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大学数学基礎解説
文献あり

距離函数についての覚書

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$$\newcommand{dist}[2]{\mathrm{dist}({#1},{#2})} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{incl}[2]{\mathrm{id}_{#1}^{#2}} \newcommand{supp}[1]{\mathrm{supp}(#1)} \newcommand{transpose}[0]{\mathsf{T}} $$

準備

$(X,d)$を距離空間とし$A \subset X$をその非空部分集合とする.このとき写像
$$ X \to \mathbb{R};\ x \mapsto \dist{x}{A} = \inf_{a \in A} d(x,a)$$
は(一様)連続である.

$x,y \in X$とする.
任意の$a \in A$に対して
$$ \dist{x}{A} - d(x,y) \leq d(x,a) - d(x,y) \leq d(y,a)$$
が成り立つので,
$$ \dist{x}{A} - d(x,y) \leq \dist{y}{A},$$
すなわち
$$ \dist{x}{A} - \dist{y}{A} \leq d(x,y)$$
を得る.同様にして
$$ \dist{y}{A} - \dist{x}{A} \leq d(y,x) = d(x,y)$$
も成り立つので,
$$ |\dist{x}{A} - \dist{y}{A}| \leq d(x,y)$$
が成り立つ.

$X$を位相空間とし$f,g \colon X \to \mathbb{R}$を連続写像とする.このとき
$$ X(f< g) := \{x \in X \mid f(x) < g(x)\} \subset X$$
は開集合である.

写像
$$ f \Delta g \colon X \to \mathbb{R} \times \mathbb{R};\ x \mapsto (f(x),g(x))$$
は連続であり,部分集合
$$ R := \{(r,s) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid r < s\} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$$
は開集合であるから,
$$ X(f < g) = (f \Delta g)^{-1}(R) \subset X$$
は開集合である.

距離空間$(X,d)$の部分集合$A \subset X$と正数$r > 0$に対して,
$$ B(A;r) := \{x \in X \mid \dist{x}{A} < r\} \subset X$$
$A$を含む開集合である.

$(X,d)$を距離空間とし$A \subset X$を部分集合とする.このとき
$$ \overline{A} = \{x \in X \mid \dist{x}{A} = 0\}$$
が成り立つ.

\begin{align} x \in \overline{A} &\iff \forall \varepsilon > 0,\ B(x;\varepsilon) \cap A \neq \varnothing\\ &\iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ d(x,a) < \varepsilon\\ &\iff \dist{x}{A} = 0. \end{align}

距離空間の正規性

距離空間は正規である.

距離空間$X$$T_{4}$分離公理を満たすことを示せばよい.そこで$C,F \subset X$を交わらない閉集合とする.このとき開集合$U,V \subset X$
\begin{align} U &= \{x \in X \mid \dist{x}{C} < \dist{x}{F}\},\\ V &= \{x \in X \mid \dist{x}{F} < \dist{x}{C}\} \end{align}
で定めると,
$$ C \subset U,\ F \subset V,\ U \cap V = \varnothing$$
が成り立つ.

$C,F \subset X$を交わらない非空閉集合とする.このとき任意の$x \in X$に対して$\dist{x}{C} + \dist{x}{F} \neq 0$であるから,連続写像
$$ f \colon X \to [0,1];\ x \mapsto \frac{\dist{x}{C}}{\dist{x}{C} + \dist{x}{F}}$$
が定まる.この$f$$C,F$に対するUrysohn函数を与えている.

部分空間の開集合をいい感じに延長する

$(X,d)$を距離空間とし,$x \in X,\,A,B \subset X$とする.このとき
$$ \dist{x}{A \cup B} = \min \{\dist{x}{A}, \dist{x}{B}\}$$
が成り立つ.

  • $A, B \subset A \cup B$より
    $$ \dist{x}{A \cup B} \leq \min \{\dist{x}{A},\dist{x}{B}\} =:m$$
    が成り立つ.
  • もし$\dist{x}{A \cup B} < m$が成り立つとすると,$y \in A \cup B$であって$d(x,y) < m$となるものが存在する.ところが
    \begin{align} y \in A &\implies \dist{x}{A} \leq d(x,y) < m \leq \dist{x}{A},\\ y \in B &\implies \dist{x}{B} \leq d(x,y) < m \leq \dist{x}{B} \end{align}
    となり不合理である.

