大学数学基礎解説

Abstract Algebra1.1

勉強ノート,代数学,群論

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こんにちは、itouです。これはAbstract AlgebraのPart1Chapter1の勉強ノートです。
前回

記事の編成について

Abstract Algebraに従ってまとめていきます。~~演習は別にまとめようと思います。~~つけました。

写経1.1

以下、 $G$ を（空でない）集合とする

定義

二項演算(binary operation)

(1) $G$ 上の二項演算★とは関数★: $G \times G \to G$ のことをいい,a★bとかく.
(2)二項演算★が結合法則(associative property)を満たすとは,任意の $a, b, c \in G$ について $a ★ (b ★ c) = (a ★ b) ★ c$ が成立することをいう.
(3)任意の $a, b \in G$ について $a ★ b = b ★ a$ が成立するなら、★(や $G$ )は可換(commutative)であるという.

群(group)

(1)下の(i)(ⅱ)(ⅲ)を満たす集合と二項演算の組(G,★)を群という.
(i)★が可換
(ⅱ)ある $G$ の元 $e$ が存在して,任意の $a \in G$ に対し $a ★ e = e ★ a$ が成立する.(この $e$ を単位元という)
(ⅲ)任意の $a \in G$ に対し $G$ の元 $b$ が存在して, $a ★ b = b ★ a = e$ が成立する.(この $b$ を $a$ の逆元といい, $a^{- 1}$ とかく)

以下、 $G$ は群、 $a, b \in G$ とする。

命題1

(1) $G$ の単位元はただ一つである.
(2) $a$ の逆元はただ一つである.
(3) $(a^{- 1})^{- 1} = a$
(4) $(a ★ b)^{- 1} = (b^{- 1} ★ a^{- 1})$
(5)任意の $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ について、 $a_{1} ★ a_{2} ★ \dots ★ a_{n}$ の値は()のつけ方によらない.

以降、★は省略します。 $a ★ b$ を $a b$ 、 $\underset{n 個}{\underset{⏟}{a \dots \dots a}}$ を $a^{n}$ とかきます。

命題２

方程式 $a x = b$ , $y a = b$ はただ一つの解 $x, y \in G$ をもつ.また,以下が成り立つ.
(1) $a u = a v$ ならば $u = v$
(2) $u b = v b$ ならば $u = v$

位数

$x \in G$ とする. $x^{n} = 1$ を満たす最小の自然数 $n$ を $x$ の位数という.

ポイント：
位数を使えば群のすべての元をいくつかの元だけで表せる
実際、次のようにできます。

二面体群(Dihederal Groups)

二面体群 $D_{2 n}$ とは、正 $n$ 多角形を自分自身に移す変換がなす群です。つまり回転と鏡映です。 $\frac{2 π}{n}$ radの回転を $r$ 、鏡映を $s$ に対応させます。二項演算は変換の合成です。例えば２回 $\frac{2 π}{n}$ rad回転する変換は $r ・ r = r^{2}$ 、鏡映してから $\frac{2 π}{n}$ rad回転する変換は $r s$ です。(操作は右から行う)
集合の中身はこんな感じです。
$\begin{matrix} \begin{array}{r} D_{2 n} = {1, r, r^{2}, \dots r^{n - 1}, s, s r, s r^{2}, \dots, s r^{n - 1}} \end{array} \end{matrix}$
重要な性質として、

$r^{n} = 1$ (一回転する操作は恒等変換)
$s^{2} = 1$ (2回鏡に映す操作は恒等変換)
$r^{i} s = s r^{- i}$ (鏡に映してから回転する操作と逆回転してから鏡に映す操作は同じ)

集合の中身をみると、 $r, s$ の記号しか登場していないことに気づきます。また、これらの性質を合わせて考えると、 $r, s$ と上の性質さえ用意すれば、二面体群を作れるのではないかと思います。
このことを強調するために、次の概念を導入します。

群の生成系(generating set of a group)

