素数の逆数和の発散を単純に

$\begin{array}{rl}n& \ge 1\\ S_n& :=\sum _{k=1}^n\frac{1}{p_k}\\ T_n& :=\prod _{k=1}^n\left(1+\frac{1}{p_k}\right)\end{array}$

${\displaystyle T_n<\prod _{k=1}^n\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!p_k}+\frac{1}{2!p_k^2}+\cdots \right)=\prod _{k=1}^n{e}^{\frac{1}{p_k}}=e^{S_n}}$

${\displaystyle \prod _p\left(1+\frac{1}{p}\right)=\prod _p\frac{1-\frac{1}{p^2}}{1-\frac{1}{p}}=\prod _p\frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots }{\frac{1}{1}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}+\cdots }=\frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots }{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots }=\mathrm{\infty }}$
である為$T_n$は正の無限大に発散する。
よって$S_n$は正の無限大に発散する。