MIT Integration Beeを解く 【MIT Integration Bee Qualifying-2024】
1.本ページでやること
今回はMIT Integration Bee 2024予選問題の解答と解説をしてみる。使用した関数、テクニックは以下でまとめた。 https://mathlog.info/articles/CMsARUspoc4FiCRFTArY
2.MIT Integration Beeについて
MIT Integration Beeとは、マサチューセッツ工科大学（MIT）で毎年1月に開催される、学生向けの積分計算コンテストのこと。
問題は、Qualifying(予選)、Regular Season(第二予選)、Quarterfinal(準々決勝)、Semifinal(準決勝)、Final(決勝)からなる。
もちろん難易度は決勝に行くにつれて難しくなる。
3.評価
筆者は問題を次のように評価した。(異論は認める)
★☆☆☆☆：数学Ⅱの知識が必要
★★☆☆☆：数学Ⅲの知識が必要
★★★☆☆：数学Ⅲを少し超える知識が必要
★★★★☆：大学での学習内容や鋭い推察が必要
★★★★★：変態的な発想やナーマギリ女神からの天啓が必要
※数学Ⅲを少し超える知識とは次のものを指すこととする。
- 逆三角関数 ($\arcsin{x} \,, \arccos{x} \,, \arctan{x}$など)
- 双曲線関数 ($\sinh{x} \,, \cosh{x} \,, \tanh{x}$など)
- 逆双曲線関数 ($\mathrm{arsinh}{x} \,, \mathrm{arcosh}{x} \,, \mathrm{artanh}{x}$など)
4.問題
・積分定数は$C$とする
・対数関数に関して、真数の符号を考えずに表記する
例）$\log{|x^2-1|} \to \log{(x^2-1)}$
・逆三角関数は「$arc$」、逆双曲線関数は「$ar$」を先頭につけることで表すものとする
例1）$\sin{x}$の逆関数 $\to$ $\arcsin{x}$
例2）$\cosh{x}$の逆関数 $\to$ $\mathrm{arcosh}{x}$
$\displaystyle I=\int_{2023}^{2025} 2024 ~dx$
解答・解説
【ポイント】なし\begin{align} I &=\big[ 2024x \big]_{2023}^{2025} \\ &= 2024(2025-2023) \\ &= 4048 \end{align}
$\displaystyle I=\int \frac{(x-1)^{\log{(x+1)}}}{(x+1)^{\log{(x-1)}}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int (x-1)^{\log{(x+1)}}(x+1)^{-\log{(x-1)}} ~dx \\ &=\int e^{\log{(x-1)}\log{(x+1)}-\log{(x+1)}\log{(x-1)}} ~dx \\ &=\int ~dx \\ &= x + C \end{align}
$\displaystyle I=\int x\log{x} + 2x ~dx$
解答・解説
【ポイント】部分積分する\begin{align} I &= \frac{1}{2}x^2\log{x} - \frac{1}{2}\int x ~dx + x^2 \\ &= \frac{1}{2}x^2\log{x} - \frac{1}{4}x^2 + x^2 +C\\ &= \frac{1}{2}x^2\log{x} + \frac{3}{4}x^2 +C \end{align}
$\displaystyle I=\int \frac{1}{x\log{x} + 2x} ~dx$
解答・解説
【ポイント】因数分解\begin{align} I &=\int \frac{1}{x(\log{x}+2)} ~dx \\ &=\log{(\log{x} +2)} + C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}
$\displaystyle I=\int_{0}^{2\pi} \arccos{(\sin{x})} ~dx$
解答・解説
【ポイント】0から$2\pi$は分割する\begin{align} I &=\int_{0}^{\pi} \arccos{(\sin{x})} ~dx + \int_{\pi}^{2\pi} \arccos{(\sin{x})} ~dx \end{align}
$\displaystyle J = \int_{\pi}^{2\pi} \arccos{(\sin{x})} ~dx$
$t = x - \pi$と置くと、$x = t+ \pi$
$dx = dt \quad x:\pi \to 2\pi \quad y:0 \to \pi$
\begin{align} J &=\int_{0}^{\pi} \arccos{(\sin{(t+\pi)})} ~dt \\ &=\int_{0}^{\pi} \arccos{(-\sin{t})} ~dt \end{align}
ここで、$\arccos{(-x)} = \pi - \arccos{x}$であるから、
\begin{align} J &=\int_{0}^{\pi} \pi - \arccos{(\sin{t})} ~dt \\ &= \pi^2 - \int_{0}^{\pi} \arccos{(\sin{t})} ~dt \\ I &= \int_{0}^{\pi} \arccos{(\sin{x})} ~dx + J \\ &= \pi^2 \end{align}
