Laguerre多項式の3つの積の積分
Laguerre多項式は
\begin{align}
L_n^{(a)}(x):=\frac{(a+1)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(a+1)_k}x^k
\end{align}
によって定義される直交多項式である. 今回はLaguerre多項式の3つの積の積分
\begin{align}
\frac 1{\Gamma(a+1)}\int_0^{\infty}x^ae^{-x}L_l^{(a)}(x)L_m^{(a)}(x)L_n^{(a)}(x)\,dx
\end{align}
について考えたいと思う. 結論から言うと,
\begin{align}
&\frac 1{\Gamma(a+1)}\int_0^{\infty}x^ae^{-x}L_l^{(a)}(x)L_m^{(a)}(x)L_n^{(a)}(x)\,dx\\
&=(-2)^{l+m+n}\sum_{0\leq k}\frac{(a+1)_{k}}{(k-l)!(k-m)!(k-n)!(l+m+n-2k)!4^k}
\end{align}
が成り立つ.
導出
まず, 定義から項別積分によって
\begin{align}
&\frac 1{\Gamma(a+1)}\int_0^{\infty}x^ae^{-x}L_l^{(a)}(x)L_m^{(a)}(x)L_n^{(a)}(x)\,dx\\
&=\frac{(a+1)_l(a+1)_m(a+1)_n}{l!m!n!}\sum_{0\leq i,j,k}\frac{(-l)_i(-m)_j(-n)_k}{i!(a+1)_ij!(a+1)_jk!(a+1)_k}\frac 1{\Gamma(a+1)}\int_0^{\infty}x^{i+j+k+a}e^{-x}\,dx\\
&=\frac{(a+1)_l(a+1)_m(a+1)_n}{l!m!n!}\sum_{0\leq i,j,k}\frac{(-l)_i(-m)_j(-n)_k(a+1)_{i+j+k}}{i!(a+1)_ij!(a+1)_jk!(a+1)_k}
\end{align}
と表すことができる. 次に, Vandermondeの恒等式を用いると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq i,j,k}\frac{(-l)_i(-m)_j(-n)_k(a+1)_{i+j+k}}{i!(a+1)_ij!(a+1)_jk!(a+1)_k}\\
&=\sum_{0\leq i,j}\frac{(-l)_i(-m)_j(a+1)_{i+j}}{i!(a+1)_ij!(a+1)_j}\sum_{0\leq k}\frac{(a+i+j+1,-n)_k}{k!(a+1)_k}\\
&=\sum_{0\leq i,j}\frac{(-l)_i(-m)_j(a+1)_{i+j}}{i!(a+1)_ij!(a+1)_j}\frac{(-i-j)_n}{(a+1)_n}\\
&=\frac{(-1)^n}{(a+1)_n}\sum_{0\leq i,j}\frac{(-l)_i(-m)_j(a+1)_{i+j}(i+j)!}{i!(a+1)_ij!(a+1)_j(i+j-n)!}
\end{align}
を得る. ここで, Vandermondeの恒等式より
\begin{align}
\frac{(a+1)_{i+j}}{(a+1)_i(a+1)_j}&=\sum_{0\leq k}\frac{(-i,-j)_k}{k!(a+1)_k}
\end{align}
と表されることを用いると
\begin{align}
&\sum_{0\leq i,j}\frac{(-l)_i(-m)_j(a+1)_{i+j}(i+j)!}{i!(a+1)_ij!(a+1)_j(i+j-n)!}\\
&=\sum_{0\leq i,j,k}\frac{(-l)_i(-m)_j(i+j)!}{i!j!(i+j-n)!}\frac{(-i,-j)_k}{k!(a+1)_k}\\
&=\sum_{0\leq i,j,k}\frac{(-l)_i(-m)_j(i+j)!}{k!(a+1)_k(i-k)!(j-k)!(i+j-n)!}\\
&=\sum_{0\leq i,j,k}\frac{(-l)_{i+k}(-m)_{j+k}(i+j+2k)!}{k!(a+1)_ki!j!(i+j+2k-n)!}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(-l,-m)_k}{k!(a+1)_k}\sum_{0\leq i,j}\frac{(k-l)_{i}(k-m)_{j}(i+j+2k)!}{i!j!(i+j+2k-n)!}
\end{align}
