大学数学基礎解説

ベータ関数の微分で積分を解く

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ベータ関数の微分で積分を解く

どうも、らららです。
今回はベータ関数の微分で積分を解いていきます。
前の記事でもベータ関数の微分で積分を解いたりしてます。

今回示す積分はこちら

$\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{(x + a)^{m + 1}} d x = \frac{\log a - H_{m - 1}}{m a^{m}} (a > 0, m \in N)$

ここで $H$ は調和数と呼ばれ $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ として定義されます。
また $H_{0} = 0$ です。

この積分を示していきます。
準備をするためにせ補題を示していきます。

$B (n, m) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{m - 1}}{(x + 1)^{n + m}} d x$

証明

ベータ関数の定義から適切な置換をすることにより示せる。

$\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{(x + 1)^{m + 1}} = \frac{1}{m}$

証明

補題2を用いる。

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{(x + 1)^{m + 1}} & = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - 1}}{(x + 1)^{m + 1}} d x \\ = B (m, 1) \\ = \frac{Γ (m) Γ (1)}{Γ (m + 1)} \\ = \frac{1}{m} \end{aligned}

$ψ (n) = - γ + H_{n - 1}$

証明

ディガンマ関数の定義

ψ (s) = \frac{Γ^{'} (s)}{Γ (s)}

に注意して

Γ (s + 1) = s Γ (s)

を対数微分することにより

ψ (s + 1) = ψ (s) + \frac{1}{s}

となる。
この式をくり返し用いて

ψ (s + n) = ψ (s) + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{s + k - 1}

となる。

s = 1

を代入し

ψ (1) = - γ

と調和数の定義を用いて

ψ (n + 1) = - γ + H_{n}

となる。

n \mapsto n - 1

とすることで題意を得る。

てことで証明していく。

$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{(x + a)^{m + 1}} d x & = a \int_{0}^{\infty} \frac{\log (a x)}{(a x + a)^{m + 1}} d x \\ = \frac{1}{a^{m}} (\log a \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{(x + 1)^{m + 1}} + \int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{(x + 1)^{m + 1}} d x) \\ = \frac{1}{a^{m}} (\frac{\log a}{m} + \int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{(x + 1)^{m + 1}} d x) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{(x + 1)^{m + 1}} d x & = {\int_{0}^{\infty} \frac{x^{s - 1} \log x}{(x + 1)^{m + 1}} d x |}_{s = 1} \\ = {\int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial s} \frac{x^{s - 1}}{(x + 1)^{m + 1}} d x |}_{s = 1} \\ = {\frac{\partial}{\partial s} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s - 1}}{(x + 1)^{m + 1}} d x |}_{s = 1} \\ = {\frac{\partial}{\partial s} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s - 1}}{(x + 1)^{m - s + 1 + s}} d x |}_{s = 1} \\ = {\frac{\partial}{\partial s} B (s, m - s + 1) |}_{s = 1} \\ = {\frac{1}{Γ (m + 1)} \frac{\partial}{\partial s} Γ (s) Γ (m - s + 1) |}_{s = 1} \\ = {\frac{1}{Γ (m + 1)} (Γ (s) ψ (s) Γ (m - s + 1) - Γ (s) Γ (m - s + 1) ψ (m - s + 1)) |}_{s = 1} \\ = \frac{1}{Γ (m + 1)} (Γ (1) ψ (1) Γ (m) - Γ (1) Γ (m) ψ (m)) \\ = \frac{Γ (m)}{Γ (m + 1)} (ψ (1) - ψ (m)) \\ = \frac{1}{m} (- γ + γ - H_{m - 1}) \\ = - \frac{1}{m} H_{m - 1} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{(x + a)^{m + 1}} d x & = \frac{1}{a^{m}} (\frac{\log a}{m} + \int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{(x + 1)^{m + 1}} d x) \\ = \frac{1}{a^{m}} (\frac{\log a}{m} - \frac{1}{m} H_{m - 1}) \\ = \frac{\log a - H_{m - 1}}{m a^{m}} \end{aligned}$