$\displaystyle I=\int \frac{\cos{x}+\cot{x}+\csc{x}+1}{\sin{x}+\tan{x}+\sec{x}+1} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int \frac{\cos{x}+\cot{x}+\csc{x}+1}{\sin{x}+\tan{x}+\sec{x}+1} \cdot \frac{\sin{x}\cos{x}}{\sin{x}\cos{x}} ~dx \\ &=\int \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \cdot \frac{\sin{x}\cos{x}+\cos{x}+1+\sin{x}}{\sin{x}\cos{x}+\sin{x}+1+\cos{x}} ~dx \\ &=\int \frac{\cos{x}}{\sin{x}} ~dx \\ &=\log{(\sin{x})} +C \end{align}
$\displaystyle I=\int \frac{x^{2024}-1}{x^{506}-1} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int \frac{(x^{506}-1)(x^{506}+1)(x^{1012}+1)}{x^{506}-1}~dx \\ &=\int (x^{506}+1)(x^{1012}+1) ~dx \\ &=\int x^{1518} + x^{1012} + x^{506} +1 ~dx \\ &=\frac{1}{1519}x^{1519} + \frac{1}{1013}x^{1013} + \frac{1}{507}x^{507} + x + C \end{align}
$\displaystyle I=\int_{-1}^{1} (5x^3-3x)^2 ~dx$
解答・解説
【ポイント】偶関数を見極める$f(x)=(5x^3-3x)^2$ として $f(-x)=(3x-5x^3)^2 = f(x)$ より偶関数
\begin{align} I &=2\int_{0}^{1} 25x^6 - 30x^4 + 9x^2 ~dx \\ &=2 \left[ \frac{25}{7}x^7 - 6x^5 + 3x^2 \right]_0^1\\ &=2 \left( \frac{25}{7} - \frac{21}{7} \right) \\ &= \frac{8}{7} \end{align}
$\displaystyle I=\int_{0}^{2\pi} (\sin{x}+\cos{x})^{11} ~dx$
解答・解説
【ポイント】三角関数の特性を使う\begin{align} I &=2^{11}\int_{0}^{2\pi} \sin^{11}{\left( x+\frac{\pi}{4} \right)} ~dx \end{align}
$\sin{x}$は周期$2\pi$の周期関数だから、
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sin{(x+a)} ~dx = \int_{0}^{2\pi} \sin{x} ~dx$
したがって、
\begin{align} I &=2^{11}\int_{0}^{2\pi} \sin^{11}{x} ~dx \\ &=2^{11}\left( \int_{0}^{\pi} \sin^{11}{x} ~dx + \int_{\pi}^{2\pi} \sin^{11}{x} ~dx\right) \end{align}
\begin{align} J &=\int_{\pi}^{2\pi} \sin^{11}{x} ~dx \\ \end{align}
$t = x - \pi$と置くと $x = t + \pi$
$dx=dt \quad x:\pi \to 2\pi \quad t:0 \to \pi$
\begin{align} J &=\int_{0}^{\pi} \sin^{11}{(t+\pi)} ~dt \\ &=-\int_{0}^{\pi} \sin^{11}{t} ~dt \\ I &=2^{11}\left( \int_{0}^{\pi} \sin^{11}{x} ~dx + J \right) \\ &=2^{11}\left( \int_{0}^{\pi} \sin^{11}{x} ~dx -\int_{0}^{\pi} \sin^{11}{t} ~dt\right) \\ &= 0 \end{align}
$\displaystyle I=\int_{0}^{2\pi} (\sinh{x}+\cosh{x})^{11} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int_{0}^{2\pi} \left( \frac{e^x-e^{-x}}{2} + \frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^{11} ~dx \\ &=\int_{0}^{2\pi} (e^x)^{11} ~dx \\ &=\int_{0}^{2\pi} e^{11x} ~dx \\ &=\left[ \frac{1}{11}e^{11x} \right]_{0}^{2\pi} \\ &=\frac{e^{22x}-1}{11} \end{align}