$(X,d)$を距離空間とし$A \subset X$をその非空部分集合とする.それぞれの開集合系を$\tau(X),\tau(A)$で表わす.$\tau(A)$の任意の元$U_{A}$は適当な$U \in \tau(X)$を用いて$U_{A} = U \cap A$と表わせるのであった.この$U$の“標準的な”取り方を与えるのが以下の定理である.

写像$e \colon \tau(A) \to \tau(X)$
$$ e(U_{A}) = \{x \in X \mid \dist{x}{U_{A}} < \dist{x}{A \smallsetminus U_{A}}\}$$
で定める.

( Kuratowski kuratowski )

写像$e \colon \tau(A) \to \tau(X)$について次が成り立つ:

  1. $e(\varnothing) = \varnothing$;
  2. $e(A) = X$;
  3. $U_{A} \subset V_{A} \implies e(U_{A}) \subset e(V_{A})$;
  4. $U_{A} = e(U_{A}) \cap A$;
  5. $e(U_{A} \cap V_{A}) = e(U_{A}) \cap e(V_{A})$;
  6. $U_{A} \cap V_{A} = \varnothing \implies e(U_{A}) \cap e(V_{A}) = \varnothing$.
  1. $\dist{x}{\varnothing} = + \infty$より
    $$ e(\varnothing) = \{x \in X \mid +\infty < \dist{x}{A}\} = \varnothing$$
    が成り立つ.
  2. 同様にして
    $$ e(A) = \{x \in X \mid \dist{x}{A} < +\infty\} = X$$
    が成り立つ.
  3. $x \in e(U_{A})$とする.このとき$U_{A} \subset V_{A}$より
    $$ \dist{x}{V_{A}} \leq \dist{x}{U_{A}} < \dist{x}{A \smallsetminus U_{A}} \leq \dist{x}{A \smallsetminus V_{A}}$$
    が成り立つので,$x \in e(V_{A})$を得る.
  4. $A \smallsetminus U_{A} \subset A$は閉集合であるから
    \begin{align} A \smallsetminus U_{A} &= \mathrm{cl}_{A}(A \smallsetminus U_{A})\\ &= \overline{A \smallsetminus U_{A}} \cap A\\ &= \{a \in A \mid \dist{a}{A \smallsetminus U_{A}} = 0\} \end{align}
    が成り立つ.よって
    $$ e(U_{A}) \cap A = \{a \in A \mid \dist{a}{U_{A}} < \dist{a}{A \smallsetminus U_{A}}\} = U_{A}$$
    が成り立つ.
  5. (iii)より
    $$ e(U_{A} \cap V_{A}) \subset e(U_{A}) \cap e(V_{A})$$
    が成り立つ.
    $x \notin e(U_{A} \cap V_{A})$,すなわち
    $$ \dist{x}{A \smallsetminus (U_{A} \cap V_{A})} \leq \dist{x}{U_{A} \cap V_{A}}$$
    が成り立つとする.補題5より
    $$ \dist{x}{A \smallsetminus (U_{A} \cap V_{A})} = \dist{x}{(A \smallsetminus U_{A}) \cup (A \smallsetminus V_{A})} = \min \{\dist{x}{A \smallsetminus U_{A}},\ \dist{x}{A \smallsetminus V_{A}}\}$$
    であるから,
    $$ \dist{x}{A \smallsetminus (U_{A} \cap V_{A})} = \dist{x}{A \smallsetminus U_{A}}$$
    としてよい.このとき
    \begin{align} \dist{x}{A \smallsetminus U_{A}} &\leq \min \{\dist{x}{A \smallsetminus V_{A}},\ \dist{x}{U_{A} \cap V_{A}}\}\\ &= \dist{x}{(A \smallsetminus V_{A}) \cup (U_{A} \cap V_{A})}\\ &= \dist{x}{(A \smallsetminus V_{A}) \cup U_{A}}\\ &= \min\{\dist{x}{A \smallsetminus V_{A}},\ \dist{x}{U_{A}}\}\\ &\leq \dist{x}{U_{A}} \end{align}
    が成り立つので,$x \notin e(U_{A})$を得る.
  6. (i),(v)よりしたがう.

