大学数学基礎解説

文献あり

米田の補題を証明するだけの記事

圏論,初心者向け,米田の補題

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

はじめに

メリークリスマス！(激遅)今回は米田の補題の証明を書きました。米田の補題といえば圏論初学者が挫折することで有名ですね。今日はそんな方向けに書きましたのでぜひ「米田の補題の証明を理解したい...!」という方は一読していただけると幸いです。

追記(6/25)
記事を演習っぽくしました。詰まった場合はヒントや解答を気軽に見ることをおススメします。

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ほんへ

おやくそく

・写像$f\colon X\to Y$と$x\in X$に対して、対応する行き先を$f(x)\in Y$と記述する

・関手$\mathcal F\colon \mathcal C\to\mathcal D$と$X\in\mathcal C,f\in\mathrm{Mor}\ \mathcal C$に対して、対応する行き先を$\mathcal F[X]\in\mathcal D,\mathcal F[f]\in\mathrm{Mor}\ \mathcal D$と記述する

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おさらい

$(\mathrm i)$自然変換について

$\mathcal F,\mathcal G\colon \mathcal C\to\mathcal D$を関手とする。自然変換$\tau\colon\mathcal F\Rightarrow\mathcal G$とは、$\mathcal C$の対象を添え字とする$\mathcal D$の射の族$(\tau_X\colon \mathcal F[X]\to\mathcal G[X])_{X\in\mathcal C}$でありかつ$\mathcal C$の任意の射$f\colon X\to Y$に対して$\mathcal G[f]\circ\tau_X=\tau_Y\circ\mathcal F[f]$を満たす物のことである

$$\xymatrix{ \mathcal F[X]\ar@{}[rd]|{\circlearrowright}\ar[d]_{\tau_X}\ar[r]^{\mathcal F[f]}&\mathcal F[Y]\ar[d]^{\tau_Y} \\ \mathcal G[X]\ar[r]_{\mathcal G[f]}&\mathcal G[Y]}$$

確認テスト
$\mathcal F,\mathcal G\colon \mathcal C\to\mathcal D$を関手とし、$\tau\colon \mathcal F\Rightarrow\mathcal G$を自然変換とする。
$(1)\ A\in\mathcal C$とする。$\tau_A$の定義域と終域は何か？
$(2)\ A\in\mathcal C$とする。$\tau_A\in\mathrm{Hom}(\mathcal F[A]\ ,\ \mathcal G[A])$を確かめよ
$(3)\ f\colon A\to B$に対して$\mathcal G[f]\circ\tau_A=\tau_B\circ\mathcal F[f]$を表す可換図式を書け

解答

$(1)$ 定義域は$\mathcal F[A]$終域は$\mathcal G[A]$
$(2)　(1)$より$\tau_A\colon \mathcal F[A]\to\mathcal G[A]$なので$\tau_A\in\mathrm{Hom}(\mathcal F[A]\ ,\ \mathcal G[A])$
$(3)$
$$\xymatrix{ \mathcal F[A]\ar@{}[rd]|{\circlearrowright}\ar[d]_{\tau_A}\ar[r]^{\mathcal F[f]}&\mathcal F[B]\ar[d]^{\tau_B} \\ \mathcal G[A]\ar[r]_{\mathcal G[f]}&\mathcal G[B]}$$

$(\mathrm {ii})\ \mathrm{Hom}$関手について

$\mathcal C$を局所小圏とし,$X\in\mathcal C$とする。$X$に付随する$\mathrm{Hom}$関手$\mathrm{Hom}(X\ ,\ ＿)\colon \mathcal C\to\boldsymbol {\mathrm{Set}}$とは、
$Y\in\mathcal C$に対して、$$\mathrm{Hom}(X\ ,\ ＿)[Y]\colon =\mathrm{Hom}(X\ ,\ Y)$$
射$g\colon Y\to Z$に対して、$$\xymatrix@C=0.1pt@R=3.5pt{ \mathrm{Hom}(X\ ,\ ＿)[g]&\colon & \mathrm{Hom}(X\ ,\ Y) \ar[rrrrrrrr] &&&&&&&& \mathrm{Hom}(X\ ,\ Z) \\& &f \ar@{(-}[u] & \ar@{|->}[rrrrrr]&&&&&&& g\ \circ\ f \ar@{(-}[u] }$$

