【スピン幾何】Majorana形式

スピノルの基本事項

　spinor空間には複素スカラー積が２つあります（他にもあるかもしれないが有名なものは２つ）。それがMajorana形式とDirac形式です。ここではMajorana形式を説明します。

　Majorana形式は任意の$n=s+t$に対して存在しますが、$\mu ,\nu$は次元に依存します。$\mu ,\nu$は次の表のようになります。

　Majorana形式は$Spin(t,s)$不変となります。実際$g=X_1\cdots X_{2p}{Y}_1\cdots Y_{2q}$に対して、
$$(g\psi ,g\varphi )={\mu }^{2(p+q)}\eta (X_1,X_1)\cdots \eta (X_{2p},X_{2p})\eta (Y_1,Y_1)\cdots \eta (Y_{2q},Y_{2q})(\psi ,\varphi )=(\psi ,\varphi )$$
となります。

　複素行列$C$により、Majorana形式を
$$(\psi ,\varphi )={}^t\psi C\varphi$$
と表すと、上の1,2の条件は
$${}^t{\gamma }_{a}C=\mu C{\gamma }_a,{}^{t}C=\nu C$$
と表されます。$C$はcharge conjugate matrixとも呼ばれます（文脈依存のようです）。

　Majorana形式が非退化なのでMajorana形式を用いてスピノルの双対を考えることができます。

　Majorana共役は行列表示で書けば定義より、
$$\tilde{\psi }={}^t\psi C$$
となります。

　文献によってはMajorana共役を表すとき$\overline{\psi }$を使うこともあるらしいので注意が必要です。Majorana共役はニュートリノを扱うときにMajorana mass termで登場します。

4次元Lorentzの場合

　$t=1,s=3$の４次元Lorentzのとき、
$$C=i{\mathrm{\Gamma }}_0{\mathrm{\Gamma }}_2=\left(\begin{array}{cc}-i{\sigma }_2& 0\\ 0& i{\sigma }_2\end{array}\right)$$
となり、$\mu =\nu =-1$となります。