$\displaystyle I=\int \csc^2{x}\tan^{2024}{x} ~dx$
解答・解説
【ポイント】部分積分\begin{align} I &=\int \frac{1}{\sin^2{x}} \cdot \tan^{2024}{x} ~dx \\ &=-\frac{1}{\tan{x}}\cdot \tan^{2024}{x} + 2024\int \frac{1}{\tan{x}} \cdot \frac{1}{\cos^2{x}} \cdot \tan^{2023}{x} ~dx \\ &=-\tan^{2023}{x} + 2024\int \frac{1}{\cos^2{x}} \cdot \tan^{2022}{x} ~dx \\ &=-\tan^{2023}{x} + \frac{2024}{2023}\tan^{2023}{x} +C \\ &=\frac{1}{2023}\tan^{2023}{x} +C \end{align}
$\displaystyle I=\int \cos^{x}{x}(\log(\cos{x})-x\tan{x}) ~dx$
解答・解説
【ポイント】対数微分法の形に気がつく$\displaystyle y=\cos^x{x}$と置くと、$\displaystyle \log{y} = x\log{(\cos{x})}$
$\displaystyle \frac{y'}{y} = \log{(\cos{x})} - \frac{x\sin{x}}{\cos{x}}$
$\displaystyle y'=\cos^x{x}\left( \log{(\cos{x})} -x\tan{x} \right)$
したがって、
\begin{align} I &=\int \frac{d}{dx}\left( \cos^x{x} \right) ~dx \\ &=\cos^x{x} +C \end{align}
$\displaystyle I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{(x-2024)^2}{4}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】ガウス積分を利用する$t=x-2024$と置くと、 $dt=dx$
$x:-\infty \to \infty \quad t:-\infty \to \infty $
\begin{align} I &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^2}{4}} ~dt \\ &=\sqrt{4\pi} \\ &=2\sqrt{\pi} \end{align}
$\displaystyle I=\int_{\frac{1}{e}}^{e} (1-x^2)e^{e^{x+\frac{1}{x}}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】微分形に気づく$\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$と置くと $\displaystyle dt=1-\frac{1}{x^2} ~dx$
$\displaystyle x:\frac{1}{e} \to e \quad t:e+\frac{1}{e} \to e+\frac{1}{e} $
\begin{align} I &=\int_{e+\frac{1}{e}}^{e+\frac{1}{e}} e^{e^t} ~dt \\ &= 0 \end{align}
$\displaystyle I=\int (x+1-e^{-x})e^{xe^{x}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】微分を色々試す$\displaystyle (xe^x)' = (x+1)e^x$
$\displaystyle (e^{xe^x})' = (x+1)e^x\cdot e^{xe^x}$
ここで、$(x+1)$の次の$e^x$が邪魔だと思い、$\displaystyle e^{xe^x-x}$を考える
\begin{align} (e^{xe^x-x})' &= \{(x+1)e^x-1\}e^{xe^x-x} \\ &= (x+1-e^{-x})e^{xe^x} \end{align}
よって、
\begin{align} I &= \int \frac{d}{dx} \left( e^{xe^x-x} \right) ~dx\\ &= e^{xe^x-x} + C \end{align}
※$\displaystyle e^{(\rm{複雑な式})}$は微分して確かめていくのが有効な手段
$\displaystyle I=\int \frac{\arctan{x}}{1-x^2} + \frac{\mathrm{artanh}{x}}{x^2+1} ~dx$
解答・解説
【ポイント】積の微分に気づく$\displaystyle (\arctan{x})' = \frac{1}{x^2+1} \quad (\mathrm{artanh}{x})' = \frac{1}{1-x^2}$であるから、
\begin{align} I &=\int \frac{d}{dx}\left(\arctan{x} \cdot \mathrm{artanh}{x}\right) ~dx \\ &= \arctan{x} \cdot \mathrm{artanh}{x} +C \end{align}
