:F$$\hspace{-1.5pt}\text{Mor}_\mathcal{C}\rightarrow \text{Mor}_\mathcal{D};$
演算$\text{dom}$を保つ：$\forall f\in \text{Mor}_\mathcal{D},\;\text{dom}_\mathcal{D}(\hspace{-1pt}$$\hspace{-1.5pt})F\hspace{-2.3pt}$$\hspace{-2.3pt}f))=F(\text{dom}_\mathcal{C}(f))$
演算$\text{cod}$を保つ：$\forall f\in \text{Mor}_\mathcal{C},\;\text{cod}_\mathcal{D}(\hspace{-1pt}$$\hspace{-1.5pt})F\hspace{-2.3pt}$$\hspace{-2.3pt}f))=F(\text{cod}_\mathcal{C}(f))$
演算$\text{id}_\bullet$を保つ：$\underset{}{}\forall x\in \mathcal{C},\;$$\hspace{-1.5pt}F\hspace{-2.3pt}\underset{}{}$$\hspace{-2.5pt}(\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x})=\underset{\mathcal{D}}{\text{id}}{}_{F(x)}$
合成$\circ$を保つ： $\hspace{-1.5pt})F\hspace{-2.3pt}$$\hspace{-2.3pt}g\circ_\mathcal{C}f)=$$\hspace{-1.5pt})F\hspace{-2.3pt}$$\hspace{-2.3pt}g)\circ_\mathcal{D}{}\hspace{-2pt}$$\hspace{-1.5pt})F\hspace{-2.3pt}$$\hspace{-2.3pt}f)$（※$g,f$が合成可能のとき）

関手であることを$(F,\hspace{-1.5pt}$$\hspace{-1.5pt}(F$$:\mathbfcal{C}\rightarrow\mathbfcal{D}$と書く。

２．弱い圏の定義

弱い圏の定義（「圏’」と書く）

$\mathbfcal{C}=(\mathcal{C},\text{Hom}_\mathcal{C},(\circ_{x,y,z})_{x,y,z\in\mathcal{C}},(\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x})_{x\in\mathcal{C}})$は以下の条件を満たすとき、圏’であるという。
・$\forall x,y\in\mathcal{C},\;\exists! \gamma,\;\gamma=\text{Hom}_\mathcal{C}(x,y)$となる$\text{Hom}_\mathcal{C}$^*2
・各$x,y,z\in\mathcal{C}$に対し、写像 $\circ_{x,y,z}:\text{Hom}_\mathcal{C}(x,y)\times\text{Hom}_\mathcal{C}(y,z)\rightarrow\text{Hom}_\mathcal{C}(x,z);$
・各$x\in\mathcal{C}$に対し、$\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x}\in\text{Hom}_\mathcal{C}(x,x)$

・結合律：各$f\in\text{Hom}_\mathcal{C}(x,y),g\in\text{Hom}_\mathcal{C}(y,z),h\in\text{Hom}_\mathcal{C}(z,w)$に対し、$$h\circ_{x,z,w} (g\circ_{x,y,z} f)=(h\circ_{y,z,w} g)\circ_{x,y,w} f$$
・左右単位律：各$f\in\text{Hom}_\mathcal{C}(x,y),g\in\text{Hom}_\mathcal{C}(z,x)$に対し、$$f\circ_{x,x,y} \underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x}=f,\;\;\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x}\circ_{z,x,x} g=g$$

弱い圏の$\text{dom}$と$\text{cod}$は多価

この定義では$\text{Hom}_\mathcal{C}(x,y)\cap\text{Hom}_\mathcal{C}(x',y')\neq\varnothing$になることもあり得るので、一般に$\text{dom}$と$\text{cod}$は一意に決まらない。なので一般の場合、図式を使った議論が意味を成さなくなる。

関手（on 弱い圏）

$\mathbfcal{C}=(\mathcal{C},\text{Hom}_\mathcal{C},(\circ^\mathcal{C}_{x,y,z})_{x,y,z\in\mathcal{C}},(\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x})_{x\in\mathcal{C}})$
$\mathbfcal{D}=(\mathcal{D},\text{Hom}_\mathcal{D},(\circ_{X,Y,Z}^\mathcal{D})_{X,Y,Z\in\mathcal{D}},(\underset{\mathcal{D}}{\text{id}}{}_{X})_{X\in\mathcal{D}})$を圏’とする。
$(F,\hspace{-2.5pt}$$\hspace{-1.5pt}F)$$\hspace{-2.5pt}{}_{x,y})_{x,y\in\mathcal{C}})$がこれらの間の関手かんしゅであるとは、以下を満たすこと。

$F$は対象の写像$F:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D};$
各$x,y\in\mathcal{C}$に対し、
写像$\hspace{-1.5pt}F$$\hspace{-2.5pt}{}_{x,y}:\text{Hom}_\mathcal{C}(x,y)\rightarrow \text{Hom}_\mathcal{D}\hspace{-1.5pt}$$\hspace{-2.5pt}(F(x),F(y));$
演算$\text{id}_\bullet$を保つ：各$x\in \mathcal{C}$に対し、
$\hspace{-1.5pt}F\hspace{-2.3pt}\underset{}{}$$\hspace{-2.5pt}{}_{x,x}(\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x})=\underset{\mathcal{D}}{\text{id}}{}_{F(x)}$
合成$\circ$を保つ：各$f\in\text{Hom}_\mathcal{C}(x,y)$と$ g\in\text{Hom}_\mathcal{C}(y,z)$に対し、
$\hspace{-1.5pt}F\hspace{-2.3pt}$$\hspace{-2.3pt}{}_{x,z}(g\circ_{x,y,z}^\mathcal{C}f)=$$\hspace{-1.5pt}F\hspace{-2.3pt}$$\hspace{-2.3pt}{}_{y,z}(g)\circ_{F(x),F(y),F(z)}^\mathcal{D}{}\hspace{-2pt}$$\hspace{-1.5pt}F\hspace{-2.3pt}$$\hspace{-2.3pt}{}_{x,y}(f)$

弱い圏を強い圏へ

弱い圏（圏’）において、どの射がダブってるかの情報を忘れると強い圏が作れる。圏’$(\mathcal{C},\text{Hom}_\mathcal{C},(\circ_{x,y,z})_{x,y,z\in\mathcal{C}},(\underset{\mathcal{C}}{\text{id}}{}_{x})_{x\in\mathcal{C}})$が与えられたとき、\begin{eqnarray} \text{Mor}_\mathcal{C}&\coloneqq&\coprod_{x,y\in\mathcal{C}}\text{Hom}_\mathcal{C}(x,y)\\&=&\bigcup_{x,y\in\mathcal{C}}\set{(x,y)}\times\text{Hom}_\mathcal{C}(x,y) \end{eqnarray}という非交和を取ればいい。弱い圏が持ってた情報を忘れてるので、弱い圏は強い圏と等価でないことに注意してね☆

いいねちょうだい🥺

1:$\;$なお、この記事ではクラスを扱える集合論の公理系を採用する。↩

2:$\;$論理式の略記と見てもいいし、定義域が$\mathcal{C}\times\mathcal{C}$の写像と見てもよい。置換公理より同じ。↩