文献あり

MIT Integration Beeを解く【MIT Integration Bee Qualifying-2025】

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

1.本ページでやること

今回はMIT Integration Bee 2025予選問題の解答と解説をしてみる。
使用した関数、テクニックは以下でまとめた。
https://mathlog.info/articles/CMsARUspoc4FiCRFTArY

2.MIT Integration Beeについて

MIT Integration Beeとは、マサチューセッツ工科大学（MIT）で毎年1月に開催される、学生向けの積分計算コンテストのこと。
問題は、Qualifying(予選)、Regular Season(第二予選)、Quarterfinal(準々決勝)、Semifinal(準決勝)、Final(決勝)からなる。
もちろん難易度は決勝に行くにつれて難しくなる。

3.評価

筆者は問題を次のように評価した。(異論は認める)

★☆☆☆☆：数学Ⅱの知識が必要
★★☆☆☆：数学Ⅲの知識が必要
★★★☆☆：数学Ⅲを少し超える知識が必要
★★★★☆：大学での学習内容や鋭い推察が必要
★★★★★：変態的な発想やナーマギリ女神からの天啓が必要

※数学Ⅲを少し超える知識とは次のものを指すこととする。

逆三角関数 ($\arcsin{x} \,, \arccos{x} \,, \arctan{x}$など)
双曲線関数 ($\sinh{x} \,, \cosh{x} \,, \tanh{x}$など)
逆双曲線関数 ($\mathrm{arsinh}{x} \,, \mathrm{arcosh}{x} \,, \mathrm{artanh}{x}$など)

4.問題

問題や解答の表記について

・積分定数は$C$とする
・対数関数に関して、真数の符号を考えずに表記する
　例）$\log{|x^2-1|} \to \log{(x^2-1)}$
・逆三角関数は「$\rm{arc}$」、逆双曲線関数は「$\rm{ar}$」を先頭につけることで表すものとする
　例1）$\sin{x}$の逆関数 $\to$ $\arcsin{x}$
　例2）$\cosh{x}$の逆関数 $\to$ $\mathrm{arcosh}{x}$

★☆☆☆☆

$\displaystyle I=\int \frac{x+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int \frac{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}} ~dx \\ &=\int \sqrt{x} ~dx \\ &=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} +C \end{align}

★☆☆☆☆

$\displaystyle I=\int \frac{e^{x+1}}{e^x+1} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=e\int \frac{e^x}{e^x+1} ~dx \\ &=e\log{(e^x+1)} +C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int \sqrt[3]{3\sin{x}-\sin{3x}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
$\sin{3x} = 3\sin{x} - 4\sin^3{x} \quad \rm{より、}$
\begin{align} I &=\int \sqrt[3]{3\sin{x} - (3\sin{x}-4\sin^3{x})} ~dx \\ &=\int \sqrt[3]{4\sin^3{x}} ~dx \\ &=\sqrt[3]{4}\int \sin{x} ~dx \\ &=-\sqrt[3]{4}\cos{x} +C \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int_{1}^{e^e} \frac{\log{(x^{\log{(x^x)}})}}{x^2} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I&=\int_{1}^{e^e} \frac{\log{(x^x)}\log{(x)}}{x^2} ~dx \\ &=\int_{1}^{e^e} \frac{x\log{(x)}\log{(x)}}{x^2} ~dx \\ &=\int_{1}^{e^e} \frac{\log^2{(x)}}{x} ~dx \\ &=\left[ \frac{\log^3(x)}{3} \right]_1^{e^e} \\ &= \frac{e^3}{3} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{20x}\sin{25x} ~dx$

