ChaundyによるClausenの公式の一般化
Clausenの公式は以下のような${}_2F_1$の2乗を${}_3F_2$で表す公式である.
\begin{align}
\F21{a,b}{a+b+\frac 12}{x}^2&=\F32{2a,2b,a+b}{a+b+\frac 12,2a+2b}x
\end{align}
一般のパラメータの
\begin{align}
\F21{a,b}c{x}
\end{align}
の2乗については, 上のように${}_3F_2$のような一般超幾何関数では表せないが, 次のような公式がChaundyによって示されている.
\begin{align} \F21{a,b}{c}{x}^2=\sum_{0\leq n}\frac{\left(2a,2b,c-\frac 12\right)_n}{n!(c,2c-1)_n}x^n\F43{\frac 12,\frac 12+a+b-c,-\frac n2,\frac{1-n}2}{a+\frac 12,b+\frac 12,\frac 32-c-n}1 \end{align}
まず,
\begin{align}
\F21{a,b}cx^2&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a,b)_{n-k}}{(n-k)!(c)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}x^n\F43{a,b,-n,1-n-c}{c,1-n-a,1-n-b}1
\end{align}
と展開できる. ここで, nearly-poised${}_4F_3$の変換公式(
前の記事
の系4)より
\begin{align}
\F43{a,b,-n,1-n-c}{c,1-n-a,1-n-b}1&=\frac{(2a)_n}{(a)_n}\F43{c-b,a,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1-n-b,c,d+\frac 12}{1}
\end{align}
であり,
Whippleの${}_4F_3$変換公式
より
\begin{align}
&\F43{c-b,a,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1-n-b,c,a+\frac 12}{1}\\
&=\frac{\left(2b,c-\frac 12\right)_n}{(b,2c-1)_n}\F43{\frac 12+a+b-c,\frac 12,-\frac n2,\frac{1-n}2}{a+\frac 12,b+\frac 12,\frac 32-c-n}{1}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\F43{a,b,-n,1-n-c}{c,1-n-a,1-n-b}1&=\frac{\left(2a,2b,c-\frac 12\right)_n}{(a,b,2c-1)_n}\F43{c-b,a,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1-n-b,c,d+\frac 12}{1}
\end{align}
を得る. これを最初の式に代入すると,
\begin{align}
\F21{a,b}cx^2&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a,b)_{n-k}}{(n-k)!(c)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}x^n\F43{a,b,-n,1-n-c}{c,1-n-a,1-n-b}1
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
Orrの公式の一般化
Clausenの公式の類似として, Orrによる以下の公式も知られている.
\begin{align}
\F21{a,b}{a+b+\frac 12}x\F21{\frac 12-a,\frac 12-b}{\frac 32-a-b}x&=\F32{\frac 12,\frac 12+a-b,\frac 12+b-a}{a+b+\frac 12,\frac 32-a-b}x
\end{align}
定理1と同様にこれも一般化できそうだと思ったのでそれを試してみる.
\begin{align}
\F21{a,b}{c}x\F21{1+a-c,1+b-c}{2-c}{x}&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(1+a-c,1+b-c)_{n-k}}{(n-k)!(2-c)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-c,1+b-c)_n}{n!(2-c)_n}x^n\F43{a,b,-n,c-1-n}{c,c-a-n,c-b-n}{1}
\end{align}
ここで, nearly-poised${}_4F_3$の変換公式(
前の記事
の系1)より
\begin{align}
\F43{a,b,-n,c-1-n}{c,c-a-n,c-b-n}{1}&=\frac{(n+1)_n}{(c)_n}\F43{c-a-b-n,\frac{c-1-n}2,\frac{c-n}2,-n}{c-a-n,c-b-n,\frac 12-n}1
\end{align}
であり, ${}_4F_3$を逆から足し合わせると
\begin{align}
&\F43{c-a-b-n,\frac{c-1-n}2,\frac{c-n}2,-n}{c-a-n,c-b-n,\frac 12-n}1\\
&=\frac{\left(c-a-b-n,\frac{c-1-n}2,\frac{c-n}2,-n\right)_n}{\left(1,c-a-n,c-b-n,\frac 12-n\right)_n}\F43{1+a-c,1+b-c,\frac 12,-n}{1+a+b-c,\frac{2-c-n}2,\frac{3-c-n}2}1\\
&=\frac{(-1)^n\left(1+a+b-c\right)_n(c-1-n)_{2n}}{4^n\left(1+a-c,1+b-c,\frac 12\right)_n}\F43{1+a-c,1+b-c,\frac 12,-n}{1+a+b-c,\frac{2-c-n}2,\frac{3-c-n}2}1\\
&=\frac{\left(1+a+b-c,2-c,c-1\right)_n}{\left(1+a-c,1+b-c,n+1\right)_n}\F43{1+a-c,1+b-c,\frac 12,-n}{1+a+b-c,\frac{2-c-n}2,\frac{3-c-n}2}1
\end{align}
となる. これより,
\begin{align}
\F21{a,b}{c}x\F21{1+a-c,1+b-c}{2-c}{x}&=\sum_{0\leq n}\frac{\left(1+a+b-c,c-1\right)_n}{n!\left(c\right)_n}x^n\F43{1+a-c,1+b-c,\frac 12,-n}{1+a+b-c,\frac{2-c-n}2,\frac{3-c-n}2}1
\end{align}
を得る. ここで,
Whippleの${}_4F_3$変換公式
より
\begin{align}
\F43{1+a-c,1+b-c,\frac 12,-n}{1+a+b-c,\frac{2-c-n}2,\frac{3-c-n}2}1&=\frac{\left(\frac{1-c-n}2+a,\frac{2-c-n}2+a\right)_n}{\left(\frac{2-c-n}2,\frac{3-c-n}2\right)_n}\F43{\frac 12+a+b-c,a,1+a-c,-n}{1+a+b-c,\frac{1-c-n}2+a,\frac{2-c-n}2+a}1\\
&=\frac{\left(1-c-n+2a\right)_{2n}}{\left(2-c-n\right)_{2n}}\F43{\frac 12+a+b-c,a,1+a-c,-n}{1+a+b-c,\frac{1-c-n}2+a,\frac{2-c-n}2+a}1\\
&=\frac{\left(1+2a-c,c-2a\right)_{n}}{\left(2-c,c-1\right)_{n}}\F43{\frac 12+a+b-c,a,1+a-c,-n}{1+a+b-c,\frac{1-c-n}2+a,\frac{2-c-n}2+a}1
\end{align}
であるから以下を得る.
\begin{align} &\F21{a,b}{c}x\F21{1+a-c,1+b-c}{2-c}{x}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{\left(1+a+b-c,1+2a-c,c-2a\right)_n}{n!\left(c,2-c\right)_n}x^n\F43{\frac 12+a+b-c,a,1+a-c,-n}{1+a+b-c,\frac{1-c-n}2+a,\frac{2-c-n}2+a}1 \end{align}
$c=a+b+\frac 12$とすると確かにOrrの公式が得られることが分かる. しかし, 右辺の表示が$a,b$に関して対称的ではないというところが若干不満である. 対称的な公式を得るにはnon-terminating Whippleの変換公式を用いる必要があるかもしれない.
