距離函数についての覚書

$x,y\in X$とする．
任意の$a\in A$に対して
$$\mathrm{dist}(x,A)-d(x,y)\le d(x,a)-d(x,y)\le d(y,a)$$
が成り立つので，
$$\mathrm{dist}(x,A)-d(x,y)\le \mathrm{dist}(y,A),$$
すなわち
$$\mathrm{dist}(x,A)-\mathrm{dist}(y,A)\le d(x,y)$$
を得る．同様にして
$$\mathrm{dist}(y,A)-\mathrm{dist}(x,A)\le d(y,x)=d(x,y)$$
も成り立つので，
$$|\mathrm{dist}(x,A)-\mathrm{dist}(y,A)|\le d(x,y)$$
が成り立つ．

写像
$$f\mathrm{\Delta }g:X\to \mathbb{R}\times \mathbb{R};x\mapsto (f(x),g(x))$$
は連続であり，部分集合
$$R:=\{(r,s)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\mid r<s\}\subset \mathbb{R}\times \mathbb{R}$$
は開集合であるから，
$$X(f<g)=(f\mathrm{\Delta }g{)}^{-1}(R)\subset X$$
は開集合である．

$$\begin{array}{rl}x\in \bar{A}& ⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0,B(x;\epsilon )\cap A\ne \varnothing \\ & ⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }a\in A,d(x,a)<\epsilon \\ & ⟺\mathrm{dist}(x,A)=0.\end{array}$$

距離空間$X$が$T_4$分離公理を満たすことを示せばよい．そこで$C,F\subset X$を交わらない閉集合とする．このとき開集合$U,V\subset X$を
$$\begin{array}{rl}U& =\{x\in X\mid \mathrm{dist}(x,C)<\mathrm{dist}(x,F)\},\\ V& =\{x\in X\mid \mathrm{dist}(x,F)<\mathrm{dist}(x,C)\}\end{array}$$
で定めると，
$$C\subset U,F\subset V,U\cap V=\varnothing$$
が成り立つ．

• $A,B\subset A\cup B$より
  $$\mathrm{dist}(x,A\cup B)\le min\{\mathrm{dist}(x,A),\mathrm{dist}(x,B)\}=:m$$
  が成り立つ．
• もし$\mathrm{dist}(x,A\cup B)<m$が成り立つとすると，$y\in A\cup B$であって$d(x,y)<m$となるものが存在する．ところが
  $$\begin{array}{rl}y\in A& ⟹\mathrm{dist}(x,A)\le d(x,y)<m\le \mathrm{dist}(x,A),\\ y\in B& ⟹\mathrm{dist}(x,B)\le d(x,y)<m\le \mathrm{dist}(x,B)\end{array}$$
  となり不合理である．

1. $\mathrm{dist}(x,\varnothing )=+\mathrm{\infty }$より
   $$e(\varnothing )=\{x\in X\mid +\mathrm{\infty }<\mathrm{dist}(x,A)\}=\varnothing$$
   が成り立つ．
2. 同様にして
   $$e(A)=\{x\in X\mid \mathrm{dist}(x,A)<+\mathrm{\infty }\}=X$$
   が成り立つ．
3. $x\in e(U_A)$とする．このとき$U_A\subset V_A$より
   $$\mathrm{dist}(x,V_A)\le \mathrm{dist}(x,U_A)<\mathrm{dist}(x,A\setminus U_A)\le \mathrm{dist}(x,A\setminus V_A)$$
   が成り立つので，$x\in e(V_A)$を得る．
4. $A\setminus U_A\subset A$は閉集合であるから
   $$\begin{array}{rl}A\setminus U_A& ={\mathrm{cl}}_A(A\setminus U_A)\\ & =\overline{A\setminus U_A}\cap A\\ & =\{a\in A\mid \mathrm{dist}(a,A\setminus U_A)=0\}\end{array}$$
   が成り立つ．よって
   $$e(U_A)\cap A=\{a\in A\mid \mathrm{dist}(a,U_A)<\mathrm{dist}(a,A\setminus U_A)\}=U_A$$
   が成り立つ．
5. (iii)より
   $$e(U_A\cap V_A)\subset e(U_A)\cap e(V_A)$$
   が成り立つ．
   $x\notin e(U_A\cap V_A)$，すなわち
   $$\mathrm{dist}(x,A\setminus (U_A\cap V_A))\le \mathrm{dist}(x,U_A\cap V_A)$$
   が成り立つとする．補題5より
   $$\mathrm{dist}(x,A\setminus (U_A\cap V_A))=\mathrm{dist}(x,(A\setminus U_A)\cup (A\setminus V_A))=min\{\mathrm{dist}(x,A\setminus U_A),\mathrm{dist}(x,A\setminus V_A)\}$$
   であるから，
   $$\mathrm{dist}(x,A\setminus (U_A\cap V_A))=\mathrm{dist}(x,A\setminus U_A)$$
   としてよい．このとき
   $$\begin{array}{rl}\mathrm{dist}(x,A\setminus U_A)& \le min\{\mathrm{dist}(x,A\setminus V_A),\mathrm{dist}(x,U_A\cap V_A)\}\\ & =\mathrm{dist}(x,(A\setminus V_A)\cup (U_A\cap V_A))\\ & =\mathrm{dist}(x,(A\setminus V_A)\cup U_A)\\ & =min\{\mathrm{dist}(x,A\setminus V_A),\mathrm{dist}(x,U_A)\}\\ & \le \mathrm{dist}(x,U_A)\end{array}$$
   が成り立つので，$x\notin e(U_A)$を得る．
6. (i),(v)よりしたがう．

