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Winquistの恒等式

$⟨ x; q ⟩_{\infty} := (x, q / x; q)_{\infty}, ⟨ a_{1}, \dots, a_{r}; q ⟩_{\infty} = ⟨ a_{1}; q ⟩_{\infty} \dots ⟨ a_{r}; q ⟩_{\infty}$ という記法を用いる.　これには $⟨ x; q ⟩_{\infty} = - x ⟨ x q; q ⟩_{\infty}$ という性質がある. Jacobiの三重積 , Watsonの五重積はそれぞれ,
$\begin{aligned} (q; q)_{\infty} ⟨ x; q ⟩_{\infty} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})} x^{n} \\ (q; q)_{\infty} ⟨ x; q ⟩_{\infty} ⟨ x^{2} q; q^{2} ⟩_{\infty} & = \sum_{n \in Z} (1 - x^{6 n + 1}) q^{3 (\binom{n}{2})} (q^{2} / x^{3})^{n} \\ = \sum_{n \in Z} (1 - (q / x^{2})^{3 n + 1}) q^{3 (\binom{n}{2})} (x^{3} q)^{n} \end{aligned}$
と表される. 今回は以下の定理を示す.

Winquist(1969)

$\begin{aligned} f (x, y) & = y (q^{3}; q^{3})_{\infty}^{2} (⟨ x^{3}, y^{3} q; q^{3} ⟩_{\infty} - y ⟨ x^{3}, y^{3} q^{2}; q^{3} ⟩_{\infty}) \\ = y \sum_{i, j \in Z} (- 1)^{i + j} q^{3 (\binom{i}{2}) + 3 (\binom{j}{2}) + j} x^{3 i} (y^{3 j} - y^{1 - 3 j}) \end{aligned}$
としたとき,
$\begin{aligned} f (x, y) - f (y, x) & = y (q; q)_{\infty}^{2} ⟨ x, y, x y, x / y; q ⟩_{\infty} \end{aligned}$
が成り立つ.

