距離函数についての覚書

$x,y \in X$とする．
任意の$a \in A$に対して
$$ \dist{x}{A} - d(x,y) \leq d(x,a) - d(x,y) \leq d(y,a)$$
が成り立つので，
$$ \dist{x}{A} - d(x,y) \leq \dist{y}{A},$$
すなわち
$$ \dist{x}{A} - \dist{y}{A} \leq d(x,y)$$
を得る．同様にして
$$ \dist{y}{A} - \dist{x}{A} \leq d(y,x) = d(x,y)$$
も成り立つので，
$$ |\dist{x}{A} - \dist{y}{A}| \leq d(x,y)$$
が成り立つ．

写像
$$ f \Delta g \colon X \to \mathbb{R} \times \mathbb{R};\ x \mapsto (f(x),g(x))$$
は連続であり，部分集合
$$ R := \{(r,s) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid r < s\} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$$
は開集合であるから，
$$ X(f < g) = (f \Delta g)^{-1}(R) \subset X$$
は開集合である．

\begin{align} x \in \overline{A} &\iff \forall \varepsilon > 0,\ B(x;\varepsilon) \cap A \neq \varnothing\\ &\iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ d(x,a) < \varepsilon\\ &\iff \dist{x}{A} = 0. \end{align}

距離空間$X$が$T_{4}$分離公理を満たすことを示せばよい．そこで$C,F \subset X$を交わらない閉集合とする．このとき開集合$U,V \subset X$を
\begin{align} U &= \{x \in X \mid \dist{x}{C} < \dist{x}{F}\},\\ V &= \{x \in X \mid \dist{x}{F} < \dist{x}{C}\} \end{align}
で定めると，
$$ C \subset U,\ F \subset V,\ U \cap V = \varnothing$$
が成り立つ．

• $A, B \subset A \cup B$より
  $$ \dist{x}{A \cup B} \leq \min \{\dist{x}{A},\dist{x}{B}\} =:m$$
  が成り立つ．
• もし$\dist{x}{A \cup B} < m$が成り立つとすると，$y \in A \cup B$であって$d(x,y) < m$となるものが存在する．ところが
  \begin{align} y \in A &\implies \dist{x}{A} \leq d(x,y) < m \leq \dist{x}{A},\\ y \in B &\implies \dist{x}{B} \leq d(x,y) < m \leq \dist{x}{B} \end{align}
  となり不合理である．

1. $\dist{x}{\varnothing} = + \infty$より
   $$ e(\varnothing) = \{x \in X \mid +\infty < \dist{x}{A}\} = \varnothing$$
   が成り立つ．
2. 同様にして
   $$ e(A) = \{x \in X \mid \dist{x}{A} < +\infty\} = X$$
   が成り立つ．
3. $x \in e(U_{A})$とする．このとき$U_{A} \subset V_{A}$より
   $$ \dist{x}{V_{A}} \leq \dist{x}{U_{A}} < \dist{x}{A \smallsetminus U_{A}} \leq \dist{x}{A \smallsetminus V_{A}}$$
   が成り立つので，$x \in e(V_{A})$を得る．
4. $A \smallsetminus U_{A} \subset A$は閉集合であるから
   \begin{align} A \smallsetminus U_{A} &= \mathrm{cl}_{A}(A \smallsetminus U_{A})\\ &= \overline{A \smallsetminus U_{A}} \cap A\\ &= \{a \in A \mid \dist{a}{A \smallsetminus U_{A}} = 0\} \end{align}
   が成り立つ．よって
   $$ e(U_{A}) \cap A = \{a \in A \mid \dist{a}{U_{A}} < \dist{a}{A \smallsetminus U_{A}}\} = U_{A}$$
   が成り立つ．
5. (iii)より
   $$ e(U_{A} \cap V_{A}) \subset e(U_{A}) \cap e(V_{A})$$
   が成り立つ．
   $x \notin e(U_{A} \cap V_{A})$，すなわち
   $$ \dist{x}{A \smallsetminus (U_{A} \cap V_{A})} \leq \dist{x}{U_{A} \cap V_{A}}$$
   が成り立つとする．補題5より
   $$ \dist{x}{A \smallsetminus (U_{A} \cap V_{A})} = \dist{x}{(A \smallsetminus U_{A}) \cup (A \smallsetminus V_{A})} = \min \{\dist{x}{A \smallsetminus U_{A}},\ \dist{x}{A \smallsetminus V_{A}}\}$$
   であるから，
   $$ \dist{x}{A \smallsetminus (U_{A} \cap V_{A})} = \dist{x}{A \smallsetminus U_{A}}$$
   としてよい．このとき
   \begin{align} \dist{x}{A \smallsetminus U_{A}} &\leq \min \{\dist{x}{A \smallsetminus V_{A}},\ \dist{x}{U_{A} \cap V_{A}}\}\\ &= \dist{x}{(A \smallsetminus V_{A}) \cup (U_{A} \cap V_{A})}\\ &= \dist{x}{(A \smallsetminus V_{A}) \cup U_{A}}\\ &= \min\{\dist{x}{A \smallsetminus V_{A}},\ \dist{x}{U_{A}}\}\\ &\leq \dist{x}{U_{A}} \end{align}
   が成り立つので，$x \notin e(U_{A})$を得る．
6. (i),(v)よりしたがう．