各$n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$に対して
$$F_n=\bar{B}(x;\mathrm{dist}(x,F)+\frac{1}{n})\cap F$$
とおく．$(F_n{)}_n$はコンパクト空間$F_1$の非空閉集合からなる減少列なので，$a\in \bigcap _n{F}_n$が存在する．この$a\in F$に対して
$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1},\mathrm{dist}(x,F)\le d(x,a)\le \mathrm{dist}(x,F)+\frac{1}{n}$$
が成り立つので
$$d(x,a)=\mathrm{dist}(x,F)$$
を得る．

非空コンパクト空間上の連続写像
$$K\to \mathbb{R};x\mapsto \mathrm{dist}(x,F)$$
はある点$k\in K$で最小値を取る：
$$\mathrm{dist}(k,F)=\underset{x\in K}{min}\mathrm{dist}(x,F)=\underset{x\in K}{inf}\mathrm{dist}(x,F)=\mathrm{dist}(K,F).$$
よって命題7より$a\in F$であって
$$d(k,a)=\mathrm{dist}(k,F)=\mathrm{dist}(K,F)$$
が成り立つものが存在する．

(i)$⟹$(ii)

固有距離空間の閉球はコンパクトであるから，命題7の系より$(k,a)\in \bar{B}(x;r)\times F$であって
$$d(k,a)=\mathrm{dist}(\bar{B}(x;r),F)$$
となるものが存在する．このとき
$$\begin{array}{rl}\mathrm{dist}(\bar{B}(x;r),F)& =d(k,a)\\ & \ge d(x,a)-d(x,k)\\ & \ge \mathrm{dist}(x,F)-r\\ & >0\end{array}$$
が成り立つ．

(ii)$⟹$(iii)

$\mathrm{\exists }a\in \bar{B}(x;r)\cap F\ne \varnothing$とすると
$$0<\mathrm{dist}(\bar{B}(x;r),F)\le d(a,a)=0$$
となり不合理である．

(iii)$⟹$(i)

命題7より$a\in F$であって
$$d(x,a)=\mathrm{dist}(x,F)$$
となるものが存在する．仮定より$a\notin \bar{B}(x;r)$であるから
$$\mathrm{dist}(x,F)=d(x,a)>r$$
が成り立つ．

$\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda },U_{\lambda }\ne X$としてよい．各$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して連続写像${\delta }_{\lambda }:X\to \mathbb{R}$を
$${\delta }_{\lambda }(x)=\mathrm{dist}(x,X\setminus U_{\lambda })$$
で定める．いま$X\setminus U_{\lambda }\subset X$は（非空）閉集合なので
$$x\in U_{\lambda }⟺{\delta }_{\lambda }(x)>0$$
が成り立つことに注意する．

$X$のコンパクト性より，${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathrm{\Lambda }$であって
$$X=U_{{\lambda }_1}\cup \cdots \cup U_{{\lambda }_n}$$
となるものが存在する．したがって写像
$${\delta }_X:X\to \mathbb{R};x\mapsto max\{{\delta }_{{\lambda }_1}(x),\dots ,{\delta }_{{\lambda }_n}(x)\}$$
は連続である．そこで
$$\delta =\underset{x\in X}{min}{\delta }_X(x)>0$$
とおく．

$x\in X$とする．このとき
$$\delta \le {\delta }_X(x)={}^{\mathrm{\exists }}{\delta }_{{\lambda }_i}(x)=\mathrm{dist}(x,X\setminus U_{{\lambda }_i})$$
より，$B(x;\delta )\subset U_{{\lambda }_i}$が成り立つ．