文献あり

Andrews-Warnaarの恒等式

前の記事で, WarnaarによるJacobiの三重積公式の拡張
$\begin{aligned} 1 + \sum_{0 < n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} (a^{n} + b^{n}) & = (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b / q; q)_{2 n} q^{n}}{(a, b, a b, q; q)_{n}} \end{aligned}$
を示した. 今回はその類似として, 以下の積公式を示す.

Andrews-Warnaar(2007)

$\begin{aligned} (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} a^{n}) (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} b^{n}) & = (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b q^{n - 1}; q)_{n} q^{n}}{(a, b, q; q)_{n}} \end{aligned}$

Heineの変換公式
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = \frac{(b, a x; q)_{\infty}}{(c, x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / b, x \\ a x \end{array}; b] \\ = \frac{(c / a, a x; q)_{\infty}}{(c, x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a b x / c, a \\ a x \end{array}; \frac{c}{a}] \end{aligned}$
において, $x \mapsto \frac{x}{a}, b \mapsto q$ としてから, $a \to \infty, c \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})} x^{n} & = (x, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n}}{(x, q; q)_{n}} \\ = (x; q)_{\infty} \sum_{0 \leq m} \frac{x^{m} q^{m^{2}}}{(x, q; q)_{m}} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})} a^{n}) (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})} b^{n}) \\ = (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n, m} \frac{b^{m} q^{n + m^{2}}}{(a, q; q)_{n} (b, q; q)_{m}} \\ = (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n \leq m} \frac{b^{m - n} q^{n + (m - n)^{2}}}{(a, q; q)_{n} (b, q; q)_{m - n}} \\ = (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq m} \frac{b^{m} q^{m^{2}}}{(b, q; q)_{m}} \sum_{n = 0}^{m} \frac{(q^{1 - m} / b, q^{- m}; q)_{n}}{(a, q; q)_{n}} q^{n} \end{aligned}$
ここで, $q$ -Vandermondeの恒等式より,
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{m} \frac{(q^{1 - m} / b, q^{- m}; q)_{n}}{(a, q; q)_{n}} q^{n} \\ = \frac{(a b q^{m - 1}; q)_{m}}{(a; q)_{m}} {(\frac{q^{1 - m}}{b})}^{m} \end{aligned}$
であるからこれを代入して定理を得る.

定理1から以下のようにWarnaarの恒等式を導出することができる.

$\begin{aligned} 1 + \sum_{0 < n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} (a^{n} + b^{n}) & = (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b / q; q)_{2 n} q^{n}}{(a, b, a b, q; q)_{n}} \end{aligned}$

$\begin{array}{r} L (a, b) := (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b q^{n - 1}; q)_{n}}{(a, b, q; q)_{n}} q^{n} \end{array}$
とすると, 定理1から
$\begin{aligned} (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b / q; q)_{2 n}}{(a, b, a b, q; q)_{n}} q^{n} \\ = (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - a b / q) (a b q^{n}; q)_{n - 1}}{(a, b, q; q)_{n}} q^{n} \\ = (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{((1 - a b q^{n - 1}) - (a b / q) (1 - q^{n})) (a b q^{n}; q)_{n - 1}}{(a, b, q; q)_{n}} q^{n} \\ = (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b q^{n - 1}; q)_{n}}{(a, b, q; q)_{n}} q^{n} - a b (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b q^{n}; q)_{n - 1}}{(a, b; q)_{n} (q; q)_{n - 1}} q^{n - 1} \\ = L (a, b) - a b (a q, b q, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b q^{n + 1}; q)_{n}}{(a q, b q, q; q)_{n}} q^{n} \\ = L (a, b) - a b L (a q, b q) \\ = (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} a^{n}) (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} b^{n}) - (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n + 1)}{2}} a^{n + 1}) (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n + 1)}{2}} b^{n + 1}) \\ = (1 + \sum_{0 < n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} a^{n}) (1 + \sum_{0 < n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} b^{n}) - (\sum_{0 < n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} a^{n}) (\sum_{0 < n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} b^{n}) \\ = 1 + \sum_{0 < n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} (a^{n} + b^{n}) \end{aligned}$
となって示される.

このような
$\begin{array}{r} \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} x^{n} \end{array}$
と表される関数はpartial theta functionと呼ばれているが, 日本語訳は今のところ無さそうである.