群 $G$ の部分集合 $S$ であって $G$ のすべての元が（群演算のもとで）その部分集合の有限個の元とそれらの逆元の結合として表せるとき, $S$ を $G$ の生成系という.より一般に、 $G$ が部分集合 $S$ といくつかの関係式の組 $R_{1}, R_{2}, \dots, R_{m}$ で生成されるとき,これらを群の表示(presentation of group)といい,(この関係式のことを基本関係という)次のようにかく. $G = 〈 S | R_{1}, R_{2}, \dots, R_{m} 〉$

二面体群は
$D_{2 n} = 〈 r, s | r^{n} = s^{2} = 1, r s = s r^{- 1} 〉$ とかけます。二面体群の性質が一目でわかりますね。この表示では群の構造を把握することができます。しかし、いつもうまくいくわけではありません。例えば $Y = 〈 u, v | u^{4} = v^{3} = 1, u v = v^{2} u^{2} 〉$ という群を考えてみると、実は $v = u = 1$ であることがわかります。(式変形によって $u v^{- 1} = v u^{- 1}$ つまり $u v^{- 1} = (u v^{- 1})^{- 1}$ より $u = v$ なので)

対称群(Symmetric Groups)

置換(permutation),対称群(Symmetric groups)

$Ω = {1, 2, \dots, n}$ とする. $Ω$ から $Ω$ への全単射な写像全体がなす集合を $S_{n}$ とする.( $S_{n}$ の元を置換という) $S_{n}$ の元は写像の合成に関して群をなす.これを対称群という.

$S_{n}$ の単位元は恒等変換です。置換とは「入れ替え」のことです。あみだくじをイメージすればよいです。 $S_{n}$ の元は $n!$ 個あります。

例えば{1,2,3,4}を{2,3,4,1}に移す置換を(1,2,3,4)とかくことにします。(このような「１つずらす」置換を巡回置換といい、このカッコの中身の整数の個数を長さといいます)すべての置換は巡回置換の積で表示できます。

写経1.4

環(ring)

二項演算+,・が定められた集合 $R$ について,(R,+)が可換群であり,乗法について単位元が存在し,結合法則が成立し,分配法則が成立するなら,( $R$ ,+,・)を環と呼ぶ.さらに乗法について可換である環を可換環という.

体(field)

二項演算+,・が定められた集合 $F$ について,( $F$ ,+,・)が可換環であり,かつ０でない任意の元についてその乗法の逆元が存在するとき,( $F$ ,+,・)を体という.

０は加法＋の単位元のことです。
分配法則とは以下のことです。
$a ・ (b + c) = (a ・ b) + (a ・ c) a, b, c \in F$

例えば $Z / p Z$ ( $p$ は素数)は体となります。

行列群,四元数群

紹介だけです。

行列群(Matrix Group)

可換環 $F$ 上の n 次正則行列全体の集合を行列群といい, $G L_{n} (F)$ と表す.

行列の積について群となります。

四元数群(Quaternion Groups)

四元数群 $Q_{8}$ とは,
$Q_{8} = 〈 1, i, j, k | i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1 〉$ の定める群のことである.(ただし $1, i, j, k$ は $R$ 上で線形独立)

写経1.6

二つの群が「同じ」であるとはどういうことでしょうか。つまり実際の定義のやり方は違っても、それらが群として、代数的構造が同じであるとはどういうことでしょうか。一言で言えば、それは二つの群の間で全単射写像がつくれることです。

準同型(homomorphism),同型(isomorphic)

準同型(homomorphism)

$(G, ★)$ , $(H, ◇)$ を群とする.次のような写像 $ϕ : G \to H$ があるとき, $(G, ★) と (H, ◇)$ は準同型であるという.
任意の $x, y \in G$ に対し $ϕ (x ★ y) = ϕ (x) ◇ ϕ (y)$
(この写像 $ϕ$ を準同型写像という)

同型(isomorphic)

$(G, ★)$ , $(H, ◇)$ を群とする.準同型写像 $ϕ : G \to H$ が存在して,全単射ならば, $G, H$ は同型であるという.