となる. ここで, 再びVandermondeの恒等式より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq i,j}\frac{(k-l)_{i}(k-m)_{j}(i+j+2k)!}{i!j!(i+j+2k-n)!}\\
&=\sum_{0\leq i}\frac{(k-l)_{i}(i+2k)!}{i!(i+2k-n)!}\sum_{0\leq j}\frac{(k-m,i+2k+1)_j}{j!(i+2k-n+1)_j}\\
&=\sum_{0\leq i}\frac{(k-l)_{i}(i+2k)!}{i!(i+2k-n)!}\frac{(-n)_{m-k}}{(i+2k-n+1)_{m-k}}\\
&=(-n)_{m-k}\sum_{0\leq i}\frac{(k-l)_{i}(i+2k)!}{i!(i+k+m-n)!}\\
&=\frac{(-n)_{m-k}(2k)!}{(k+m-n)!}\sum_{0\leq i}\frac{(k-l,2k+1)_{i}}{i!(1+k+m-n)_i}\\
&=\frac{(-n)_{m-k}(2k)!}{(k+m-n)!}\frac{(m-n-k)_{l-k}}{(1+k+m-n)_{l-k}}\\
&=\frac{(-n)_{l+m-2k}(2k)!}{(l+m-n)!}
\end{align}
であることから(途中の式変形で分母に$0$が現れているところは, $\varepsilon$だけずらしておいて$\varepsilon\to 0$とすることで正当化される),
\begin{align}
&\sum_{0\leq i,j}\frac{(-l)_i(-m)_j(a+1)_{i+j}(i+j)!}{i!(a+1)_ij!(a+1)_j(i+j-n)!}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(-l,-m)_k}{k!(a+1)_k}\frac{(-n)_{l+m-2k}(2k)!}{(l+m-n)!}\\
&=\frac{(-1)^{l+m}n!}{(l+m-n)!}\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!(-l,-m)_k}{k!(a+1)_k(n-l-m+2k)!}
\end{align}
を得る. ここまでの計算をまとめると,
\begin{align}
&\frac 1{\Gamma(a+1)}\int_0^{\infty}x^ae^{-x}L_l^{(a)}(x)L_m^{(a)}(x)L_n^{(a)}(x)\,dx\\
&=\frac{(a+1)_l(a+1)_m}{l!m!}\frac{(-1)^{l+m+n}}{(l+m-n)!}\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!(-l,-m)_k}{k!(a+1)_k(n-l-m+2k)!}
\end{align}
が得られる. より対称的な表示を得るために, さらに計算を進める. $m\geq l$を仮定すると(最後の表示は対称的になるので, このように仮定しても一般性を失わない.)
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!(-l,-m)_k}{k!(a+1)_k(n-l-m+2k)!}\\
&=\sum_{k=0}^l\frac{(2l-2k)!(-l,-m)_{l-k}}{(l-k)!(a+1)_{l-k}(n+l-m-2k)!}\\
&=\frac{(2l)!m!}{(a+1)_l(l+n-m)!(m-l)!}\sum_{k=0}^l\frac{(-l,-a-l)_k(m-l-n)_{2k}}{k!(1+m-l)_k(-2l)_{2k}}\\
&=\frac{(2l)!m!}{(a+1)_l(l+n-m)!(m-l)!}\sum_{k=0}^l\frac{\left(-a-l,\frac{m-l-n}2,\frac{1+m-l-n}2\right)_k}{k!\left(1+m-l,\frac 12-l\right)_k}\\
&=\frac{(2l)!m!}{(a+1)_l(l+n-m)!(m-l)!}\F32{-a-l,\frac{m-l-n}2,\frac{1+m-l-n}2}{1+m-l,\frac 12-l}1
\end{align}
となる. ここで,
Whippleの${}_4F_3$変換公式
において$ c,f$以外を固定して$c\to\infty$として得られる等式
\begin{align}
\F32{a,b,-n}{d,e}1=\frac{(e-a)_n}{(e)_n}\F32{a,d-b,-n}{d,1-n+a-e}1
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