という対応の関手である。特に$\mathrm{Hom}(X\ ,\ ＿)[g](f)=g\circ f$である。

確認テスト
$\mathcal C$を局所小圏とし,$A\in\mathcal C$とする。
$(1)　f\colon B\to C$に対して$\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[f]$の定義域と終域は何か？
$(2)　\mathrm{id}_A\in\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[A]$であることを確認せよ
$(3)　f\colon B\to C,g\colon C\to D$に対して$\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[g]\circ\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[f]=\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[g\circ f]$であることを示せ。

解答

$(1)$　定義域は$\mathrm{Hom}(A\ ,\ B)$値域は$\mathrm{Hom}(A\ ,\ C)$
$(2)　\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[A]=\mathrm{Hom}(A\ ,\ A)$であり$\mathrm{id}_A\colon A\to A$なので$\mathrm{id}_A\in\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[A]$
$(3)　\alpha\in\mathrm{Hom}(A,B)$とすると、
$\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[g]\circ\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[f](\alpha)$
$=\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[g](\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[f](\alpha))$
$=\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[g](f\circ\alpha)$
$=g\circ f\circ\alpha$
$=\mathrm{Hom}(A\ ,\ ＿)[g\circ f](\alpha)$
これが各$\alpha\in\mathrm{Hom}(A,B)$で言えるため、写像として等しい

米田の補題

$\mathcal C$を局所小圏、$\obc{A}\n{\in\mathcal C}$に付随する$\mathrm{Hom}$関手を$\fun{h}^{\obc A}\ \n\colon =\ \mathrm{Hom(}\obc A\ \n,\ \obc{＿}\n )\colon \mathcal C\to\boldsymbol {\mathrm{Set}}$、$\fun{\mathcal F}\n,\ \fun{\mathcal G}\n\ \colon \mathcal C\to\boldsymbol {\mathrm{Set}}$の間の自然変換全体を$\nat{\mathrm{Nat(}}\fun{\mathcal F}\n,\ \fun{\mathcal G}\nat)$と表す。このとき米田写像という全単射
$$ y\colon \nat{\mathrm{Nat(}}\fun{h}^{\obc A}\n,\ \fun{\mathcal F}\nat)\n\ \to\ \fun{\mathcal F[}\obc A\fun ]$$
が存在する。

$y\colon\nat{\mathrm{Nat(}}\fun{h}^{\obc A}\n,\ \fun{\mathcal F}\nat)\ \n\to\ \fun{\mathcal F[}\obc A\fun ]\ \n;\ \sz\tau\ \n\mapsto\ \sz\tau_{\obc A}\fun(\sy{\mathrm{id}}_{\obc A}\fun)$とする。

$$\xymatrix@C=0.1pt@R=3.5pt{ y&:& \nat{\mathrm{Nat(}}\fun{h}^{\obc A}\n,\ \fun{\mathcal F}\nat)\ar[rrrrrr]&&&&&& & \mathrm{Hom}(\fun{h}^{\obc A}\fun[\obc A\fun ]\ \n,\ \fun{\mathcal F[}\obc A\fun ]\n)\ar[rrrrrr] &&&&&& \ \fun{\mathcal F[}\obc A\fun ] \\ && \sz\tau \ar@{(-}[u] & \ar@{|->}[rrrr]&&&&& & \sz\tau_{\obc A} \ar@{(-}[u] & \ar@{|->}[rrrr]&&&&& \sz\tau_{\obc A}\fun(\sy{\mathrm{id}}_{\obc A}\fun) \ar@{(-}[u] }$$
これが米田写像である。この全単射性を考察する。

単射性

$\obs a\ \n\in\ \fun{\mathcal F[}\obc A\fun ]$、$\obs a\n\ =y(\sz\tau\n)=y(\sz\tau'\n)\ (\sz\tau\ \n,\ \sz\tau'\ \n\in\ \nat{\mathrm{Nat(}}\fun{h}^{\obc A}\n,\ \fun{\mathcal F}\nat)\n)$、$\sy f\ \n\colon \ \obc A\ \sy\to\ \obc B　(\obc B\ \n\in\ \mathcal C)$とする。
$(1)　\fun{h}^{\obc A}\fun[\sy f\fun]$の定義域と終域を$\fun{h}^{\obc A}$を用いずに答えよ。
$(2)　\fun{h}^{\obc A}\fun[\sy f\fun]\fun(\sy{\mathrm{id}}_{\obc A}\fun)\ \n=\ \sy f$を示せ。
$(3)　\sz{\tau}_{\obc B}(\sy f\sz)\n=\fun{\mathcal F[}\sy f\fun](\obs a\fun)$を示せ。
$(4)　\sz\tau\ \n=\ \sz\tau'$であることを示せ