ある群が別のよく知られた群と同型だとわかることは非常に重要です。

群作用(group action)

対称群や行列群などは、それ自体が変換の集まりであるので、それらを集合に作用することをきちんと定式化しておきます。

群作用(group action)

集合 $A$ への群 $G$ による群作用とは, $G \times A$ から $A$ への写像( $g a, g \in G, a \in A$ とかく)
が次を満たすことをいう.
(1)任意の $g_{1}, g_{2} \in G, a \in A$ について $g_{1} (g_{2} a) = (g_{1} g_{2}) a$
(2)任意の $a$ について $1 a = a$

(正式にはこれを左作用という)

EXERCISE

一部だけ略解を載せます。正しさは保証しません。

c1.1

(21) $| x | = 2 n - 1$ とすると $x^{2 n - 1} = 1$ より $x^{2} n = x$ .よって $k = n$ とすればよい.
(22) $\begin{matrix} \begin{aligned} (g^{- 1} x g)^{n} & = (g^{- 1})^{n} g^{n} x^{n} （可換） \\ = x^{n} \end{aligned} \end{matrix}$
よりわかる.
(23)
$(x^{s})^{a} = 1$ なる $a$ があるとすると. $a = p t + q$ として, $(x^{s})^{a} = (x^{s})^{p t + q} = (x^{s})^{q} = 1$ となるがこれは $n$ の最小性に矛盾.
(31)群の位数を $2 n$ とすれば, $x^{n}$ の位数は2
(32) $x^{i} = x^{j} (0 \leq j < n)$ なる $i, j$ が存在するとすれば, $x^{j - i} = 1$ であるが,これは $x$ の位数の最小性に矛盾

c1.2

(4) $| r^{k} |$ =2はすぐにわかる. $x r^{k} = r^{k} x$ を示す. $x = r^{a}$ のときは自明. $x = s r^{a}$ のとき,
$\begin{matrix} \begin{aligned} x^{- 1} r^{k} x & = (s r^{a})^{- 1} r^{k} s r^{a} \\ = r^{- a} s^{- 1} r^{k} s r^{a} \\ = r^{- a} s^{- 1} (s r^{- k}) r^{a} (r^{k} s = s r^{- k} より) \\ = r^{k} \end{aligned} \end{matrix}$

よりわかる.
(5)ある $y$ が存在してすべての $x$ に対し $x y = y x$ を満たす $y$ は $y = 1$ のみであることを示す. $x = s r^{a}, y = r^{b}$ とすると,(4)と同様に $x^{- 1} y x$ を計算することで,
$x^{- 1} y x = r^{- b} = r^{b}$ よって $r^{2 b} = 1$ .
いま,群の位数は奇数だから $b = 0$ しかありえない.よって $y = 1$ が必要で, $y = 1$ は条件を満たすことは明らか.

(6)
$x^{2} = y^{2} = 1$ に注意して,
$t x t = x y x^{2} y = x$ .よって $t x = x t^{- 1}$
(17)(a)(b)
(b) $X_{2 n}$ の元を書き下すと $1, x, x^{2}, y, y x, y x^{2}$ である.
$n = 3 k + 1$ のとき
$x^{3 k + 1} = 1$ と $x^{3} = 1$ より $x = 1$ .
$n = 3 k + 2$ のとき
$x^{3 k + 2} = 1$ と $x^{3} = 1$ より $x^{2} = 1$ .
となる.
(a) $n = 3 k$ のときは上の6個の元は相異なることがわかる.
(18)(b)(c)(d)(e)
(b)
$\begin{matrix} \begin{aligned} v^{2} u^{3} v u^{- 3} & = v^{2} u^{3} v u = (v^{2} u^{2}) (u v) u \\ = (u v) (v^{2} u^{2}) u \\ = u v^{3} u^{2} u = u^{4} = 1 \end{aligned} \end{matrix}$
よりわかる.
(c)
$\begin{matrix} \begin{aligned} v^{- 1} u^{- 1} v u & = v^{2} u^{3} v u = v^{2} (u^{3} v) u \\ = v^{2} (v u^{3}) u = v^{3} u^{4} = 1 \end{aligned} \end{matrix}$
よりわかる.
(d) $u v = v^{2} u^{2} = v u$ より $u v = 1$
(e) $v = u^{- 1}$ より $v^{3} = (u^{- 1})^{3} = u^{- 3} = u = 1$ より $u = v = 1$ .