Cartan–Dieudonnéの定理

$$ TT_{a}T^{-1}(x) = T\left(T^{-1}(x) - \frac{2 \langle T^{-1}(x),a \rangle}{\langle a,a \rangle} a \right) = x - \frac{2 \langle x,T(a) \rangle}{\langle T(a),T(a) \rangle}T(a) = T_{T(a)}(x).$$

conjより，
$$ T = E_{m_{+}} \oplus (-E_{m_{-}}) \oplus R(\theta_{1}) \oplus\cdots\oplus R(\theta_{m})$$
としてよい（cf. satakep.173）．ただし
$$ R(\theta_{i}) \coloneqq \begin{bmatrix} \cos\theta_{i} & -\sin\theta_{i} \\ \sin\theta_{i} & \cos\theta_{i} \end{bmatrix} \neq \pm E_{2}$$
である．このとき
$$ |T| = (-1)^{m_{-}}$$
となる．

Base ($n=2$).

1. $|T| = (-1)^{2} = 1$のとき，すなわち
   $$ T = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix},\ 0 \leq \theta < 2\pi$$
   のとき，
   $$ a_{1} \coloneqq \begin{bmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix},\ a_{2} \coloneqq \begin{bmatrix} -\sin\frac{\theta}{2} \\ \cos\frac{\theta}{2} \end{bmatrix}$$
   とおくと，
   \begin{align} T_{a_{1}}(e_{1}) &= e_{1} +2\sin\theta \cdot a_{1} = \begin{bmatrix} \cos{2\theta} \\ \sin{2\theta} \end{bmatrix}; \\[2pt] T_{a_{1}}(e_{2}) &= e_{2} -2\cos\theta \cdot a_{1} = \begin{bmatrix} \sin{2\theta} \\ -\cos{2\theta} \end{bmatrix}; \end{align}
   などより，
   $$ T_{a_{1}}T_{a_{2}} = \begin{bmatrix} \cos{2\theta} & \sin{2\theta} \\ \sin{2\theta} & -\cos{2\theta} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(2\theta-\theta) & -\sin(2\theta-\theta)\\ \sin(2\theta-\theta) & \cos(2\theta-\theta) \end{bmatrix} = T$$
   が成り立つ．
2. $|T|=(-1)^{1} = -1$のとき，
   $$ T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = T_{e_{2}}$$
   が成り立つ．

Base ($n=3$).

1. $|T|=(-1)^{3}=-1$のとき，すなわち
   $$ T = \begin{bmatrix} -1 && \\ & \cos\theta & -\sin\theta \\ & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix},\ 0 \leq \theta < 2\pi$$
   のとき，
   $$ a_{1} \coloneqq e_{1},\ a_{2} \coloneqq \begin{bmatrix} 0 \\ -\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix},\ a_{3} \coloneqq \begin{bmatrix} 0 \\ -\sin\frac{\theta}{2} \\ \cos\frac{\theta}{2} \end{bmatrix}$$
   とおくと，
   \begin{align} T_{a_{1}}T_{a_{2}}T_{a_{3}} &= \begin{bmatrix} -1 && \\ & 1 & \\ && 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 && \\ & \cos{2\theta} & \sin{2\theta} \\ & \sin{2\theta} & -\cos{2\theta} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &&\\ &\cos\theta & \sin\theta \\ &\sin\theta & -\cos\theta \end{bmatrix} \\[2pt] &= \begin{bmatrix} -1 && \\ & 1 & \\ && 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 && \\ & \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ & \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \\[2pt] &= T \end{align}
   が成り立つ．
2. $|T|=(-1)^{2}=1$のとき，すなわち
   $$ T = \begin{bmatrix} 1 && \\ & \cos\theta & -\sin\theta \\ & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix},\ 0 \leq \theta < 2\pi$$
   のとき，
   $$ a_{1} \coloneqq \begin{bmatrix} 0 \\ -\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix},\ a_{2} \coloneqq \begin{bmatrix} 0 \\ -\sin\frac{\theta}{2} \\ \cos\frac{\theta}{2} \end{bmatrix}$$
   とおくと，
   $$ T = T_{a_{1}}T_{a_{2}}$$
   が成り立つ．

