ブラウワーの不動点定理を用いて、角谷の不動点定理を簡単に証明してみようと思います。
間違ってましたら、優しくご指摘頂ければ幸いです。
ブラウワーの不動点定理は下の記事で紹介いたしました。よかったらお読みくだされば幸いです。
ブラウワーの不動点定理のお気持ちと簡単な証明
【お気持ち】
多価写像のイメージ
多価写像
となることをいう。
【お気持ち】
図のように、
多価写像の不動点
と定義する。
証明の詳細は文献[3]がわかりやすいです。
【お気持ち】
連続写像のイメージ
証明の詳細は、文献[2]がわかりやすいです。
このとき、
【お気持ち】
図のように、ブラウワーの不動点定理より、連続写像
そのため、連続写像
つまり、
連続写像のイメージ
ただし、
ブラウワーの不動点定理より、各
定理2より、
よって、