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現代数学解説
文献あり

Andrews-Warnaarの恒等式

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{BQ}[5]{{}_{#1}\psi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{inv}[0]{\mathrm{inv}} \newcommand{maj}[0]{\mathrm{maj}} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

前の記事 で, WarnaarによるJacobiの三重積公式の拡張
\begin{align} 1+\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}(a^n+b^n)&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(ab/q;q)_{2n}q^n}{(a,b,ab,q;q)_n} \end{align}
を示した. 今回はその類似として, 以下の積公式を示す.

Andrews-Warnaar(2007)

\begin{align} \left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}a^n\right)\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}b^n\right)&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(abq^{n-1};q)_nq^n}{(a,b,q;q)_n} \end{align}

Heineの変換公式
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(b,ax;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{c/b,x}{ax}{b}\\ &=\frac{(c/a,ax;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{abx/c,a}{ax}{\frac ca} \end{align}
において, $x\mapsto \frac xa,b\mapsto q$としてから, $a\to\infty,c\to 0$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\binom n2}x^n&=(x,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{q^n}{(x,q;q)_n}\\ &=(x;q)_{\infty}\sum_{0\leq m}\frac{x^mq^{m^2}}{(x,q;q)_m} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\binom n2}a^n\right)\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\binom n2}b^n\right)\\ &=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n,m}\frac{b^mq^{n+m^2}}{(a,q;q)_n(b,q;q)_m}\\ &=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n\leq m}\frac{b^{m-n}q^{n+(m-n)^2}}{(a,q;q)_n(b,q;q)_{m-n}}\\ &=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq m}\frac{b^{m}q^{m^2}}{(b,q;q)_{m}}\sum_{n=0}^m\frac{(q^{1-m}/b,q^{-m};q)_n}{(a,q;q)_n}q^n \end{align}
ここで, $q$-Vandermondeの恒等式 より,
\begin{align} &\sum_{n=0}^m\frac{(q^{1-m}/b,q^{-m};q)_n}{(a,q;q)_n}q^n\\ &=\frac{(abq^{m-1};q)_m}{(a;q)_m}\left(\frac{q^{1-m}}{b}\right)^m \end{align}
であるからこれを代入して定理を得る.

定理1から以下のようにWarnaarの恒等式を導出することができる.

\begin{align} 1+\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}(a^n+b^n)&=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(ab/q;q)_{2n}q^n}{(a,b,ab,q;q)_n} \end{align}

\begin{align} L(a,b):=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(abq^{n-1};q)_n}{(a,b,q;q)_n}q^n \end{align}
とすると, 定理1から
\begin{align} &(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(ab/q;q)_{2n}}{(a,b,ab,q;q)_n}q^n\\ &=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(1-ab/q)(abq^n;q)_{n-1}}{(a,b,q;q)_n}q^n\\ &=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{((1-abq^{n-1})-(ab/q)(1-q^n))(abq^n;q)_{n-1}}{(a,b,q;q)_n}q^n\\ &=(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(abq^{n-1};q)_{n}}{(a,b,q;q)_n}q^n-ab(a,b,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(abq^{n};q)_{n-1}}{(a,b;q)_n(q;q)_{n-1}}q^{n-1}\\ &=L(a,b)-ab(aq,bq,q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(abq^{n+1};q)_{n}}{(aq,bq,q;q)_{n}}q^{n}\\ &=L(a,b)-abL(aq,bq)\\ &=\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}a^n\right)\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}b^n\right)-\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n+1)}2}a^{n+1}\right)\left(\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n+1)}2}b^{n+1}\right)\\ &=\left(1+\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}a^n\right)\left(1+\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}b^n\right)-\left(\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}a^{n}\right)\left(\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}b^{n}\right)\\ &=1+\sum_{0< n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}(a^n+b^n) \end{align}
となって示される.

このような
\begin{align} \sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac{n(n-1)}2}x^n \end{align}
と表される関数はpartial theta functionと呼ばれているが, 日本語訳は今のところ無さそうである.

参考文献

[1]
G. E. Andrews, S. Ole Warnaar, The product of partial theta functions., Adv. in Appl. Math., 2007, 116-120
投稿日:7日前
更新日:2日前
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Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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