Barrucandの恒等式

Apéry数のFranel数による表示として, Strehlの恒等式
\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k\sum_{j=0}^k\binom kj^3 \end{align}
が知られているが, その類似としてBarrucandの恒等式と呼ばれる以下の恒等式がある.
\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^3=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k \end{align}
これはBarrucandによって1975年に予想された等式である. 今回はStrehlの1994年の論文における証明について解説したいと思う.

Appellの$F_4$は
\begin{align} \F{}4{a;b}{c,d}{x,y}&:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a,b)_{n+m}}{(c)_n(d)_mn!m!}x^ny^m \end{align}
によって定義される. Baileyの公式
\begin{align} \F{}4{a;b}{c,1+a+b-c}{x(1-y),y(1-x)}=\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{1+a+b-c}y \end{align}
において, $n$を非負整数として$a=-n$としてから$b\mapsto a+b+n+1,c\mapsto a+1, y=\frac 1x$とした等式は
\begin{align} &\F21{-n,a+b+n+1}{a+1}x\F21{-n,a+b+n+1}{b+1}{\frac 1x}\\ &=\sum_{0\leq j,k}\frac{(-n,a+b+n+1)_{j+k}}{(a+1)_j(b+1)_kj!k!}(-1)^jx^{-k}(1-x)^{j+k} \end{align}
となる. ここで, $x$に関する両辺の定数項を比較すると,
\begin{align} &\F43{-n,-n,a+b+n+1,a+b+n+1}{1,a+1,b+1}1\\ &=\sum_{0\leq j,k}\frac{(-n,a+b+n+1)_{j+k}}{(a+1)_j(b+1)_kj!k!}(-1)^{j+k}\binom{j+k}k\\ &=\sum_{0\leq k}(-1)^{k}(-n,a+b+n+1)_{k}\sum_{j=0}^k\binom{k}j\frac 1{(a+1)_j(b+1)_{k-j}j!(k-j)!}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^{k}(-n,a+b+n+1)_{k}}{k!(b+1)_k}\F32{-k,-k,-b-k}{1,a+1}{-1} \end{align}
つまり, 以下を得る.

定理1で$a=b=0$とすると, 冒頭に述べたStrehlの恒等式
\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k\sum_{j=0}^k\binom kj^3 \end{align}
を得る. 定理1において, $b=at$として, $a\to\infty$とすると以下の系を得る.

系1の両辺の$t$に関する定数項を比較すると
\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k=\sum_{k=0}^n\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^3 \end{align}
となってBarrucandの恒等式を得る.

母関数

Barrucandの恒等式の両辺の母関数を考えると
\begin{align} \sum_{0\leq n}u^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k&=\sum_{0\leq n}u^n\sum_{k=0}^n\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^3\\ &=\sum_{0\leq k,n}\binom{n+k}nu^{n+k}\sum_{j=0}^k\binom kj^3\\ &=\sum_{0\leq k}u^k(1-u)^{-k-1}\sum_{j=0}^k\binom kj^3\\ &=\frac 1{1-u}\sum_{0\leq k}\left(\frac u{1-u}\right)^k\sum_{j=0}^k\binom kj^3 \end{align}
となることが分かる. 前の記事 で示した定理2より
\begin{align} &\frac 1{1-u}\sum_{0\leq k}\left(\frac u{1-u}\right)^k\sum_{j=0}^k\binom kj^3\\ &=\frac 1{1-u}\frac 1{1+\frac{4u}{1-u}}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u}{(1-u)\left(1+\frac{4u}{1-u}\right)^3}}\\ &=\frac 1{1+3u}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u(1-u)^2}{\left(1+3u\right)^3}} \end{align}
となるから, 以下を得る.

今回扱った数列
\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k \end{align}
は Zagier's sporadic sequences と呼ばれる6つの数列のうちの1つになっている.