Induction（偶数）．

$T \in \mathrm{O}(2n+2)$とする．

1. $|T|=(-1)^{2n+2}=1$のとき，$m_{\pm}$が偶数なので
   $$ T = T' \oplus T'',\ T' \in \mathrm{O}(2),\ T'' \in \mathrm{O}(2n),\ |T'| = 1 = (-1)^{2},\ |T''| = 1 = (-1)^{2n}$$
   と書ける．よって，
   \begin{align} \exists\,a'_{1},a'_{2} &\in \mathbb{R}^{2},\ T' = T_{a'_{1}}T_{a'_{2}}; \\ \exists\,a''_{3},\ldots,a''_{2n+2} &\in \mathbb{R}^{2n},\ T'' = T_{a''_{3}}\cdots T_{a''_{2n+2}}; \end{align}
   となるので，
   $$ a_{i} \coloneqq \begin{dcases} \begin{bmatrix} a'_{i} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} & 1 \leq i \leq 2 \\[3pt] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ a''_{i} \end{bmatrix} & 3 \leq i \leq 2n+2 \end{dcases}$$
   とおくと，
   \begin{align} T &= (T' \oplus E_{2n}) \cdot (E_{2} \oplus T'') \\[2pt] &= (T_{a'_{1}}T_{a'_{2}} \oplus E_{2n}) \cdot (E_{2} \oplus T_{a''_{3}}\cdots T_{a''_{2n+2}}) \\[2pt] &= (T_{a'_{1}} \oplus E_{2n}) \cdot (T_{a'_{2}} \oplus E_{2n}) \cdot (E_{2} \oplus T_{a''_{3}}) \cdots (E_{2} \oplus T_{a''_{2n+2}}) \\[2pt] &= T_{a_{1}}T_{a_{2}}T_{a_{3}}\cdots T_{a_{2n+2}} \end{align}
   が成り立つ．
2. $|T|=(-1)^{2n+1}=-1$のとき：置換行列は直交行列なので
   $$ T = (-1) \oplus T',\ T' \in \mathrm{O}(2n+1),\ |T'| = 1 = (-1)^{2n}$$
   としてよい．このとき
   $$ \exists\,a'_{2},\ldots,a'_{2n+1} \in \mathbb{R}^{2n+1},\ T' = T_{a'_{2}}\cdots T_{a'_{2n+1}}$$
   となるので，
   $$ a_{i} \coloneqq \begin{dcases} e_{1} & i=1 \\[3pt] \begin{bmatrix} 0 \\ a''_{i} \end{bmatrix} & 2 \leq i \leq 2n+1 \end{dcases}$$
   とおくと，
   $$ T = T_{a_{1}}T_{a_{2}} \cdots T_{a_{2n+1}}$$
   が成り立つ．

Induction（奇数）．

$T \in \mathrm{O}(2n+3)$とする．

1. $|T|=(-1)^{2n+3}=-1$のとき：置換行列は直交行列なので
   $$ T = (-1) \oplus T',\ T' \in \mathrm{O}(2n+2),\ |T'| = 1 = (-1)^{2n+2}$$
   としてよい．このとき
   $$ \exists\,a'_{2},\ldots,a'_{2n+3} \in \mathbb{R}^{2n+2},\ T' = T_{a'_{2}}\cdots T_{a'_{2n+3}}$$
   となるので，
   $$ a_{i} \coloneqq \begin{dcases} e_{1} & i=1 \\[3pt] \begin{bmatrix} 0 \\ a''_{i} \end{bmatrix} & 2 \leq i \leq 2n+3 \end{dcases}$$
   とおくと，
   $$ T = T_{a_{1}}T_{a_{2}} \cdots T_{a_{2n+3}}$$
   が成り立つ．
2. $|T|=(-1)^{2n+2}=1$のとき，$m_{+}$は奇数，$m_{-}$は偶数なので，
   $$ T = T' \oplus T'',\ T' \in \mathrm{O}(3),\ T'' \in \mathrm{O}(2n),\ |T'| = 1 = (-1)^{2},\ |T''| = 1 = (-1)^{2n}$$
   と書ける．よって
   \begin{align} \exists\,a'_{1},a'_{2} &\in \mathbb{R}^{3},\ T' = T_{a'_{1}}T_{a'_{2}}; \\ \exists\,a''_{3},\ldots,a''_{2n+2} &\in \mathbb{R}^{2n},\ T'' = T_{a''_{3}}\cdots T_{a''_{2n+2}}; \end{align}
   となるので，
   $$ a_{i} \coloneqq \begin{dcases} \begin{bmatrix} a'_{i} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} & 1 \leq i \leq 2 \\[3pt] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ a''_{i} \end{bmatrix} & 3 \leq i \leq 2n+2 \end{dcases}$$
   とおくと，
   $$ T = T_{a_{1}}T_{a_{2}}T_{a_{3}} \cdots T_{a_{2n+2}}$$
   が成り立つ．