Barrucandの恒等式のシンプルな証明
前の記事
で, Barrucandの恒等式
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^3=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k
\end{align}
を示した. 前の記事の証明はBaileyによる${}_2F_1$の積公式を用いているということもあって, ある程度の前提知識を仮定するものになっていたが, 今回はこの恒等式によりシンプルな証明を与えたいと思う.
証明1
Strehlの恒等式
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^3=\sum_{j=0}^n\binom nj^2\binom{2j}n
\end{align}
を用いると, Vandermondeの恒等式より,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^3&=\sum_{k=0}^n\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{2j}k\\
&=n!\sum_{j=0}^n\binom{2j}j\sum_{k=j}^n\frac{1}{(k-j)!^2(n-k)!(2j-k)!}\\
&=n!\sum_{j=0}^n\binom{2j}j\sum_{k=0}^{n-j}\frac{1}{k!^2(n-j-k)!(j-k)!}\\
&=\sum_{j=0}^n\binom nj\binom{2j}j\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(j-n,-j)_k}{k!^2}\\
&=\sum_{j=0}^n\binom nj^2\binom{2j}j
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
証明2
二項係数の反転公式より, 示すべき等式は
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{2j}j=(-1)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^3
\end{align}
と同値である. この左辺はVandermondeの恒等式より,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{2j}j\\
&=n!\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!^2}\binom{2j}j\sum_{k=j}^n(-1)^k\frac{k!}{(n-k)!(k-j)!^2}\\
&=n!\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^j}{j!^2}\binom{2j}j\sum_{k=0}^{n-j}(-1)^k\frac{(j+k)!}{(n-j-k)!k!^2}\\
&=n!\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^j}{j!(n-j)!}\binom{2j}j\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(j+1,j-n)_k}{k!^2}\\
&=\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom nj\binom{2j}j\frac{(-j)_{n-j}}{(1)_{n-j}}\\
&=(-1)^n\sum_{j=0}^n\binom nj\binom{2j}j\frac{j!}{(n-j)!(2j-n)!}\\
&=(-1)^n\sum_{j=0}^n\binom nj^2\binom{2j}n
\end{align}
となる. ここで,
Strehlの恒等式
\begin{align}
\sum_{j=0}^n\binom nj^2\binom{2j}n=\sum_{k=0}^n\binom nk^3
\end{align}
より, 示すべき等式が得られる.