解答・解説

【ポイント】King Property
King Propertyより、$\displaystyle x \mapsto \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} -x\right) = -x \quad$として
\begin{align} I &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos{(-20x)}\sin{(-25x)}~dx \\ &=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{20x}\sin{25x} ~dx \\ &=-I \quad \rm{よって、} \\ I &= 0 \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int_{0}^{2\pi} \sin{x}\cos{x}\tan{x}\cot{x}\sec{x}\csc{x} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int_{0}^{2\pi} \sin{x}\cos{x}\tan{x}\frac{1}{\tan{x}}\frac{1}{\cos{x}}\frac{1}{\sin{x}} ~dx \\ &=\int_{0}^{2\pi} ~dx \\ &= 2\pi \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int \frac{x\log{(x)}\cos{x}-\sin{x}}{x\log^2{(x)}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】商の微分を考える
\begin{align} I &=\int \frac{\log{(x)}\cos{x}-\frac{1}{x}\sin{x}}{\log^2{(x)}} ~dx\\ &=\int \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin{x}}{\log{x}} \right) ~dx \\ &= \frac{\sin{x}}{\log{x}} + C \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int_{1}^{2} 2^{x-1}+\log_2(2x) ~dx$

解答・解説

【ポイント】逆関数に気づく
$y=\log_2{2x} \quad$ とすると、$x=2^{y-1} \quad$で、
$x: 1 \to 2 \quad $のとき、 $y:1 \to 2 \quad $であるため
$f(x) = \log_2(2x) \quad \rm{とすれば、}$
\begin{align} I &=\int_{1}^{2} f(x) ~dx + \int_{f(1)}^{f(2)} f^{-1}(x) ~dx \\ &=2f(2) - 1f(1) \\ &=2 \times 2 - 1 \times 1 \\ &=3 \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int_{0}^{1} x^{2024}(1-x^{2025})^{2025} ~dx$

解答・解説

【ポイント】微分形接触で素早く(置換積分でも可)
\begin{align} I &=-\frac{1}{2025} \left[ \frac{1}{2026}\left( 1-x^{2025} \right)^{2026} \right]_0^1 \\ &=-\frac{1}{2025 \cdot 2026}(0-1) \\ &=\frac{1}{2025 \cdot 2026} \end{align}

★☆☆☆☆

$\displaystyle I=\int_{0}^{10} x\left(x-\frac{1}{2} \right)(x-1) ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int_{0}^{10} x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x ~dx \\ &=\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{4}x^2 \right]_0^{10} \\ &=\frac{10^4 - 2\cdot 10^3 + 10^2}{4} \\ &=\frac{8100}{4} \\ &=2025 \end{align}

★★★★☆

$\displaystyle I=\int_{0}^{20} \left\lceil \frac{\lfloor x \rfloor}{2} \right\rceil ~dx$

解答・解説

【ポイント】上手く置き換えることで数列の問題にする
$\lfloor x \rfloor$は$(0,20)$の範囲では$0$から$19$までの値を取るから、$k=\lfloor x \rfloor$とすれば、
\begin{align} I &=\sum_{k=0}^{19} \int_{k}^{k+1} \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil ~dx \end{align}
ここで、
\begin{align} \int_{k}^{k+1} \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil ~dx &= \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil \left[ x \right]_k^{k+1} \\ &= \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil \end{align}
なので、$\displaystyle \sum_{k=0}^{19} \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil $を計算すれば良い。
$0$から$19$まで代入して確かめると、$0,1,1,2,2,3,3,\cdots,9,9,10$となるため、
\begin{align} I &= 2 \cdot (1+2+3+4+5+6+7+8+9) + 10 \\ &= 2 \cdot 45 + 10 \\ &= 100 \end{align}