&\F32{-a-l,\frac{m-l-n}2,\frac{1+m-l-n}2}{1+m-l,\frac 12-l}1\\
&=\frac{2^{l+n-m}(-l)_{l+n-m}}{(-2l)_{l+n-m}}\F32{a+m+1,\frac{m-l-n}2,\frac{1+m-l-n}2}{1+m-l,1+m-n}1\\
&=\frac{2^{l+n-m}l!(l+m-n)!}{(2l)!(m-n)!}\F32{a+m+1,\frac{m-l-n}2,\frac{1+m-l-n}2}{1+m-l,1+m-n}1
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!(-l,-m)_k}{k!(a+1)_k(n-l-m+2k)!}\\
&=\frac{2^{l+n-m}l!m!}{(a+1)_l(m-l)!(m-n)!}\F32{a+m+1,\frac{m-l-n}2,\frac{1+m-l-n}2}{1+m-l,1+m-n}1\\
&=\frac{2^{l+n-m}l!m!(l+n-m)!}{(a+1)_l(a+1)_m}\sum_{0\leq k}\frac{(a+1)_{m+k}}{k!(k+m-l)!(k+m-n)!(l+n-m-2k)!4^k}\\
&=\frac{2^{l+m+n}l!m!(l+n-m)!}{(a+1)_l(a+1)_m}\sum_{0\leq k}\frac{(a+1)_{k}}{(k-l)!(k-m)!(k-n)!(l+m+n-2k)!4^k}\\
\end{align}
となる. よって, これらをまとめると以下を得る.
非負整数$l,m,n$に対し,
\begin{align}
&\frac 1{\Gamma(a+1)}\int_0^{\infty}x^ae^{-x}L_l^{(a)}(x)L_m^{(a)}(x)L_n^{(a)}(x)\,dx\\
&=(-2)^{l+m+n}\sum_{0\leq k}\frac{(a+1)_{k}}{(k-l)!(k-m)!(k-n)!(l+m+n-2k)!4^k}
\end{align}
が成り立つ.
線形化公式
Laguerre多項式の直交性
\begin{align}
\frac 1{\Gamma(a+1)}\int_0^{\infty}x^ae^{-x}L_m^{(a)}(x)L_n^{(a)}(x)\,dx=\frac{(a+1)_n}{n!}\delta_{m,n}
\end{align}
より, 定理1は以下の線形化公式の形に書き換えられる.
非負整数$l,m$に対し,
\begin{align}
L_m^{(a)}(x)L_n^{(a)}(x)&=\sum_{0\leq l}\frac{l!(-2)^{l+m+n}}{(a+1)_l}L_l^{(a)}(x)\sum_{0\leq k}\frac{(a+1)_{k}}{(k-l)!(k-m)!(k-n)!(l+m+n-2k)!4^k}
\end{align}
が成り立つ.
Franel数の表示
$L_n(x):=L_n^{(0)}(x)$とする. 定理1において, $a=0, l=m=n$とすると,
\begin{align}
\int_0^{\infty}e^{-x}L_n(x)^3\,dx&=(-8)^n\sum_{0\leq k}\frac{k!}{(k-n)!^3(3n-2k)!4^k}\\
&=(-2)^n\sum_{0\leq k}\frac{(n+k)!}{k!^3(n-2k)!4^k}\\
&=(-2)^n\F32{n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}1
\end{align}
ここで,
前の記事
で示したように,
\begin{align}
2^n\F32{n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}1=\sum_{k=0}^n\binom nk^3
\end{align}
が成り立つので, 以下が得られる.
\begin{align} \int_0^{\infty}e^{-x}L_n(x)^3\,dx&=(-1)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^3 \end{align}
この右辺の
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^3
\end{align}
はFranel数と呼ばれる数列である. OEISの
A000172
によれば, 定理3はAskeyの1975年の本に書かれているようである. しかし, 僕はまだその本は入手できておらず, そこに定理1や定理2が書かれているのかどうかまではまだ把握できていない.