$(1)$ヒント

補題1の定義から$\fun{h}^{\obc A}\fun[\sy f\fun]\n\colon = \mathrm{Hom(}\obc A\ \n,\ \obc{＿}\n )[\sy f\n]$である。

$(1)$ヒントその2

おさらいより$\mathrm{Hom}(\obc A\ \n,\ \obc＿\n)[\sy f\n]\colon \fun{\mathcal F[}\obc A\fun]\ \n\to\ \fun{\mathcal F[}\obc B\fun]$である

$(2)$ヒント

補題1の定義から$\fun{h}^{\obc A}\fun[\sy f\fun]\n\colon = \mathrm{Hom(}\obc A\ \n,\ \obc{＿}\n )[\sy f\n]$である。

$(2)$ヒントその2

おさらいより$\mathrm{Hom}(\obc A\ \n,\ \obc＿\n)[\sy f\n](\sy{\mathrm{id}}_{\obc A}\n)=\sy f\ \n\circ\ \sy{\mathrm{id}}_{\obc A}$である

$(3)$ヒント

$(2)$より、$\sy f\ \n=\ \fun{h}^{\obc A}\fun[\sy f\fun]\fun(\sy{\mathrm{id}}_{\obc A}\fun)$である。

$(3)$ヒントその2

$\sz\tau$は自然変換なのでおさらいより$\sy f\ \n\colon \ \obc A\ \sy\to\ \obc B$に対して、$\fun{\mathcal F[}\sy f\fun]\n\circ\ \sz\tau_{\obc A}\ \n=\ \sz\tau_{\obc B}\n\circ\ \fun h^{\obc A}\fun[\sy f\fun]$である。
$$\xymatrix{ \fun h^{\obc A}\fun[\obc A\fun]\ar@{}[rd]|{\circlearrowright}\ar[d]_{\sz\tau_{\obc A}}\ar[r]^{\fun h^{\obc A}\fun[\sy f\fun]}&\fun h^{\obc A}\fun[\obc B\fun]\ar[d]^{\sz\tau_{\obc B}} \\ \fun{\mathcal F[}\obc A\fun]\ar[r]_{\fun{\mathcal F[}\sy f\fun]}& \fun{\mathcal F[}\obc B\fun]}$$

$(3)$ヒントその3

証明冒頭の$y$の定義と問題1冒頭の$a$の設定から$\obs a=y(\sz\tau\n)=\sz\tau_{\obc A}\sz(\sy{}\mathrm{id}_{\obc A}\sz)$である.

$(4)$ヒント

おさらいを見ると、自然変換の定義とは射の組である。二つの自然変換が等しいという事を示すなら、対応する射の組が等しいことを示せばよい。

$(4)$ヒントその2

$\sz{\tau}_{\obc B}$,$\sz{\tau}_{\obc B}'$はそれぞれ集合の圏における射、つまり写像である。写像が等しいことを言うには、各元での行き先を見ればよい。

$(4)$ヒントその3

$(3)$より$\sz{\tau}_{\obc B}(\sy f\sz)\n=\fun{\mathcal F[}\sy f\fun](\obs a\fun)$である。右辺は$\sz\tau$に依存しておらず、また$(3)$の証明は「$\sz\tau$」を「$\sz\tau'$」に置き換えても議論が回る。

解答

$(1)$

$\fun{h}^{\obc A}\fun[\sy f\fun]\n=\mathrm{Hom}(\obc A\ \n,\ \obc＿\n)[\sy f\n]\colon \mathrm{Hom}(\obc A\ \n,\ \obc A\n)\to\mathrm{Hom}(\obc A\n,\obc B\n)$より、定義域は$\mathrm{Hom}(\obc A\n,\obc A\n)$、終域は$\mathrm{Hom}(\obc A\ \n,\ \obc B\n)$

$(2)$

$\fun{h}^{\obc A}\fun[\sy f\fun]\fun(\sy{\mathrm{id}}_{\obc A}\fun)\ \n=\mathrm{Hom}(\obc A\ \n,\ \obc＿\n)[\sy f\n](\sy{\mathrm{id}}_{\obc A}\n)=\sy f\ \n\circ\ \sy{\mathrm{id}}_{\obc A}\ \n=\ \sy f$

