q-多重ゼータ関数の和公式について
はじめに
どうも, 色数です.
今回はこの前公開した1の紹介とちょっとした追記をする.
内容
多重ゼータ値の和公式の複素関数補間は Hirose-Murahara-Onozuka により与えられた 5. (
こちら
などを参照)
1 ではその $q$ 類似を与えている.
$q$-多重ゼータ関数は
\begin{align}
\zeta_q(s_1,\ldots,s_r)\coloneqq\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\prod_{j=1}^r\frac{q^{(s_j-1)n_j}}{[n_j]_q^{s_j}}
\end{align}
で定義される. 2 によると, 絶対収束域は多重ゼータ関数と同じく $\Re(s_{r-k+1}+\cdots+s_r)>k$ ($1\le k\le r$) であり, $q\uparrow1$ と極限を取ることで多重ゼータ関数と一致する.
主定理は次の通りである.
\begin{align} \sum_{i=1}^{r-1}(-1)^{i-1}\sum_{0\le k_1,\ldots,k_{r-1}}\zeta_q\left(-k_1,\ldots,k_{i-1},s-r+i-1+\sum_{j=1}^{i-1}k_j-\sum_{j=i}^{r-1}k_j,k_i+1,\ldots,k_{r-2}+1,k_{r-1}+2\right)+(-1)^{r-1}\sum_{0\le k_1,\ldots,k_{r-1}}\zeta_q(-k_1,\ldots,-k_{r-1},s+k_1+\cdots+k_{r-1})=\zeta_q(s) \end{align}
$s=k\in\mathbb{Z}$ とすれば確かに $q$-多重ゼータ値の和公式 4 を復元することがわかる.
$r=2$ の証明
$0<|q|<1$ において
\begin{equation}
\sum_{0< m}\left(\frac{1}{[m]_q}-\frac{1}{[m+n]_q}\right)=\left(\frac{1}{[1]_q}+\frac{1}{[2]_q}+\cdots+\frac{1}{[n]_q}\right)-n(1-q)
\end{equation}
が成り立つ.
$r=2$ において左辺を変形する.
\begin{align}
&\sum_{n=0}^\infty\sum_{0< m_1< m_2}\left(\frac{q^{(s-n-3)m_1+(n+1)m_2}}{[m_1]_q^{s-n-2}[m_2]_q^{n+2}}-\frac{q^{(-n-1)m_1+(s+n-1)m_2}}{[m_1]_q^{-n}[m_2]_q^{s+n}}\right)\notag\\&=\sum_{0< m_1< m_2}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{[m_1]_q}{[m_2]_q}q^{m_2-m_1}\right)^n\left(\frac{q^{(s-3)m_1+m_2}}{[m_1]_q^{s-2}[m_2]_q^{2}}-\frac{q^{-m_1+(s-1)m_2}}{[m_2]_q^{s}}\right)\notag\\
&=(1-q)^2\sum_{0< m_1< m_2}\frac{1}{(1-q^{m_2})^2-(1-q^{m_1})(1-q^{m_2})q^{m_2-m_1}}\left(\frac{q^{(s-3)m_1+m_2}}{[m_1]_q^{s-2}}-\frac{q^{-m_1+(s-1)m_2}}{[m_2]_q^{s-2}}\right)
\end{align}
となる. 右辺の第1項を $(RHS_1)$, 第2項を $(RHS_2)$ とする.
$(RHS_1)$, $(RHS_2)$ は次のように計算できる. $(RHS_1)$ では補題 $2$ を用いた.
\begin{align}
(RHS_1)&=(1-q)^2\sum_{0< m_1< m_2}\frac{1}{(1-q^{m_2})^2-(1-q^{m_1})(1-q^{m_2})q^{m_2-m_1}}\frac{q^{(s-3)m_1+m_2}}{[m_1]_q^{s-2}}\notag\\&=(1-q)\sum_{0< m_1< m_2}\frac{q^{(s-2)m_1}}{[m_1]_q^{s-1}}\left(\frac{1}{(1-q^{m_2})-(1-q^{m_1})q^{m_2-m_1}}-\frac{1}{1-q^{m_2}}\right)\notag\\
&=\sum_{0< m_1}\frac{q^{(s-2)m_1}}{[m_1]_q^{s-1}}\sum_{m_1< m_2}\left(\frac{1-q}{1-q^{m_2-m_1}}-\frac{1-q}{1-q^{m_2}}\right)\notag\\
&=\sum_{0< m_1}\frac{q^{(s-2)m_1}}{[m_1]_q^{s-1}}\left(\frac{1}{[1]_q}+\frac{1}{[2]_q}+\cdots+\frac{1}{[m_1]_q}\right)-(1-q)\sum_{0< m_1}\frac{q^{(s-2)m_1}m_1}{[m_1]_q^{s-1}},\label{label1}
\end{align}
\begin{align}
(RHS_2)&=(1-q)^2\sum_{0< m_1< m_2}\frac{1}{(1-q^{m_2})^2-(1-q^{m_1})(1-q^{m_2})q^{m_2-m_1}}\frac{q^{-m_1+(s-1)m_2}}{[m_2]_q^{s-2}}\notag\\
&=(1-q)\sum_{1< m_2}\frac{q^{-m_1+(s-1)m_2}}{[m_2]_q^{s-1}}\sum_{0< m_1< m_2}\frac{1}{(1-q^{m_2})-(1-q^{m_1})q^{m_2-m_1}}\notag\\
&=(1-q)\sum_{1< m_2}\frac{q^{(s-2)m_2}}{[m_2]_q^{s-1}}\sum_{0< m_1< m_2}\frac{q^{m_2-m_1}}{1-q^{m_2-m_1}}\notag\\
