Andrews-Warnaarの恒等式
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で, WarnaarによるJacobiの三重積公式の拡張
\begin{align}
1+\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}(a^n+b^n)&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(ab/q;q)_{2n}q^n}{(a,b,ab,q;q)_n}
\end{align}
を示した. 今回はその類似として, 以下の積公式を示す.
\begin{align} \left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}a^n\right)\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}b^n\right)&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(abq^{n-1};q)_nq^n}{(a,b,q;q)_n} \end{align}
Heineの変換公式
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(b,ax;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{c/b,x}{ax}{b}\\
&=\frac{(c/a,ax;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{abx/c,a}{ax}{\frac ca}
\end{align}
において, $x\mapsto \frac xa,b\mapsto q$としてから, $a\to\infty,c\to 0$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\binom n2}x^n&=(x,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{q^n}{(x,q;q)_n}\\
&=(x;q)_{\infty}\sum_{0\leq m}\frac{x^mq^{m^2}}{(x,q;q)_m}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\binom n2}a^n\right)\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\binom n2}b^n\right)\\
&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n,m}\frac{b^mq^{n+m^2}}{(a,q;q)_n(b,q;q)_m}\\
&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n\leq m}\frac{b^{m-n}q^{n+(m-n)^2}}{(a,q;q)_n(b,q;q)_{m-n}}\\
&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq m}\frac{b^{m}q^{m^2}}{(b,q;q)_{m}}\sum_{n=0}^m\frac{(q^{1-m}/b,q^{-m};q)_n}{(a,q;q)_n}q^n
\end{align}
ここで,
$q$-Vandermondeの恒等式
より,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^m\frac{(q^{1-m}/b,q^{-m};q)_n}{(a,q;q)_n}q^n\\
&=\frac{(abq^{m-1};q)_m}{(a;q)_m}\left(\frac{q^{1-m}}{b}\right)^m
\end{align}
であるからこれを代入して定理を得る.
定理1から以下のようにWarnaarの恒等式を導出することができる.
\begin{align} 1+\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}(a^n+b^n)&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(ab/q;q)_{2n}q^n}{(a,b,ab,q;q)_n} \end{align}
\begin{align}
L(a,b):=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(abq^{n-1};q)_n}{(a,b,q;q)_n}q^n
\end{align}
とすると, 定理1から
\begin{align}
&(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(ab/q;q)_{2n}}{(a,b,ab,q;q)_n}q^n\\
&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(1-ab/q)(abq^n;q)_{n-1}}{(a,b,q;q)_n}q^n\\
&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{((1-abq^{n-1})-(ab/q)(1-q^n))(abq^n;q)_{n-1}}{(a,b,q;q)_n}q^n\\
&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(abq^{n-1};q)_{n}}{(a,b,q;q)_n}q^n-ab(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(abq^{n};q)_{n-1}}{(a,b;q)_n(q;q)_{n-1}}q^{n-1}\\
&=L(a,b)-ab(aq,bq,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(abq^{n+1};q)_{n}}{(aq,bq,q;q)_{n}}q^{n}\\
&=L(a,b)-abL(aq,bq)\\
&=\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}a^n\right)\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}b^n\right)-\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n+1)}2}a^{n+1}\right)\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n+1)}2}b^{n+1}\right)\\
&=\left(1+\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}a^n\right)\left(1+\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}b^n\right)-\left(\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}a^{n}\right)\left(\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}b^{n}\right)\\
&=1+\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}(a^n+b^n)
\end{align}
となって示される.
このような
\begin{align}
\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}x^n
\end{align}
と表される関数はpartial theta functionと呼ばれているが, 日本語訳は今のところ無さそうである.
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