$(3)$

$\sz{\tau}_{\obc B}(\sy f\sz)$
$=\sz\tau_{\obc B}(\fun{h}^{\obc A}\fun[\sy f\fun]\fun(\sy{\mathrm{id}}_{\obc A}\fun)\sz)$　　（$(2)$より）
$=(\sz\tau_{\obc B}\n\circ\fun h^{\obc A}\fun[\sy f\fun]\n)\sz(\sy{}\mathrm{id}_{\obc A}\sz)$
$=(\fun{\mathcal F[}\sy f\fun]\n\circ\sz\tau_{\obc A}\n)\sz(\sy{}\mathrm{id}_{\obc A}\sz)$　　（自然変換より）
$=\fun{\mathcal F[}\sy f\fun]\fun(\sz\tau_{\obc A}\sz(\sy{}\mathrm{id}_{\obc A}\sz)\fun)$
$=\fun{\mathcal F[}\sy f\fun](\n y(\sz\tau\n)\fun)$　　（$y$の定義より）
$=\fun{\mathcal F[}\sy f\fun](\obs a\fun)$　　（$a$の定義より）

$(4)$

$(3)$と同様に$\sz{\tau'}_{\obc B}(\sy f\sz)\ \n=\ \fun{\mathcal F[}\sy f\fun](\obs a\fun)$が成り立つ。写像$\sz{\tau}_{\obc B}$と$\sz{\tau'}_{\obc B}$は全ての$\sy f\ \n\in\ \mathrm{Hom}(\obc A\ \n,\ \obc B\n)$で値が一致するので$\sz{\tau}_{\obc B}\ \n=\ \sz{\tau'}_{\obc B}$。これが任意の$\obc B\ \n\in\ \mathcal C$に対して成り立つので、$\sz\tau\ \n=\ \sz\tau'$

全射性

$\obs a\ \n\in\fun{\mathcal\ F[}\obc A\fun]$とし、$\obc B\ \n\in\ \mathcal C$に対して写像を$\sz\tau_{\obc B}\ \n\colon \ \mathrm{Hom}(\obc A\ \n,\ \obc B\n)\ \sz\to\ \fun{\mathcal F[}\obc B\fun]\ \n;\ \sy f\ \n\mapsto\ \fun{\mathcal F[}\sy f\fun](\obs a\fun)$と定める。

$$\xymatrix@C=0.1pt@R=3.5pt{ \sz\tau_{\obc B}&: & \mathrm{Hom}(\obc A\ \n,\ \obc B\n)\ar[rrrrrr]&&&&&& & \mathrm{Hom}(\fun{\mathcal F[}\obc A\fun ]\ \n,\ \fun{\mathcal F[}\obc B\fun ]\n)\ar[rrrrrr] &&&&&& \ \fun{\mathcal F[}\obc B\fun ] \\ && \sy f \ar@{(-}[u] & \ar@{|->}[rrrr]&&&&& & \fun{\mathcal F[}\sy f\fun] \ar@{(-}[u] & \ar@{|->}[rrrr]&&&&& \fun{\mathcal F[}\sy f\fun](\obs a\fun) \ar@{(-}[u] }$$

$(1)　\sy f\ \n\in\ \mathrm{Hom}(\obc A\ \n,\ \obc B\n)$とする。$(\fun{\mathcal F}[\sy g\fun]\n\circ\sz\tau_{\obc B}\n)\sz(\sy f\sz)\n=\fun{\mathcal F[}\sy g\n\circ\sy f\fun](\obs a\fun)$を示せ
$(2)　\sz\tau\ \n\colon =(\sz\tau_{\obc B}\n)_{\obc B\n\in\mathcal C}$は自然変換$\sz\tau\ \n\colon \ \fun h^{\obc A}\ \sz\Rightarrow\ \fun{\mathcal F}$となることを示せ
$(3)　y(\sz\tau\n)=\obs a$となることを示せ

$(1)$ヒント

問題2の設定から$\sz\tau_{\obc B}\sz(\sy f\sz)\n=\fun{\mathcal F[}\sy f\fun](\obs a\fun)$