&=\sum_{0< m_2}\frac{q^{(s-2)m_2}}{[m_2]_q^{s-1}}\left(\frac{q}{[1]_q}+\frac{q^2}{[2]_q}+\cdots+\frac{q^{m_2-1}}{[m_2-1]_q}\right).\label{label2}
\end{align}
したがって,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^\infty\sum_{0< m_1< m_2}\left(\frac{q^{(s-n-3)m_1+(n+1)m_2}}{[m_1]_q^{s-n-2}[m_2]_q^{n+2}}-\frac{q^{(-n-1)m_1+(s+n-1)m_2}}{[m_1]_q^{-n}[m_2]_q^{s+n}}\right)\notag\\
&=\sum_{0< m_1}\frac{q^{(s-2)m_1}}{[m_1]_q^{s-1}}\left(\frac{1-q}{[1]_q}+\frac{1-q^2}{[2]_q}+\cdots+\frac{1-q^{m_1-1}}{[m_1-1]_q}+\frac{1}{[m_1]_q}\right)-(1-q)\sum_{0< m_1}\frac{q^{(s-2)m_1}m_1}{[m_1]_q^{s-1}}\notag\\
&=\sum_{0< m_1}\frac{q^{(s-2)m_1}}{[m_1]_q^{s-1}}\left(\frac{1}{[m_1]_q}-(1-q)\right)\notag\\
&=\zeta_q(s)
\end{align}
を得る.
さて, これは1にも記した. では $1< q$ の場合は考えられるだろうか？
基本的に $q$-多重ゼータ値も $q$-多重ゼータ関数も $q$ が単位円上を動くように取るが, $1< q$ ではどうなのだろうか？ (そもそも収束するのか)
$1< q$ において ${\zeta}_q(s_1,\ldots,s_r)$ は $\mathbb{C}^r$ 全体で絶対収束する.
$1< q$ とする. $q^m-1\ge (q-1)q^{m-1}$ より $\sigma\in\mathbb{R}$ に対し,
\begin{align}
\sum_{M< m}\frac{(1-q)^{\sigma}q^{(\sigma-1)m}}{(1-q^m)^{\sigma}}=\sum_{M< m}\frac{(q-1)^\sigma q^{(\sigma-1)m}}{(q^m-1)^\sigma}\le \sum_{M< m}\frac{q^{\sigma m-m}}{q^{\sigma m-\sigma}}\le q^{\sigma} \sum_{M< m}\frac{1}{q^m}=\frac{1}{(q-1)q^{M-\sigma}}
\end{align}
が成り立つ. 帰納法で示す.
(i)$r=1$ のとき
上の評価より示せた.
(ii) $r-1$ のときに成り立つと仮定する.
\begin{align}
\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\prod_{j=1}^r\frac{q^{(\sigma_j-1)n_j}}{[n_j]_q^{\sigma_j}}&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_{r-1}}\prod_{j=1}^{r-1}\frac{q^{(\sigma_j-1)n_j}}{[n_j]_q^{\sigma_j}}\sum_{n_{r-1}< n_r}\frac{(1-q)^{\sigma_r}q^{(\sigma_r-1)n_r}}{(1-q^{n_r})^{\sigma_r}}\\
&\le \frac{1}{q-1}\sum_{0< n_1<\cdots< n_{r-1}}\prod_{j=1}^{r-1}\frac{q^{(\sigma_j-1)n_j}}{[n_j]_q^{\sigma_j}q^{n_r-\sigma_r}}
\end{align}
よって示せた.
$1< q$ において
\begin{equation}
\sum_{0< m}\left(\frac{1}{[m]_q}-\frac{1}{[m+n]_q}\right)=\left(\frac{1}{[1]_q}+\frac{1}{[2]_q}+\cdots+\frac{1}{[n]_q}\right)
\end{equation}
が成り立つ.
これにより, $(RHS_1)$ に適用するのを補題2ではなく補題4とすると, $r=2$ において次を得る.
$1< q$ に対し
\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty(\zeta_q(s-n-2,n+2)-\zeta_q(-n,s+n))=\sum_{0< m}\frac{q^{(s-2)m}}{[m]_q^{s-1}}\left((m-1)(1-q)+\frac{1}{[m]_q}\right)
\end{align}
が成り立つ.
$s=3$ とすると,
\begin{align}
\zeta_q(1,2)=\sum_{0< n}\frac{q^n}{[n]_q^2}\left((n-1)(1-q)+\frac{1}{[n]_q}\right)
\end{align}
を得る.
最後に
最後に紹介した $1< q$ の場合の定理は正直なところ価値がよくわかっていない(ので正式には載せていない).
ただ, $1< q$ の場合の $\zeta_q(k_1,\ldots,k_r)$ の有理数に張る空間の次元を考察するのは面白いのかもしれない. 関係式が一切ない, とかだと $|q|<1$ に絞ることの重要性がよりわかりそうだと思った.
この話題について何か知っている人がいれば, コメント等で教えていただけると助かります.
参考文献
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