各$n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$に対して
$$ F_{n} = \overline{B}(x;\dist{x}{F} + \tfrac{1}{n}) \cap F$$
とおく．$(F_{n})_{n}$はコンパクト空間$F_{1}$の非空閉集合からなる減少列なので，$a \in \bigcap_{n} F_{n}$が存在する．この$a \in F$に対して
$$ \forall n \in \mathbb{Z}_{\geq 1},\ \dist{x}{F} \leq d(x,a) \leq \dist{x}{F} + \frac{1}{n}$$
が成り立つので
$$ d(x,a) = \dist{x}{F}$$
を得る．

非空コンパクト空間上の連続写像
$$ K \to \mathbb{R};\ x \mapsto \dist{x}{F}$$
はある点$k \in K$で最小値を取る：
$$ \dist{k}{F} = \min_{x \in K} \dist{x}{F} = \inf_{x \in K} \dist{x}{F} = \dist{K}{F}.$$
よって命題7より$a \in F$であって
$$ d(k,a) = \dist{k}{F} = \dist{K}{F}$$
が成り立つものが存在する．

(i)$\implies$(ii)

固有距離空間の閉球はコンパクトであるから，命題7の系より$(k,a) \in \overline{B}(x;r) \times F$であって
$$ d(k,a) = \dist{\overline{B}(x;r)}{F}$$
となるものが存在する．このとき
\begin{align} \dist{\overline{B}(x;r)}{F} &= d(k,a)\\ &\geq d(x,a) - d(x,k)\\ &\geq \dist{x}{F} -r\\ &> 0 \end{align}
が成り立つ．

(ii)$\implies$(iii)

$\exists a \in \overline{B}(x;r) \cap F \neq \varnothing$とすると
$$ 0 < \dist{\overline{B}(x;r)}{F} \leq d(a,a) = 0$$
となり不合理である．

(iii)$\implies$(i)

命題7より$a \in F$であって
$$ d(x,a) = \dist{x}{F}$$
となるものが存在する．仮定より$a \notin \overline{B}(x;r)$であるから
$$ \dist{x}{F} = d(x,a) > r$$
が成り立つ．

$\forall \lambda \in \Lambda,\,U_{\lambda} \neq X$としてよい．各$\lambda \in \Lambda$に対して連続写像$\delta_{\lambda} \colon X \to \mathbb{R}$を
$$ \delta_{\lambda}(x) = \dist{x}{X \smallsetminus U_{\lambda}}$$
で定める．いま$X \smallsetminus U_{\lambda} \subset X$は（非空）閉集合なので
$$ x \in U_{\lambda} \iff \delta_{\lambda}(x) > 0$$
が成り立つことに注意する．

$X$のコンパクト性より，$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n} \in \Lambda$であって
$$ X = U_{\lambda_{1}} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n}}$$
となるものが存在する．したがって写像
$$ \delta_{X} \colon X \to \mathbb{R};\ x \mapsto \max \{\delta_{\lambda_{1}}(x),\ldots,\delta_{\lambda_{n}}(x)\}$$
は連続である．そこで
$$ \delta = \min_{x \in X} \delta_{X}(x) > 0$$
とおく．

$x \in X$とする．このとき
$$ \delta \leq \delta_{X}(x) = \prescript{\exists}{}{\delta_{\lambda_{i}}(x)} = \dist{x}{X \smallsetminus U_{\lambda_{i}}}$$
より，$B(x;\delta) \subset U_{\lambda_{i}}$が成り立つ．