集合 ⑦
はじめに
こちら ① に、これまでに作成した数学ノートをシリーズとしてまとめています(※)。
※ 読み進める順番は、ページ下部（古い記事）から上部（新しい記事）へです。
$ $
こちら ➁ に、証明を進めるうえでのポイントを随時まとめています。必要に応じて参照してください。
こちら ③ に、数学における基本用語を随時まとめています。必要に応じて参照してください。
$ $
Prop & Proof
集合 $U$ を全体集合とし、$A,B\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\subseteq A\cup B
$$
部分集合の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\ \Rightarrow\ x\in A\cup B
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとり、$x\in A$ と仮定する。
和集合の定義より
$$
x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor\ x\in B)
$$
が成り立つ。仮定より $x\in A$ であるから、$(x\in A\ \lor\ x\in B)$ は真である。
従って $x\in A\cup B$ が従う。
$ $
以上より、任意の $x\in U$ について $x\in A\Rightarrow x\in A\cup B$ が成り立つので、
$$
A\subseteq A\cup B
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とし、$A,B\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cap B\subseteq A
$$
部分集合の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cap B\ \Rightarrow\ x\in A
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとり、$x\in A\cap B$ と仮定する。
共通部分の定義より
$$
x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B)
$$
が成り立つ。従って $x\in A\cap B$ から $x\in A\ \land\ x\in B$ が得られる。
特に $x\in A$ が従う。以上より任意の $x\in U$ について $x\in A\cap B\Rightarrow x\in A$ が成り立つので、
$$
A\cap B\subseteq A
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
以上の$2$つの命題をまとめると、以下が成り立つ。
証明の必要はないが、あらためて示す。
集合 $U$ を全体集合とし、$A,B\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B
$$
- まず $A\cap B\subseteq A$ を示す。
任意の $x\in U$ を取る。$x\in A\cap B$ を仮定する。
共通部分の定義より
$$ x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B) $$
が成り立つから、$x\in A\ \land\ x\in B$ が成り立つ。よって $x\in A$ が従う。
したがって任意の $x\in U$ について $(x\in A\cap B\Rightarrow x\in A)$ が成り立つので、部分集合の定義より $A\cap B\subseteq A$ である。
$ $ - 次に $A\subseteq A\cup B$ を示す。
任意の $x\in U$ を取る。$x\in A$ を仮定する。
このとき命題論理より $x\in A\ \lor\ x\in B$ が成り立つ。よって和集合の定義
$$ x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor\ x\in B) $$
より $x\in A\cup B$ が従う。
したがって任意の $x\in U$ について $(x\in A\Rightarrow x\in A\cup B)$ が成り立つので、部分集合の定義より $A\subseteq A\cup B$ である。
$ $
-以上より $A\cap B\subseteq A$ かつ $A\subseteq A\cup B$ であるから
$$
A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とし、$A,B\subseteq U$ とする。$A\subseteq B$ が成り立つとき、次が成り立つ。
$$
A\cup B=B
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ x\in B
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ を取る。
和集合の定義より
$$
x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor\ x\in B)
$$
が成り立つ。ここで $A\subseteq B$ より
$$
x\in A\ \Rightarrow\ x\in B
$$
が成り立つ。したがって命題論理より
$$
(x\in A\ \lor\ x\in B)\ \Leftrightarrow\ x\in B
$$
が成り立つ。
ここで $A\subseteq B$ より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\ \Rightarrow\ x\in B
$$
が成り立つ。このとき命題
$$
P:\ (x\in A),\quad Q:\ (x\in B)
$$
とおくと、上式は $P\Rightarrow Q$ を意味する。したがって、次の命題論理の恒真式
$$
(P\Rightarrow Q)\ \Rightarrow\ \bigl((P\lor Q)\Leftrightarrow Q\bigr)
$$
を用いれば
$$
(x\in A\ \lor\ x\in B)\ \Leftrightarrow\ x\in B
$$
が従う。
$ $
この恒真式は次のように示せる。まず、$P\Rightarrow Q$ を仮定する。
- $(P\lor Q)\Rightarrow Q$ を示す。
$P\lor Q$ を仮定する。
このとき、場合分けにより
(i) $P$ が成り立つ場合、仮定 $P\Rightarrow Q$ より $Q$ が従う。
(ii) $Q$ が成り立つ場合、そのまま $Q$ が成り立つ。
よっていずれの場合も $Q$ が成り立つので、$(P\lor Q)\Rightarrow Q$ が成り立つ。
$ $ - $Q\Rightarrow(P\lor Q)$ を示す。
$Q$ を仮定する。
このとき命題論理より $P\lor Q$ が成り立つ。
よって $Q\Rightarrow(P\lor Q)$ が成り立つ。
-1),2) より
$$
(P\lor Q)\Leftrightarrow Q
$$
が成り立つ。
$ $
以上を $P=(x\in A),\ Q=(x\in B)$ に戻すと、$x\in A\Rightarrow x\in B$ のもとで
$$
(x\in A\ \lor\ x\in B)\ \Leftrightarrow\ x\in B
$$
が成り立つ。
よって
$$
x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ x\in B
$$
が任意の $x\in U$ について成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\cup B=B
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$ $
集合 $U$ を全体集合とし、$A,B\subseteq U$ とする。$A\subseteq B$ が成り立つとき、次が成り立つ。
$$
A\cap B=A
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ x\in A
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ を取る。共通部分の定義より
$$
x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B)
$$
が成り立つ。ここで $A\subseteq B$ より
$$
x\in A\ \Rightarrow\ x\in B
$$
が成り立つ。したがって命題論理より
$$
(x\in A\ \land\ x\in B)\ \Leftrightarrow\ x\in A
$$
が成り立つ。
ここで $A\subseteq B$ より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\ \Rightarrow\ x\in B
$$
が成り立つ。このとき命題
$$
P:\ (x\in A),\quad Q:\ (x\in B)
$$
とおくと、上式は $P\Rightarrow Q$ を意味する。
したがって、次の命題論理の恒真式
$$
(P\Rightarrow Q)\ \Rightarrow\ \bigl((P\land Q)\Leftrightarrow P\bigr)
$$
を用いれば
$$
(x\in A\ \land\ x\in B)\ \Leftrightarrow\ x\in A
$$
が従う。
$ $
この恒真式は次のように示せる。
まず、$P\Rightarrow Q$ を仮定する。
- $(P\land Q)\Rightarrow P$ を示す。
$P\land Q$ を仮定する。
$\land$ の意味より $P$ が成り立つ。
よって $(P\land Q)\Rightarrow P$ が成り立つ。
$ $ - $P\Rightarrow(P\land Q)$ を示す。
$P$ を仮定する。
このとき仮定 $P\Rightarrow Q$ より $Q$ が従う。
よって $P$ と $Q$ の両方が成り立つので $P\land Q$ が成り立つ。
したがって $P\Rightarrow(P\land Q)$ が成り立つ。
$ $
-1),2) より
$$
(P\land Q)\Leftrightarrow P
$$
が成り立つ。
$ $
以上を $P=(x\in A),\ Q=(x\in B)$ に戻すと、$x\in A\Rightarrow x\in B$ のもとで
$$
(x\in A\ \land\ x\in B)\ \Leftrightarrow\ x\in A
$$
が成り立つ。
よって
$$
x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ x\in A
$$
が任意の $x\in U$ について成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\cap B=A
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
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