角谷の不動点定理の簡単な証明

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はじめに

ブラウワーの不動点定理を用いて、角谷の不動点定理を簡単に証明してみようと思います。
間違ってましたら、優しくご指摘頂ければ幸いです。

ブラウワーの不動点定理は下の記事で紹介いたしました。よかったらお読みくだされば幸いです。
ブラウワーの不動点定理のお気持ちと簡単な証明

多価写像

$X$ の各点 $x$ に対して、 $Y$ のある非空部分集合 $φ (x)$ を対応させる写像を多価写像といい、 $φ : X ↠ Y$ と書く。

【お気持ち】

多価写像のイメージ

コンパクト値な多価写像

多価写像 $φ : X ↠ Y$ の値がすべて $Y$ のコンパクト集合であるような場合、 $φ$ はコンパクト値な多価写像という。

上半連続

$φ : X ↠ Y$ が点 $x_{0} \in X$ において上半連続であるとは、集合 $φ (x_{0})$ の任意の近傍 $U$ に対して、 $x_{0}$ の適当な近傍 $V$ を選び、
$φ (V) = ⋃_{x \in V} φ (x) \subset U$
となることをいう。

不動点

多価写像の不動点

$X$ を非空集合とする。多価写像 $φ : X ↠ Y$ に対して、 $x^{*} \in φ (x^{*})$ を満たす点 $x^{*} \in X$ が存在するとき、 $x^{*}$ を $φ$ の不動点という。

【お気持ち】

図のように、 $x^{*} \in φ (x^{*})$ となるようなものがあれば不動点があるといえる !

多価写像の不動点

多価写像のグラフ

$X$ を非空集合とする。多価写像 $φ : X ↠ Y$ に対して、グラフ $G (φ)$ を
$G (φ) = {(x, y) \in X \times Y | y \in φ (x)}$
と定義する。

$X \subset R^{n}$ は、非空で、コンパクト集合であるとする。
$φ$ が上半連続で、凸値である。そのとき、任意の $ε > 0$ に対して、 $G (f_{ε}) \subset B_{ϵ} (G (φ))$ となるような連続写像 $f_{ε} : X \to X$ が存在する。

証明の詳細は文献[3]がわかりやすいです。

【お気持ち】

$ε > 0$ に対して、 $G (f_{ε}) \subset B_{ϵ} (G (φ))$ となるような連続写像 $f_{ε} : X \to X$ が存在する。

連続写像のイメージ

$X$ を位相空間とし、 $Y$ をコンパクトHausdorff空間とする。多価写像 $φ : X ↠ Y$ で、 $x \in X$ に対し、 $φ (x)$ が空でない閉集合であるとする。このとき、 $φ$ が $X$ で上半連続であるための必要十分条件は、 $φ$ のグラフ $G (φ)$ が $X \times Y$ で閉集合となることである。

証明の詳細は、文献[2]がわかりやすいです。

角谷の不動点定理

$X \subset R^{n}$ とする。 $X$ は非空で、コンパクト集合、凸集合であるとする。
$φ : X ↠ X$ は上半連続で、 $φ (x)$ は非空で、凸集合、コンパクト集合であるとする。
このとき、 $φ$ は $X$ 上に不動点をもつ。

【お気持ち】

図のように、ブラウワーの不動点定理より、連続写像 $f : X \to X$ は不動点をもつ。
そのため、連続写像 $f_{ε} : X \to X$ は、 $x^{*} = f_{ε} (x^{*})$ となる不動点がある !

つまり、 $ε \to 0$ とすれば、 $x^{*} \in φ (x^{*})$ となるような、 $φ$ の不動点 $x^{*}$ があるといえる。

連続写像のイメージ

$X \subset R^{n}$ のとき、コンパクト集合 $φ (x)$ は閉集合でもあることに注意する。

$B_{ϵ} (G (φ)) = {z \in X \times X | d (z, G (φ)) < ε}$

ただし、 $d (z, G (φ)) = inf_{(x, y) \in G (φ)} d (z, (x, y))$ である。

$X \subset R^{n}$ であり、 $φ$ が上半連続で、凸値である。定理1より、任意の $ε > 0$ に対して、 $G (f_{ε}) \subset B_{ϵ} (G (φ))$ となるような連続写像 $f_{ε} : X \to X$ が存在する。

$ε \to 0$ とすると、 $G (f_{n}) \subset B_{1 / n} (G (φ))$ となるような連続写像の列 ${f_{n}}$ が存在する。

ブラウワーの不動点定理より、各 $f_{n}$ は不動点 ${\hat{x}}_{n} \in X$ をもつ。

$\begin{array}{rcl} ({\hat{x}}_{n}, {\hat{x}}_{n}) & = & ({\hat{x}}_{n}, f_{n} ({\hat{x}}_{n})) (∵ {\hat{x}}_{n} は f_{n} の不動点) \\ \in & G (f_{n}) (∵ グラフ G の定義) \\ \subset & B_{1 / n} (G (φ)) (∵ G (f_{n}) \subset B_{1 / n} (G (φ))) \end{array}$

$({\hat{x}}_{n}, {\hat{x}}_{n}) \in B_{1 / n} (G (φ))$ であるため、 $d ({\hat{x}}_{n}, x_{n}) < 1 / n$ かつ $d ({\hat{x}}_{n}, y_{n}) < 1 / n$ となるような $(x_{n}, y_{n}) \in G (φ)$ が存在する。

$X$ はコンパクトであるため、 ${{\hat{x}}_{n}}$ は、 ${\hat{x}}_{n_{k}} \to \hat{x} \in X$ となるような収束部分列 ${{\hat{x}}_{n_{k}}}$ をもつ。

$n_{k} \geq 2 / ε$ となるようにとると、

$\begin{array}{rcl} d (x_{n_{k}}, \hat{x}) & \leq & d (x_{n_{k}}, {\hat{x}}_{n_{k}}) + d ({\hat{x}}_{n_{k}}, \hat{x}) \\ \leq & 1 / n_{k} + ε / 2 \\ \leq & ε / 2 + ε / 2 \\ = & ε \end{array}$

$\begin{array}{rcl} d (y_{n_{k}}, \hat{x}) & \leq & d (y_{n_{k}}, {\hat{x}}_{n_{k}}) + d ({\hat{x}}_{n_{k}}, \hat{x}) \\ \leq & 1 / n_{k} + ε / 2 \\ \leq & ε / 2 + ε / 2 \\ = & ε \end{array}$