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素数と平方数、"多い"のは?

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素数と平方数はどっちが多い?

大前提に

素数も平方数も等しく無限にあります。
なので、日常的な文脈での"個数"はどちらも無限個であって、どっちが多いというのは荒唐無稽であるとも言えるでしょう。
しかし、比べる術がないという訳ではありません。

集合の濃度

例えば、X={1,2,3}という集合の要素の個数は、3個です。
では、Y={1,2,3,}という集合の要素の個数はいくつでしょうか?
Xよりも多いことはわかりますが、これでは個数というものを計れません。
Xのような有限個の要素からなる集合(有限集合)の要素の個数を、もっと一般の集合に対して定義し、Yのような要素を無限に持つ集合(無限集合)についても考えられるようにしたものが、集合の濃度1です。

個数との違い

集合の濃度

集合XYについて、濃度を|X||Y|と表す。

XからYへの単射が存在するとき、|X||Y|とする。
XからYへの全単射が存在するとき、|X|=|Y|とする。
(XからYへの単射が存在し、かつ全単射が存在しないとき、|X|<|Y|とする。)

・特にXが要素をn個持つ有限集合のとき、|X|=nとする。

※単射・全単射についての説明は冗長になるので、 ヨビノリさんの動画 に代えさせてもらいます。

さて、個数と大きな違いは、絶対評価ではなく相対評価であるところでしょう。
濃度の大小は、2つの集合を比べて初めてわかります。
ただし、有限集合の場合は濃度と個数が一致するので、絶対評価で大小を考えることができます。

素数、平方数の集合の濃度

ではさっそく素数、平方数の集合の濃度を考えてみましょう。
素数全体の集合はP、平方数全体の集合はSと表すことにします。
直接PSに対して考えてもよいですが、簡単のために自然数全体の集合Nとの濃度を比べていきます。
PSは、以下のようにどちらも要素の小さい順に番号を一つずつ振っていくことができます。

N12345
P235711
S014916

これはNからの全単射となっているので、
|N|=|P|であり、|N|=|S|
よって|P|=|S|がわかります。

このように番号を振ることができる集合を可算集合といいます。
(数列を作ることを考えるとよい。)
実は整数全体の集合Zや有理数全体の集合Qも同じく可算集合です。
つまり、信じがたいですが|N|=|P|=|S|=|Z|=|Q|です。
というわけで集合の濃度によれば、どちらも多くも少なくもないようです。

調和級数

今度はちょっとトリッキーですが、逆数にして和を取ってみましょう。
つまり以下の2つの級数を考えます。
sS1s=n=11n2         pP1p=12+13+15+17+
(しれっと0Sとしてます。)
おっと?平方数の逆数の和といえば?バーゼル問題というやつですね。
n=11n2=π26
に収束することが知られています。
※バーゼル問題についての説明はそれだけでもう一本記事が書けるので、また ヨビノリさんの動画 に代えさせてもらいます。
n=11n2=π26

では、素数の逆数の和2はどうでしょうか。
素数を小さい順にp1,p2,として、自然数n以下で最大の素数をpmとします。
このとき、以下が成り立ちます。
k=1n1ki=1m(1+1pi+1pi2+1pi3+)
=(1+12+122+123+)(1+13+132+133+)(1+15+152+153+)
右辺を展開すると、少なくとも自然数の逆数はすべて出てきます。
1+1pi+1pi2+1pi3+=111pi=1+1pi1
と、さらに両辺に自然対数を取って
log(k=1n1k)log{i=1m(1+1pi1)}=i=1mlog(1+1pi1)
さらに、この右辺にlog(1+x)<x  (x>0)を適用して
log(k=1n1k)i=1mlog(1+1pi1)<i=1m1pi1
pi1pi1であるから、
i=1m1pi1=1+i=2m1pi11+i=2m1pi1=1+j=1m11pj
よって
log(k=1n1k)<1+j=1m11pj
が得られます。
この式において、nとするとmであり、
左辺の真数は、調和級数なので発散します。
よって、右辺も発散するので、
limmj=1m11pj=pP1p=
というわけで、素数の逆数の和が発散することがわかりました。
平方数の逆数の和は収束、素数の逆数の和は発散。
ここから、平方数より素数の方が多いといっていいかもしれません。

間隔

次は、ある数とその次の数の間隔を見てみましょう。
sn=n2の次の平方数はsn+1=(n+1)2なので、その間隔gs(n)
gs(n)=(n+1)2n2=2n+1=2sn+1
です。
では素数はどうでしょうか。
素数に関しては正確なことは言えませんが、もしリーマン予想が正しいなら、
n番目とn+1番目の素数の間隔gp(n)=pn+1pnが、
gp(n)=O((logpn)2)
であると予想3されています。O(  ) ランダウの記号 です。
つまり大体素数の間隔は(logpn)2で表されるということです。
この2つの比の極限を考えると
limn2sn+1(logpn)2=limsnpn2sn+1(logpn)2=
となり、素数より平方数の方が早く間隔が広がるようです。
ここから、平方数より素数の方が多いといっていいかもしれません。

ルジャンドル予想

ちょうど素数と平方数について、高名な予想があります。
それがルジャンドル予想です。

ルジャンドル予想

任意の自然数nについて
n2(n+1)2の間には必ず素数が存在する。

これは予想ですが、もし正しいと証明されれば少なくとも16以下の素数は6個、平方数は5個なので、次の平方数25以下の素数は少なくとも7個あり、対して平方数は6個。
これを以後繰り返すことにより、どれだけ平方数の数が増えようと、それまでにそれより多くの素数が存在します。
ここから、平方数より素数の方が多いといっていいかもしれません。

素数定理

素数定理

n以下の素数の数π(n)は、nが十分大きいとき
      nlogn
で近似できる。

また、n以下の平方数の数σ(n)は、
σ(n)=n+1
と表せます。(※xx以下の最大の整数。)
定義から、x1<xxなので
十分大きなn
n(n+1)lognπ(n)σ(n)
となる。
limnn(n+1)logn=limnn(1+1n)logn=
より、
limnπ(n)σ(n)=
ここから、平方数より素数の方が多いといっていいかもしれません。

終わりに

ちゃんと答えるなら、「有限でないからどっちが多いとか少ないとかないよ~」が答えになりますが、他の観点で見ると素数の方が多いって言ってもいいかも?

参考文献

投稿日:2024928
更新日:2024929
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nはあなたの好きな正の整数|Hokkaido.Univ(Math B1)

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  1. 素数と平方数はどっちが多い?
  2. 大前提に
  3. 集合の濃度
  4. 調和級数
  5. 間隔
  6. ルジャンドル予想
  7. 素数定理
  8. 終わりに
  9. 参考文献