$\displaystyle I=\int \left( \sum_{k=0}^{\infty} \sin{\left( \frac{k\pi}{2} \right)}x^k \right) ~dx$
解答・解説
【ポイント】実際に値を代入して法則性を掴む$\displaystyle \sin{\left( \frac{k\pi}{2} \right)}$について、
$k=0 \to 0 ,~ k=1 \to 1 ,~ k=2 \to 0 ,~ k=3 \to -1 ,$
$k=4 \to 0 ,~ k=5 \to 1 ,~ \cdots $となるため、
\begin{align} \sum_{k=0}^{\infty} \sin{\left( \frac{k\pi}{2} \right)}x^k &= x - x^3 + x^5 -x^7 + \cdots \\ &= x(1-x^2+x^4-x^6+ \cdots) \end{align}
これは、初項$1$、公比$-x^2$の無限等比級数に係数$x$が掛かったものだから、
\begin{align} x(1-x^2+x^4-x^6+ \cdots) &= \frac{x}{1-(-x^2)} \\ &=\frac{x}{1+x^2} \end{align}
よって
\begin{align} I &= \int \frac{x}{1+x^2} ~dx \\ &=\frac{1}{2}\log{(1+x^2)} +C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}
$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \left( \sum_{n=0}^{2024}x^{2^{n-1012}} \right) ~dx$
解答・解説
【ポイント】積分と総和を入れ替える。\begin{align} I &=\sum_{n=0}^{2024} \int_{0}^{1} x^{2^{n-1012}} ~dx \\ &=\sum_{n=0}^{2024} \frac{1}{2^{n-1012}+1}\cdot \left[ x^{2^{n-1012}+1} \right]_0^1 \\ &=\sum_{n=0}^{2024} \frac{1}{2^{n-1012}+1} \end{align}
ここで、$k=n-1012$と置くと、$n:0 \to 2024 \quad k:-1012 \to 1012$
\begin{align} I &=\sum_{k=-1012}^{1012} \frac{1}{2^k+1} \end{align}
また、$\displaystyle \frac{1}{2^k+1} + \frac{1}{2^{-k}+1} = \frac{1}{2^k+1} + \frac{2^k}{1+2^{k}} = 1$であるから、
$\displaystyle 1:-1 ,~ 2:-2 ,~ \cdots ,~ 1012:-1012$の$1012$ペアと$\displaystyle \frac{1}{2^0+1}=\frac{1}{2}$の和だから
\begin{align} I &=1\cdot 1012 + \frac{1}{2} \\ &= \frac{2025}{2} \end{align}
$\displaystyle I=\int \frac{x^4}{3-6x+6x^2-4x^3+2x^4} ~dx$
解答・解説
【ポイント】分子の次数下げをする\begin{align} I &=\int \frac{1}{2} +\frac{2x^3-3x^2+3x-\frac{3}{2}}{2x^4-4x^3+6x^2-6x+3} ~dx \\ &=\frac{1}{2}x +\frac{1}{4}\int \frac{8x^3-12x^2+12x-6}{2x^4-4x^3+6x^2-6x+3} ~dx \\ &= \frac{1}{2}x +\frac{1}{4}\log{(2x^4-4x^3+6x^2-6x+3)} +C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}
$\displaystyle I=\int_{1}^{3} \frac{x+\frac{x+\cdots}{1+\cdots}}{1+\frac{x+\cdots}{1+\cdots}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】丸々置いてしまう$\displaystyle y =\frac{x+\frac{x+\cdots}{1+\cdots}}{1+\frac{x+\cdots}{1+\cdots}}$と置くと $\displaystyle y = \frac{x+y}{1+y} \quad x = y^2$
$dx = 2y ~dy \quad x:1 \to 3 \quad y:1 \to \sqrt{3}$
\begin{align} I &=\int_{1}^{\sqrt{3}} y \cdot 2y ~dy \\ &=\left[ \frac{2}{3}y^3 \right]_1^{\sqrt{3}} \\ &=2\sqrt{3} - \frac{2}{3} \end{align}
参考文献
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