Winquistの恒等式

\begin{align} f(x,y)-f(y,x)&=(q^3;q^3)_{\infty}^2(y\langle x^3,y^3q;q^3\rangle_{\infty}-x\langle y^3,x^3q;q^3\rangle_{\infty})\\ &\qquad+(q^3;q^3)_{\infty}^2(x^2\langle y^3,x^3q^2;q^3\rangle_{\infty}-y^2\langle x^3,y^3q^2;q^3\rangle_{\infty}) \end{align}
である. 1つ目の項はJacobiの三重積より,
\begin{align} &(q^3;q^3)_{\infty}^2(y\langle x^3,y^3q;q^3\rangle_{\infty}-x\langle y^3,x^3q;q^3\rangle_{\infty})\\ &=\sum_{i,j\in\ZZ}(-1)^{i+j}q^{3\binom i2+3\binom j2+i}(y^{3i+1}x^{3j}-x^{3i+1}y^{3j})\\ &=y\sum_{m=n\pmod 2}(-1)^mq^{\frac 34m^2+\frac 34n^2-m+\frac n2}(1-(x/y)^{3n+1})(xy)^{\frac 32m}(y/x)^{\frac 32n},\qquad(i+j=m, i-j=n) \end{align}
ここで, $n,m$が偶数のものはJacobiの三重積, Watsonの五重積を用いて,
\begin{align} &y\sum_{m,n\in\ZZ}q^{3m^2+3n^2-2m+n}(1-(x/y)^{6n+1})(xy)^{3m}(y/x)^{3n}\\ &=y(q^6;q^6)_{\infty}\langle-x^3y^3q;q^6\rangle_{\infty}\cdot(q^2;q^2)_{\infty}\langle x/y;q^2\rangle_{\infty}\langle x^2q^2/y^2;q^4\rangle_{\infty}\\ &=y(q^2;q^2)_{\infty}(q^6;q^6)_{\infty}\langle-x^3y^3q;q^6\rangle_{\infty}\cdot\langle x/y;q^2\rangle_{\infty}\langle xq/y,-xq/y;q^2\rangle_{\infty}\\ &=y(q^2;q^2)_{\infty}(q^6;q^6)_{\infty}\langle x/y;q\rangle_{\infty}\langle-xq/y;q^2\rangle_{\infty}\langle-x^3y^3q;q^6\rangle_{\infty} \end{align}
となる. $n,m$が奇数の場合もJacobiの三重積, Watsonの五重積を用いて,
\begin{align} &-y\sum_{m,n\in\ZZ}q^{\frac 34(2m+1)^2+\frac 34(-2n-1)^2-(2m+1)+\frac{1}2(-2n-1)}(1-(y/x)^{6n+2})(xy)^{\frac 32(2m+1)}(y/x)^{\frac 32(-2n-1)}\\ &=-x^3y\sum_{m,n\in\ZZ}q^{3m^2+m+3n^2+2n}(1-(y/x)^{6n+2})(xy)^{3m}(x/y)^{3n}\\ &=-x^3y(q^6;q^6)_{\infty}\langle -x^3y^3q^4; q^6\rangle_{\infty}\cdot(q^2;q^2)_{\infty}\langle xq/y;q^2\rangle_{\infty}\langle x^2q^4/y^2;q^4\rangle_{\infty}\\ &=xy^3(q^2;q^2)_{\infty}(q^6;q^6)_{\infty}\langle x/y;q\rangle_{\infty}\langle -x/y;q^2\rangle_{\infty}\langle -x^3y^3q^4; q^6\rangle_{\infty} \end{align}
であるから,
\begin{align} &(q^3;q^3)_{\infty}^2(y\langle x^3,y^3q;q^3\rangle_{\infty}-x\langle y^3,x^3q;q^3\rangle_{\infty})\\ &=y(q^2;q^2)_{\infty}(q^6;q^6)_{\infty}\langle x/y;q\rangle_{\infty}\langle-xq/y;q^2\rangle_{\infty}\langle-x^3y^3q;q^6\rangle_{\infty}\\ &\qquad+xy^3(q^2;q^2)_{\infty}(q^6;q^6)_{\infty}\langle x/y;q\rangle_{\infty}\langle -x/y;q^2\rangle_{\infty}\langle -x^3y^3q^4; q^6\rangle_{\infty}\\ &=(q^2;q^2)_{\infty}(q^6;q^6)_{\infty}\langle x/y;q\rangle_{\infty}(y\langle -xq/y;q^2\rangle_{\infty}\langle -x^3y^3q;q^6\rangle_{\infty}+xy^3\langle -x/y;q^2\rangle_{\infty}\langle -x^3y^3q^4; q^6\rangle_{\infty}) \end{align}
これを$x\mapsto q/x,y\mapsto q/y$とした式から,