固有距離空間における点と閉集合との距離

$(X,d)$を固有距離空間とする.

任意の$x \in X$と非空閉集合$F \subset X$に対して,$a \in F$であって
$$ d(x,a) = \dist{x}{F}$$
を満たすものが存在する.

$n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$に対して
$$ F_{n} = \overline{B}(x;\dist{x}{F} + \tfrac{1}{n}) \cap F$$
とおく.$(F_{n})_{n}$はコンパクト空間$F_{1}$の非空閉集合からなる減少列なので,$a \in \bigcap_{n} F_{n}$が存在する.この$a \in F$に対して
$$ \forall n \in \mathbb{Z}_{\geq 1},\ \dist{x}{F} \leq d(x,a) \leq \dist{x}{F} + \frac{1}{n}$$
が成り立つので
$$ d(x,a) = \dist{x}{F}$$
を得る.

命題7の

任意の非空コンパクト集合$K \subset X$と非空閉集合$F \subset X$に対して,$(k,a) \in K \times F$であって
$$ d(k,a) = \dist{K}{F}$$
を満たすものが存在する.

非空コンパクト空間上の連続写像
$$ K \to \mathbb{R};\ x \mapsto \dist{x}{F}$$
はある点$k \in K$で最小値を取る:
$$ \dist{k}{F} = \min_{x \in K} \dist{x}{F} = \inf_{x \in K} \dist{x}{F} = \dist{K}{F}.$$
よって命題7より$a \in F$であって
$$ d(k,a) = \dist{k}{F} = \dist{K}{F}$$
が成り立つものが存在する.

$x \in X, r > 0$とし,$F \subset X$を非空閉集合とする.このとき次は同値である:

  1. $\dist{x}{F} > r$;
  2. $\dist{\overline{B}(x;r)}{F} > 0$;
  3. $\overline{B}(x;r) \cap F = \varnothing$.

(i)$\implies$(ii)

固有距離空間の閉球はコンパクトであるから,命題7の系より$(k,a) \in \overline{B}(x;r) \times F$であって
$$ d(k,a) = \dist{\overline{B}(x;r)}{F}$$
となるものが存在する.このとき
\begin{align} \dist{\overline{B}(x;r)}{F} &= d(k,a)\\ &\geq d(x,a) - d(x,k)\\ &\geq \dist{x}{F} -r\\ &> 0 \end{align}
が成り立つ.

(ii)$\implies$(iii)

$\exists a \in \overline{B}(x;r) \cap F \neq \varnothing$とすると
$$ 0 < \dist{\overline{B}(x;r)}{F} \leq d(a,a) = 0$$
となり不合理である.

(iii)$\implies$(i)

命題7より$a \in F$であって
$$ d(x,a) = \dist{x}{F}$$
となるものが存在する.仮定より$a \notin \overline{B}(x;r)$であるから
$$ \dist{x}{F} = d(x,a) > r$$
が成り立つ.

  • (ii)$\implies$(iii) は一般の距離空間の部分集合に対して成り立つ.
  • (iii)$\implies$(ii) は一般の距離空間のコンパクト集合と閉集合に対して成り立つ.
  • (i)$\implies$(iii)は一般の距離空間で成り立つ.
  • $\dist{x}{F} \geq r \iff B(x;r) \cap F = \varnothing$は一般の距離空間で成り立つ.実際,
    • $\dist{x}{F} \geq r$のとき,$y \in B(x;r) \implies d(x,y) < r \leq \dist{x}{F} \implies y \notin F$より$B(x;r) \cap F = \varnothing$であり,
    • $B(x;r) \cap F = \varnothing$のとき,$\forall a \in F,\ d(x,a) \geq r$より$\dist{x}{F} \geq r$が成り立つ.
開集合を少し縮める(cf. 例1)

開集合$U \subset X$と正数$r > 0$に対して
$$ \{x \in X \mid \overline{B}(x;r) \subset U\} = \{x \in X \mid r < \dist{x}{X \smallsetminus U}\} \subset X$$
$U$に含まれる開集合である.