$(2)$ヒント

おさらいを見ると、自然変換であるには全ての$\sy g\ \n\colon \ \obc B\ \sy\to\ \obc C$に対して$\fun{}\mathcal F[\sy g\fun]\n\circ\sz\tau_{\obc B}\ \n=\ \sz\tau_{\obc C}\n\circ\fun h^{\obc A}[\sy g\fun]$となることを示せばよい。
$$\xymatrix{ \fun h^{\obc A}\fun[\obc B\fun]\ar@{}[rd]|{\circlearrowright}\ar[d]_{\sz\tau_{\obc B}}\ar[r]^{\fun h^{\obc A}\fun[\sy g\fun]}&\fun h^{\obc A}\fun[\obc C\fun]\ar[d]^{\sz\tau_{\obc C}} \\ \fun{\mathcal F[}\obc B\fun]\ar[r]_{\fun{\mathcal F[}\sy g\fun]}& \fun{\mathcal F[}\obc C\fun]}$$

$(2)$ヒントその2

$\fun{}\mathcal F[\sy g\fun]\n\circ\sz\tau_{\obc B}$,$\sz\tau_{\obc C}\n\circ\fun h^{\obc A}[\sy g\fun]$はそれぞれ写像である。これらが一致することを確かめるためには各$\sy f\ \n\in\ \fun h^{\obc A}\fun[\obc B\fun]$の行き先が一致することを示せばよい。

$(3)$ヒント

$y$と$\sz\tau$の定義を確認しよう

$(3)$ヒントその2

もしかしたら関手の定義を忘れてるかも...?

解答

$(1)$

$(\fun{\mathcal F}[\sy g\fun]\n\circ\sz\tau_{\obc B}\n)\sz(\sy f\sz)$
$=\fun{\mathcal F[}\sy g\fun](\sz\tau_{\obc B}(\sy f\sz)\fun)$
$=\fun{}\mathcal F[\sy g\fun](\mathcal F[\sy f\fun](\obs a\fun))$　　（$\sz\tau_{\obc B}$の定義より）
$=(\fun{}\mathcal F[\sy g\fun]\n\circ\fun{}\mathcal F[\sy f\fun]\n)\fun(\obs a\fun)$
$=\fun{\mathcal F[}\sy g\n\circ\sy f\fun](\obs a\fun)$

$(2)$

$\sy g\ \n\colon \ \obc B\ \sy\to\ \obc C$とする
$(\fun{\mathcal F}[\sy g\fun]\n\circ\sz\tau_{\obc B}\n)\sz(\sy f\sz)$
$=\fun{\mathcal F[}\sy g\n\circ\sy f\fun](\obs a\fun)$
$=\sz\tau_{\obc C}\sz(\sy g\n\circ\sy f\sz)$　　（$\sz\tau_{\obc C}$の定義より）
$=\sz\tau_{\obc C}(\fun h^{\obc A}[\sy g\fun](\sy f\fun)\sz)$　　（$\mathrm{Hom}$関手より）
$=(\sz\tau_{\obc C}\n\circ\fun h^{\obc A}[\sy g\fun]\n)\sz(\sy f\sz)$
よって$\fun{}\mathcal F[\sy g\fun]\n\circ\sz\tau_{\obc B}$と$\sz\tau_{\obc C}\n\circ\fun h^{\obc A}[\sy g\fun]$は全ての$\sy f\ \n\in\ \mathrm{Hom}(\obc A\n,\obc B\n)$で値が一致するので$\fun{}\mathcal F[\sy g\fun]\n\circ\sz\tau_{\obc B}\ \n=\ \sz\tau_{\obc C}\n\circ\fun h^{\obc A}[\sy g\fun]$となり$\sz\tau$は自然変換。
$$\xymatrix{ \fun h^{\obc A}\fun[\obc B\fun]\ar@{}[rd]|{\circlearrowright}\ar[d]_{\sz\tau_{\obc B}}\ar[r]^{\fun h^{\obc A}\fun[\sy g\fun]}&\fun h^{\obc A}\fun[\obc C\fun]\ar[d]^{\sz\tau_{\obc C}} \\ \fun{\mathcal F[}\obc B\fun]\ar[r]_{\fun{\mathcal F[}\sy g\fun]}& \fun{\mathcal F[}\obc C\fun]}$$

$(3)$

$y(\sz\tau\n)$
$=\sz\tau_{\obc A}(\sy{}\mathrm{id}_{\obc A}\sz)$　　（$y$の定義より）
$=\fun{}\mathcal F[\sy{}\mathrm{id}_{\obc A}\fun](\obs a\fun)$　（$\tau$の定義より）
$=\sz{}\mathrm{id}_{\fun{}\mathcal F[\obc A\fun]}\sz(\obs a\sz)$
$=\obs a$