$\begin{aligned} f (x, y) - f (y, x) & = (q^{3}; q^{3})_{\infty}^{2} (y ⟨ x^{3}, y^{3} q; q^{3} ⟩_{\infty} - x ⟨ y^{3}, x^{3} q; q^{3} ⟩_{\infty}) \\ + (q^{3}; q^{3})_{\infty}^{2} (x^{2} ⟨ y^{3}, x^{3} q^{2}; q^{3} ⟩_{\infty} - y^{2} ⟨ x^{3}, y^{3} q^{2}; q^{3} ⟩_{\infty}) \end{aligned}$
である. 1つ目の項はJacobiの三重積より,
$\begin{aligned} (q^{3}; q^{3})_{\infty}^{2} (y ⟨ x^{3}, y^{3} q; q^{3} ⟩_{\infty} - x ⟨ y^{3}, x^{3} q; q^{3} ⟩_{\infty}) \\ = \sum_{i, j \in Z} (- 1)^{i + j} q^{3 (\binom{i}{2}) + 3 (\binom{j}{2}) + i} (y^{3 i + 1} x^{3 j} - x^{3 i + 1} y^{3 j}) \\ = y \sum_{m = n (\mod 2)} (- 1)^{m} q^{\frac{3}{4} m^{2} + \frac{3}{4} n^{2} - m + \frac{n}{2}} (1 - (x / y)^{3 n + 1}) (x y)^{\frac{3}{2} m} (y / x)^{\frac{3}{2} n}, (i + j = m, i - j = n) \end{aligned}$
ここで, $n, m$ が偶数のものはJacobiの三重積, Watsonの五重積を用いて,
$\begin{aligned} y \sum_{m, n \in Z} q^{3 m^{2} + 3 n^{2} - 2 m + n} (1 - (x / y)^{6 n + 1}) (x y)^{3 m} (y / x)^{3 n} \\ = y (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q; q^{6} ⟩_{\infty} \cdot (q^{2}; q^{2})_{\infty} ⟨ x / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ x^{2} q^{2} / y^{2}; q^{4} ⟩_{\infty} \\ = y (q^{2}; q^{2})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q; q^{6} ⟩_{\infty} \cdot ⟨ x / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ x q / y, - x q / y; q^{2} ⟩_{\infty} \\ = y (q^{2}; q^{2})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ x / y; q ⟩_{\infty} ⟨ - x q / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q; q^{6} ⟩_{\infty} \end{aligned}$
となる. $n, m$ が奇数の場合もJacobiの三重積, Watsonの五重積を用いて,
$\begin{aligned} - y \sum_{m, n \in Z} q^{\frac{3}{4} (2 m + 1)^{2} + \frac{3}{4} (- 2 n - 1)^{2} - (2 m + 1) + \frac{1}{2} (- 2 n - 1)} (1 - (y / x)^{6 n + 2}) (x y)^{\frac{3}{2} (2 m + 1)} (y / x)^{\frac{3}{2} (- 2 n - 1)} \\ = - x^{3} y \sum_{m, n \in Z} q^{3 m^{2} + m + 3 n^{2} + 2 n} (1 - (y / x)^{6 n + 2}) (x y)^{3 m} (x / y)^{3 n} \\ = - x^{3} y (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q^{4}; q^{6} ⟩_{\infty} \cdot (q^{2}; q^{2})_{\infty} ⟨ x q / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ x^{2} q^{4} / y^{2}; q^{4} ⟩_{\infty} \\ = x y^{3} (q^{2}; q^{2})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ x / y; q ⟩_{\infty} ⟨ - x / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q^{4}; q^{6} ⟩_{\infty} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} (q^{3}; q^{3})_{\infty}^{2} (y ⟨ x^{3}, y^{3} q; q^{3} ⟩_{\infty} - x ⟨ y^{3}, x^{3} q; q^{3} ⟩_{\infty}) \\ = y (q^{2}; q^{2})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ x / y; q ⟩_{\infty} ⟨ - x q / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q; q^{6} ⟩_{\infty} \\ + x y^{3} (q^{2}; q^{2})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ x / y; q ⟩_{\infty} ⟨ - x / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q^{4}; q^{6} ⟩_{\infty} \\ = (q^{2}; q^{2})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ x / y; q ⟩_{\infty} (y ⟨ - x q / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q; q^{6} ⟩_{\infty} + x y^{3} ⟨ - x / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q^{4}; q^{6} ⟩_{\infty}) \end{aligned}$
これを $x \mapsto q / x, y \mapsto q / y$ とした式から,
$\begin{aligned} (q^{3}; q^{3})_{\infty}^{2} (x^{2} ⟨ y^{3}, x^{3} q^{2}; q^{3} ⟩_{\infty} - y^{2} ⟨ x^{3}, y^{3} q^{2}; q^{3} ⟩_{\infty}) \\ = (q^{3}; q^{3})_{\infty}^{2} (\frac{q}{y} ⟨ q^{3} / x^{3}, q^{4} / y^{3}; q^{3} ⟩_{\infty} - \frac{q}{x} ⟨ q^{3} / y^{3}, q^{4} / x^{3}; q^{3} ⟩_{\infty}) \\ = (q^{2}; q^{2})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ y / x; q ⟩_{\infty} ((q / y) ⟨ - y q / x; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - q^{7} / x^{3} y^{3}; q^{6} ⟩_{\infty} + (q / x) (q / y)^{3} ⟨ - y / x; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - q^{10} / x^{3} y^{3}; q^{6} ⟩_{\infty}) \\ = (q^{2}; q^{2})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ x / y; q ⟩_{\infty} (- x^{2} y^{3} ⟨ - y q / x; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q^{5}; q^{6} ⟩_{\infty} - y^{2} ⟨ - x / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q^{2}; q^{6} ⟩_{\infty}) \end{aligned}$
よって,
$\begin{aligned} f (x, y) - f (y, x) \\ = (q^{2}; q^{2})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ x / y; q ⟩_{\infty} (y ⟨ - x q / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q; q^{6} ⟩_{\infty} + x y^{3} ⟨ - x / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q^{4}; q^{6} ⟩_{\infty}) \\ + (q^{2}; q^{2})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty} ⟨ x / y; q ⟩_{\infty} (- x^{2} y^{3} ⟨ - y q / x; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q^{5}; q^{6} ⟩_{\infty} - y^{2} ⟨ - x / y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ - x^{3} y^{3} q^{2}; q^{6} ⟩_{\infty}) \end{aligned}$
ここで, Watsonの五重積より,
$\begin{aligned} (q^{6}; q^{6}) (⟨ - x^{3} y^{3} q; q^{6} ⟩_{\infty} - x^{2} y^{2} ⟨ - x^{3} y^{3} q^{5}; q^{6} ⟩_{\infty}) \\ = (q^{2}; q^{2})_{\infty} ⟨ x y q; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ x^{2} y^{2}; q^{4} ⟩ \\ = (q^{2}; q^{2})_{\infty} ⟨ x y; q ⟩_{\infty} ⟨ - x y; q^{2} ⟩ \\ (q^{6}; q^{6}) (⟨ - x^{3} y^{3} q^{2}; q^{6} ⟩_{\infty} - x y ⟨ - x^{3} y^{3} q^{4}; q^{6} ⟩_{\infty}) \\ = (q^{2}; q^{2})_{\infty} ⟨ x y; q^{2} ⟩_{\infty} ⟨ x^{2} y^{2} q^{2}; q^{4} ⟩ \\ = (q^{2}; q^{2})_{\infty} ⟨ x y; q ⟩_{\infty} ⟨ - x y q; q^{2} ⟩ \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} f (x, y) - f (y, x) & = y (q^{2}; q^{2})_{\infty}^{2} ⟨ x y, x / y; q ⟩_{\infty} (⟨ - x q / y, - x y; q^{2} ⟩ - y ⟨ - x y q, - x / y; q^{2} ⟩_{\infty}) \end{aligned}$
を得る. ここで, 三項関係式
$\begin{array}{r} ⟨ A / b, A / c, A / d, A / e; q ⟩_{\infty} - ⟨ b, c, d, e; q ⟩_{\infty} = b ⟨ A, A / b c, A / b d, / A b e; q ⟩_{\infty}, (A^{2} = b c d e) \end{array}$
において, $b = y, c = x, d = \sqrt{q}, e = - \sqrt{q}$ とすると,
$\begin{array}{r} ⟨ - x q / y, - x y; q^{2} ⟩ - (q; q^{2})_{\infty}^{2} ⟨ x, y; q ⟩_{\infty} = y ⟨ - x y q, - x / y; q^{2} ⟩_{\infty} \end{array}$
つまり,
$\begin{array}{r} ⟨ - x q / y, - x y; q^{2} ⟩ - y ⟨ - x y q, - x / y; q^{2} ⟩_{\infty} = (q; q^{2})_{\infty}^{2} ⟨ x, y; q ⟩_{\infty} \end{array}$
を得る. これを代入して定理を得る.