複素数の合同式
「 法が整数の複素数の方程式 」を読んでからこの記事を読んでください。
基礎知識
今回は法が実数という制約をなくして考えていきたい。
ただし、あくまで合同式なので法は複素整数でなければならない。
まずは複素数同士の除算を思い出そう。
$\frac{c+di}{a+bi}$$=$$\frac{ac+bd}{ a^{2}+ b^{2} }+ \frac{ad-bc}{a^{2}+b^{2}}i $
法が複素数の方程式
$z_1$と$z_2$が合同になるための法を$z_3$とする。
ただし、これらは複素整数とする。
$z_1 = a_1+b_1i$
$z_2 = a_2+b_2i$
$z_3 = a_3+b_3i$
とおくと
$z_1-z_2=a_1-a_2+(b_1-b_2)i$
よって、
$a_3+b_3i|a_1-a_2+(b_1-b_2)i$
が成り立つとき
$z_1 \equiv z_2 \pmod{z_3} $
となる。
複素数の除法の公式より
$$
\frac{a_1a_3-a_2a_3+b_1b_3-b_2b_3}{a_3²+b_3²}+\frac{a_3b_1-a_3b_2+a_1b_3-a_2b_3}{a_3²+b_3²}i
$$
が複素整数になれば良い。
まとめ
$z_1≡z_2(modz_3)$の必要十分条件は
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_3²+b_3²∣(a_1−a_2)a_3+(b_1−b_2)b_3
\\
a_3²+b_3²∣(b_1−b_2)a_3−(a_1−a_2)b_3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
である。
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