Lebesgue数の存在

$(X,d)$をコンパクト距離空間,$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$をその開被覆とする.このとき正数$\delta = \delta((U_{\lambda})_{\lambda}) > 0$であって,$(B(x;\delta))_{x \in X}$$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$の細分になる,すなわち
$$ \forall x \in X,\ \exists \lambda \in \Lambda,\ B(x;\delta) \subset U_{\lambda}$$
が成り立つものが存在する.この$\delta$を開被覆$(U_{\lambda})_{\lambda}$Lebesgue数という.

( kawasaki,定理11.15 )

$\forall \lambda \in \Lambda,\,U_{\lambda} \neq X$としてよい.各$\lambda \in \Lambda$に対して連続写像$\delta_{\lambda} \colon X \to \mathbb{R}$
$$ \delta_{\lambda}(x) = \dist{x}{X \smallsetminus U_{\lambda}}$$
で定める.いま$X \smallsetminus U_{\lambda} \subset X$は(非空)閉集合なので
$$ x \in U_{\lambda} \iff \delta_{\lambda}(x) > 0$$
が成り立つことに注意する.

$X$のコンパクト性より,$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n} \in \Lambda$であって
$$ X = U_{\lambda_{1}} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n}}$$
となるものが存在する.したがって写像
$$ \delta_{X} \colon X \to \mathbb{R};\ x \mapsto \max \{\delta_{\lambda_{1}}(x),\ldots,\delta_{\lambda_{n}}(x)\}$$
は連続である.そこで
$$ \delta = \min_{x \in X} \delta_{X}(x) > 0$$
とおく.

$x \in X$とする.このとき
$$ \delta \leq \delta_{X}(x) = \prescript{\exists}{}{\delta_{\lambda_{i}}(x)} = \dist{x}{X \smallsetminus U_{\lambda_{i}}}$$
より,$B(x;\delta) \subset U_{\lambda_{i}}$が成り立つ.

$A \subset X$を直径が$\delta$未満の非空部分集合とし$a_{0} \in A$を取る.このとき
$$ \forall a \in A,\ d(a,a_{0}) \leq \mathrm{diam}(A) < \delta$$
より
$$ A \subset B(a_{0};\delta) \subset \prescript{\exists}{}{U_{\lambda}}$$
が成り立つ.

$f \colon X \to Y$をコンパクト距離空間$X$から位相空間$Y$への連続写像とし,$(V_{\lambda})_{\lambda}$$Y$の開被覆とする.$X$の開被覆$(f^{-1}(V_{\lambda}))_{\lambda}$のLebesgue数を$\delta > 0$とすると
$$ \forall A \subset X,\ \mathrm{diam}_{X}(A) < \delta \implies f(A) \subset \prescript{\exists}{}{V_{\lambda}}$$
が成り立つ.

コンパクト距離空間$X$から距離空間$Y$への連続写像$f \colon X \to Y$は一様連続である.実際,任意の$\varepsilon > 0$に対して,$X$の開被覆$(f^{-1}(B_{Y}(y;\frac{\varepsilon}{2})))_{y \in Y}$のLebesgue数を$\delta > 0$とすると,
\begin{align} d_{X}(x,x') < \delta &\implies \mathrm{diam}_{X}(\{x,x'\}) < \delta\\ &\implies f(\{x,x'\}) \subset \prescript{\exists}{}{B_{Y}(y;\tfrac{\varepsilon}{2})}\\ &\implies d_{Y}(f(x),f(x')) \leq d_{Y}(f(x),y) + d_{Y}(y,f(x')) < \varepsilon \end{align}
が成り立つ.

参考文献

投稿日:210
OptHub AI Competition

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投稿者

うすい
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