\begin{align} &(q^3;q^3)_{\infty}^2(x^2\langle y^3,x^3q^2;q^3\rangle_{\infty}-y^2\langle x^3,y^3q^2;q^3\rangle_{\infty})\\ &=(q^3;q^3)_{\infty}^2\left(\frac qy\langle q^3/x^3,q^4/y^3;q^3\rangle_{\infty}-\frac qx\langle q^3/y^3,q^4/x^3;q^3\rangle_{\infty}\right)\\ &=(q^2;q^2)_{\infty}(q^6;q^6)_{\infty}\langle y/x;q\rangle_{\infty}((q/y)\langle -yq/x;q^2\rangle_{\infty}\langle -q^7/x^3y^3;q^6\rangle_{\infty}+(q/x)(q/y)^3\langle -y/x;q^2\rangle_{\infty}\langle -q^{10}/x^3y^3; q^6\rangle_{\infty})\\ &=(q^2;q^2)_{\infty}(q^6;q^6)_{\infty}\langle x/y;q\rangle_{\infty}(-x^2y^3\langle -yq/x;q^2\rangle_{\infty}\langle -x^3y^3q^5;q^6\rangle_{\infty}-y^2\langle -x/y;q^2\rangle_{\infty}\langle -x^3y^3q^2; q^6\rangle_{\infty}) \end{align}
よって,
\begin{align} &f(x,y)-f(y,x)\\ &=(q^2;q^2)_{\infty}(q^6;q^6)_{\infty}\langle x/y;q\rangle_{\infty}(y\langle -xq/y;q^2\rangle_{\infty}\langle -x^3y^3q;q^6\rangle_{\infty}+xy^3\langle -x/y;q^2\rangle_{\infty}\langle -x^3y^3q^4; q^6\rangle_{\infty})\\ &\qquad+(q^2;q^2)_{\infty}(q^6;q^6)_{\infty}\langle x/y;q\rangle_{\infty}(-x^2y^3\langle -yq/x;q^2\rangle_{\infty}\langle -x^3y^3q^5;q^6\rangle_{\infty}-y^2\langle -x/y;q^2\rangle_{\infty}\langle -x^3y^3q^2; q^6\rangle_{\infty}) \end{align}
ここで, Watsonの五重積より,
\begin{align} &(q^6;q^6)(\langle -x^3y^3q;q^6\rangle_{\infty}-x^2y^2\langle -x^3y^3q^5;q^6\rangle_{\infty})\\ &=(q^2;q^2)_{\infty}\langle xyq;q^2\rangle_{\infty}\langle x^2y^2;q^4\rangle\\ &=(q^2;q^2)_{\infty}\langle xy;q\rangle_{\infty}\langle -xy;q^2\rangle\\ &(q^6;q^6)(\langle -x^3y^3q^2;q^6\rangle_{\infty}-xy\langle -x^3y^3q^4;q^6\rangle_{\infty})\\ &=(q^2;q^2)_{\infty}\langle xy;q^2\rangle_{\infty}\langle x^2y^2q^2;q^4\rangle\\ &=(q^2;q^2)_{\infty}\langle xy;q\rangle_{\infty}\langle -xyq;q^2\rangle\\ \end{align}
であるから,
\begin{align} f(x,y)-f(y,x)&=y(q^2;q^2)_{\infty}^2\langle xy,x/y;q\rangle_{\infty}(\langle -xq/y,-xy;q^2\rangle-y\langle -xyq,-x/y;q^2\rangle_{\infty}) \end{align}
を得る. ここで, 三項関係式
\begin{align} \langle A/b,A/c,A/d,A/e;q\rangle_{\infty}-\langle b,c,d,e;q\rangle_{\infty}=b\langle A,A/bc,A/bd,/Abe;q\rangle_{\infty},\qquad(A^2=bcde) \end{align}
において, $b=y, c=x, d=\sqrt q,e=-\sqrt q$とすると,
\begin{align} \langle -xq/y,-xy;q^2\rangle-(q;q^2)_{\infty}^2\langle x,y;q\rangle_{\infty}=y\langle -xyq,-x/y;q^2\rangle_{\infty} \end{align}
つまり,
\begin{align} \langle -xq/y,-xy;q^2\rangle-y\langle -xyq,-x/y;q^2\rangle_{\infty}=(q;q^2)_{\infty}^2\langle x,y;q\rangle_{\infty} \end{align}
を得る. これを代入して定理を得る.