はじめに
ここではガウスの著作gaussよりラグランジュの補間法の導出を紹介します。組合せ論と母関数prevの内容を一部再掲します。
完全斉次式
重複を許したk個の文字からなる項の和を次の完全斉次式と呼びと表す。
例
補題
まず以下のような式を考えます。
文字は互いに異なる個の文字とします。ここで
とおくととなります。ここで公式1のべき乗和の母関数に似た以下の式を考えます。
幾何級数の展開より
ここで
とおくと
これにを代入すると
という記号はのにを代入したものという意味のMathematicaの記号です。皆さんもお使いください。同様に
ここで文字の総数はで
なのでです。ここでを考えるとかつは個の異なる文字に対してとなるので恒等的にしかありえず、となります。
は完全斉次式の母関数にをかけたものなので
また
より
となります。
例
2文字の場合
3文字の場合
ラグランジュ補間
さきほどのの定義はresetしてください。次の多項式
に対し、個の異なる文字を代入した以下の式を考えます。
ここで個の異なる文字にを加え、以下の式を考えます。
さきほどの補題の文字が個の場合より、、また なのでよって
これがラグランジュ補間の式です。この式ははとは異なるという条件で導出しましたが、式変形の途中でその条件が緩くなり、のときも成り立ちます。
例
2点を通る直線の方程式
3点を通る放物線の方程式
新しい演算・(名付けて)間分
先程の例の式はテイラー展開に似ています。ここで2点の線を結んだときの線の傾きを間分とよぶことにし、以下のような記号で表します。
二階間分を以下のように定義します。
二階間分を展開すると
三階間分を展開すると
一般に以下が成り立ちます。
数学的帰納法を使います。文字が個の表現を既知として、個のときの表現が同じ形になることを示します。
補題の再解釈
はじめの補題はに対する間分の性質だったことが分かります。ここでのときの間分をコンパクトにと書くことにすると、補題は以下のようになります。
微分との対応を考えると、はと対応させることができます。ただし、定数になるときになるために正確にはと対応しています。
こうすると間分の結果をとすれば、微分の結果になります。より正確にはとしとしたものと解釈できます。
間分と微分との対応
の代わりにを入れます。
がに対応することが分かります。
ラグランジュ補間の別表現
さきほどの記号を使うと、を通る多項式は以下のように表せます。またさきほどの考察からこれがテイラー展開の類似物であることが分かります。
これを変形すると
同様に
文字の総数をとします。これにを加えた個の文字による階間分をに対して考えると
よって次の多項式について
最後の文字をとすると
よって
また変形すると
よって
同様に
これを繰り返すことで以下のラグランジュ補間の別表現が得られます。
終わりに
これはかなり面白いと思いました。ガウスの著作ではさらににを入れたものを考え、三角関数の和に関する公式を導いています。ちなみにラテン語ですが、数式を追うのがメインの挑戦で、いざとなったらgoogle翻訳でいけます。ありがとうございました。