0
大学数学基礎解説
文献あり

角谷の不動点定理の簡単な証明

772
1

はじめに

ブラウワーの不動点定理を用いて、角谷の不動点定理を簡単に証明してみようと思います。
間違ってましたら、優しくご指摘頂ければ幸いです。

ブラウワーの不動点定理は下の記事で紹介いたしました。よかったらお読みくだされば幸いです。
ブラウワーの不動点定理のお気持ちと簡単な証明

多価写像

多価写像

Xの各点xに対して、Yのある非空部分集合φ(x)を対応させる写像を多価写像といい、φ:XYと書く。

【お気持ち】

多価写像のイメージ 多価写像のイメージ

コンパクト値な多価写像

多価写像φ:XYの値がすべてYのコンパクト集合であるような場合、φはコンパクト値な多価写像という。

上半連続

φ:XYが点x0Xにおいて上半連続であるとは、集合φ(x0)の任意の近傍Uに対して、x0の適当な近傍Vを選び、
φ(V)=xVφ(x)U
となることをいう。

不動点

多価写像の不動点

Xを非空集合とする。多価写像φ:XYに対して、xφ(x)を満たす点xXが存在するとき、xφの不動点という。

【お気持ち】

図のように、xφ(x)となるようなものがあれば不動点があるといえる !

多価写像の不動点 多価写像の不動点

多価写像のグラフ

Xを非空集合とする。多価写像φ:XYに対して、グラフG(φ)
G(φ)={(x,y)X×Y|yφ(x)}
と定義する。

XRnは、非空で、コンパクト集合であるとする。
φが上半連続で、凸値である。そのとき、任意のε>0に対して、G(fε)Bϵ(G(φ))となるような連続写像fε:XXが存在する。

証明の詳細は文献[3]がわかりやすいです。

【お気持ち】

ε>0に対して、G(fε)Bϵ(G(φ))となるような連続写像fε:XXが存在する。

連続写像のイメージ 連続写像のイメージ

Xを位相空間とし、YをコンパクトHausdorff空間とする。多価写像φ:XYで、xXに対し、φ(x)が空でない閉集合であるとする。このとき、φXで上半連続であるための必要十分条件は、φのグラフG(φ)X×Yで閉集合となることである。

証明の詳細は、文献[2]がわかりやすいです。

角谷の不動点定理

角谷の不動点定理

XRnとする。Xは非空で、コンパクト集合、凸集合であるとする。
φ:XXは上半連続で、φ(x)は非空で、凸集合、コンパクト集合であるとする。
このとき、φX上に不動点をもつ。

【お気持ち】

図のように、ブラウワーの不動点定理より、連続写像f:XXは不動点をもつ。
そのため、連続写像fε:XXは、x=fε(x)となる不動点がある !

つまり、ε0とすれば、xφ(x)となるような、φの不動点xがあるといえる。

連続写像のイメージ 連続写像のイメージ

XRnのとき、コンパクト集合φ(x)は閉集合でもあることに注意する。

Bϵ(G(φ))={zX×X|d(z,G(φ))<ε}

ただし、d(z,G(φ))=inf(x,y)G(φ)d(z,(x,y))である。

XRnであり、φが上半連続で、凸値である。定理1より、任意のε>0に対して、G(fε)Bϵ(G(φ))となるような連続写像fε:XXが存在する。

ε0とすると、G(fn)B1/n(G(φ))となるような連続写像の列{fn}が存在する。

ブラウワーの不動点定理より、各fnは不動点x^nXをもつ。

(x^n,x^n)=(x^n,fn(x^n))  (x^nfn)G(fn)  (G)B1/n(G(φ))  (G(fn)B1/n(G(φ)))

(x^n,x^n)B1/n(G(φ))であるため、 d(x^n,xn)<1/nかつd(x^n,yn)<1/nとなるような(xn,yn)G(φ)が存在する。

Xはコンパクトであるため、{x^n}は、x^nkx^Xとなるような収束部分列{x^nk}をもつ。

nk2/εとなるようにとると、

d(xnk,x^)d(xnk,x^nk)+d(x^nk,x^)1/nk+ε/2ε/2+ε/2=ε

d(ynk,x^)d(ynk,x^nk)+d(x^nk,x^)1/nk+ε/2ε/2+ε/2=ε

定理2より、G(φ)は閉集合であるので、(x^,x^)G(φ)である。

よって、x^φ(x^)であり、x^φの不動点であることがわかる。

参考文献

[1]
丸山徹, 数理経済学の方法
[2]
高橋渉, 凸解析と不動点近似
[3]
多価写像の連続性, 丸山徹, 三田学会雑誌, 1977
投稿日:20231228
更新日:202414
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

hdk105
hdk105
14
15060
計測・制御・情報に興味があります. 備忘録として残していきます.

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
  1. はじめに
  2. 多価写像
  3. 不動点
  4. 角谷の不動点定理
  5. 参考文献