Abstract Algebra1.1

こんにちは、itouです。これはAbstract AlgebraのPart1Chapter1の勉強ノートです。
前回

記事の編成について

Abstract Algebraに従ってまとめていきます。演習は別にまとめようと思います。つけました。

写経1.1

以下、$G$を（空でない）集合とする

定義

以下、$G$は群、$a,b \in G$とする。

以降、★は省略します。$a★b$を$ab$、$\underbrace{a \cdots \cdots a}_{n \text{ 個}}$を$a^n$とかきます。

ポイント：
位数を使えば群のすべての元をいくつかの元だけで表せる
実際、次のようにできます。

二面体群(Dihederal Groups)

二面体群$D_{2n}$とは、正$n$多角形を自分自身に移す変換がなす群です。つまり回転と鏡映です。$\frac{2\pi}{n}$radの回転を$r$、鏡映を$s$に対応させます。二項演算は変換の合成です。例えば２回$\frac{2\pi}{n}$rad回転する変換は$r・r=r^2$、鏡映してから$\frac{2\pi}{n}$rad回転する変換は$rs$です。(操作は右から行う)
集合の中身はこんな感じです。
\begin{multline} \begin{split} D_{2n}=\{1,r,r^2,…r^{n-1},s,sr,sr^2,…,sr^{n-1}\} \end{split} \end{multline}
重要な性質として、

1. $r^n=1$(一回転する操作は恒等変換)
2. $s^2=1$(2回鏡に映す操作は恒等変換)
3. $r^is=sr^{-i}$(鏡に映してから回転する操作と逆回転してから鏡に映す操作は同じ)

集合の中身をみると、$r,s$の記号しか登場していないことに気づきます。また、これらの性質を合わせて考えると、$r,s$と上の性質さえ用意すれば、二面体群を作れるのではないかと思います。
このことを強調するために、次の概念を導入します。

二面体群は
$D_{2n}=〈r,s|r^n=s^2=1,rs=sr^{-1}〉$とかけます。二面体群の性質が一目でわかりますね。この表示では群の構造を把握することができます。しかし、いつもうまくいくわけではありません。例えば$Y=〈u,v|u^4=v^3=1,uv=v^2u^2〉$という群を考えてみると、実は$v=u=1$であることがわかります。(式変形によって$uv^{-1}=vu^{-1}$つまり$uv^{-1}=(uv^{-1})^{-1}$より$ u=v$なので)

対称群(Symmetric Groups)

$S_n$の単位元は恒等変換です。置換とは「入れ替え」のことです。あみだくじをイメージすればよいです。$S_n$の元は$n!$個あります。

例えば{1,2,3,4}を{2,3,4,1}に移す置換を(1,2,3,4)とかくことにします。(このような「１つずらす」置換を巡回置換といい、このカッコの中身の整数の個数を長さといいます)すべての置換は巡回置換の積で表示できます。

写経1.4

０は加法＋の単位元のことです。
分配法則とは以下のことです。
$a・(b+c)=(a・b)+(a・c)　a,b,c \in F$

例えば$\mathbb Z/p\mathbb Z$($p$は素数)は体となります。

行列群,四元数群

紹介だけです。

行列の積について群となります。

写経1.6

二つの群が「同じ」であるとはどういうことでしょうか。つまり実際の定義のやり方は違っても、それらが群として、代数的構造が同じであるとはどういうことでしょうか。一言で言えば、それは二つの群の間で全単射写像がつくれることです。

準同型(homomorphism),同型(isomorphic)

ある群が別のよく知られた群と同型だとわかることは非常に重要です。

群作用(group action)

対称群や行列群などは、それ自体が変換の集まりであるので、それらを集合に作用することをきちんと定式化しておきます。

(正式にはこれを左作用という)

EXERCISE

一部だけ略解を載せます。正しさは保証しません。

c1.1

(21)$|x|=2n-1$とすると$x^{2n-1}=1$より$x^2n=x$.よって$k=n$とすればよい.
(22)\begin{multline} \begin{split} (g^{-1}xg)^n&=(g^{-1})^ng^nx^n（可換）\\&=x^n \end{split} \end{multline}
よりわかる.
(23)
$(x^{s})^a=1$なる$a$があるとすると.$a=pt+q$として,$(x^s)^a=(x^s)^{pt+q}=(x^s)^q=1$となるがこれは$n$の最小性に矛盾.
(31)群の位数を$2n$とすれば,$x^n$の位数は2
(32)$x^i=x^j(0 \leq j< n)$なる$i,j$が存在するとすれば,$x^{j-i}=1$であるが,これは$x$の位数の最小性に矛盾

c1.2

(4)$|r^k|$=2はすぐにわかる.$xr^k=r^kx$を示す.$x=r^a$のときは自明.$x=sr^a$のとき,
\begin{multline} \begin{split} x^{-1}r^kx&=(sr^a)^{-1}r^ksr^a\\ &=r^{-a}s^{-1}r^ksr^a\\ &=r^{-a}s^{-1}(sr^{-k})r^a(r^ks=sr^{-k}より)\\ &=r^k\\ \end{split} \end{multline}

よりわかる.
(5)ある$y$が存在してすべての$x$に対し$xy=yx$を満たす$y$は$y=1$のみであることを示す.$x=sr^a,y=r^b$とすると,(4)と同様に$x^{-1}yx$を計算することで,
$x^{-1}yx=r^{-b}=r^b$よって$r^{2b}=1$.
いま,群の位数は奇数だから$b=0$しかありえない.よって$ y=1$が必要で,$y=1$は条件を満たすことは明らか.

(6)
$x^2=y^2=1$に注意して,
$txt=xyx^2y=x$.よって$tx=xt^{-1} $
(17)(a)(b)
(b)$X_{2n}$の元を書き下すと$1,x,x^2,y,yx,yx^2$である.
$n=3k+1$のとき
$x^{3k+1}=1$と$x^3=1$より$x=1$.
$n=3k+2$のとき
$x^{3k+2}=1$と$x^3=1$より$x^2=1$.
となる.
(a)$n=3k$のときは上の6個の元は相異なることがわかる.
(18)(b)(c)(d)(e)
(b)
\begin{multline} \begin{split} v^2u^3vu^{-3}&=v^2u^3vu=(v^2u^2)(uv)u\\ &=(uv)(v^2u^2)u\\ &=uv^3u^2u=u^4=1 \end{split} \end{multline}
よりわかる.
(c)
\begin{multline} \begin{split} v^{-1}u^{-1}vu&=v^2u^3vu=v^2(u^3v)u\\ &=v^2(vu^3)u=v^3u^4=1 \end{split} \end{multline}
よりわかる.
(d)$uv=v^2u^2=vu$より$uv=1$
(e)$v=u^{-1}$より$v^3=(u^{-1})^3=u^{-3}=u=1$より$u=v=1$.

以上でChapter1は終わりです。

感想

具体例とか省きながら写経してるので読みづらい所が結構ありますね、、演習やる方が大事かも、、

謝辞

ここまで読んで下さりありがとうございました。誤植、間違い等あればご指摘お願いします。