★★★★☆

$\displaystyle I=\int \sqrt[3/1]{x\sqrt[4/2]{x\sqrt[5/3]{x\sqrt[6/4]{\cdots}}}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】法則性を上手く式で表す
まず、見た目から最終的に$\displaystyle x^p$の形になることが予想される。
外側の指数から順に$\displaystyle a_1,a_2,...,a_k,...$とすると、$\displaystyle a_k=\frac{k+2}{k}$である。
ここで、$\displaystyle \mathrm{rt}(x,a) = x^{\frac{1}{a}}$という関数について考えると、
$\displaystyle \mathrm{rt}(x,a_3)= x^{\frac{1}{a_3}}$
$\displaystyle \mathrm{rt}(x\cdot \mathrm{rt}(x,a_3),a_2)= \left( x^{1+\frac{1}{a_3}} \right)^{\frac{1}{a_2}} = x^{\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2 \cdot a_3}}$
$\displaystyle \mathrm{rt}(x\cdot \mathrm{rt}(x,a_2),a_1)= \left( x^{1+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2 \cdot a_3}} \right)^{\frac{1}{a_1}} =x^{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1 \cdot a_2} + \frac{1}{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3}}$
となるため、これが無限回続くと考えれば、
\begin{align} p &= \sum_{n=1}^{\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+2} \end{align}
ここで、
\begin{align} \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+2} &= \frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot \cdots n}{3\cdot4\cdots \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2)} \\ &= \frac{2}{(n+1)(n+2)} \\ &= 2 \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) \end{align}
したがって、
\begin{align} p &= 2\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} 2\left\{ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) \right\} \\ &=\lim_{n \to \infty } 1 - \frac{2}{n} \\ &=1 \end{align}
つまり、
\begin{align} I &= \int x ~dx \\ &= \frac{1}{2}x^2 + C \end{align}

★★★☆☆

$\displaystyle I=\int \frac{e^{2x}(x^2+x)}{(xe^x)^4+1} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理し、微分形に気づく
\begin{align} I &=\int \frac{e^{2x}(x^2+x)}{(x^2e^{2x})^2+1} ~dx \\ \end{align}
$t = x^2e^{2x} \quad \rm{とすると、}$
$dt = 2xe^{2x} + 2x^2e^{2x} = 2e^{2x}(x^2+x) ~dx $
\begin{align} I &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{t^2+1} ~dt \\ &=\frac{1}{2}\arctan{t} +C \\ &=\frac{1}{2}\arctan{(x^2e^{2x})} +C \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int \sec^4x-\tan^4x ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int \frac{1-\sin^4{x}}{\cos^4{x}} ~dx \\ &=\int \frac{1-\sin^2{x} +\sin^2{x} -\sin^4{x}}{\cos^4{x}} ~dx \\ &=\int \frac{\cos^2{x}}{\cos^4{x}} + \frac{\sin^2{x}(1-\sin^2{x})}{\cos^4{x}} ~dx \\ &=\int \frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} ~dx \\ &=\int \frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{1}{\cos^2{x}} -1 ~dx \\ &=\int \frac{2}{\cos^2{x}}-1 ~dx \\ &=2\tan{x} - x +C \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \sqrt{x(1-x)} ~dx$

解答・解説

【ポイント】$x$と$1-x$は$\sin^2{\theta}$と相性がいい
$x=\sin^2{\theta}$とすると、$\quad dx = 2\sin{\theta}\cos{\theta} d\theta$
$x:0 \to 1 \quad \theta:0 \to \frac{\pi}{2}$
\begin{align} I &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}} \cdot 2\sin{\theta}\cos{\theta} ~d\theta \\ &=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{\theta}\cos^2{\theta} ~d\theta \\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{2\theta} ~d\theta \\ &=\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1-\cos{4\theta} ~d\theta \\ &=\frac{1}{4}\left[ \theta -\frac{1}{4}\sin{4\theta} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &=\frac{\pi}{8} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int \frac{\sin{4x}\cos{x}}{\cos{2x}\sin{x}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int \frac{2\sin{2x}\cos{2x}\cos{x}}{\cos{2x}\sin{x}} ~dx \\ &=\int \frac{4\sin{x}\cos{x}\cos{x}}{\sin{x}} ~dx \\ &=4\int \cos^2{x} ~dx \\ &=2\int 1 + \cos{2x} ~dx \\ &= 2x + \sin{2x} + C \end{align}

★★★☆☆

$\displaystyle I=\int \sin{x}\sinh{x} ~dx$

解答・解説

【ポイント】素直に部分積分
\begin{align} I &=\sin{x}\cosh{x} - \int \cos{x}\cosh{x} ~dx \\ &=\sin{x}\cosh{x} - \cos{x}\sinh{x} - \int \sin{x}\sinh{x} ~dx \\ 2I&=\sin{x}\cosh{x} - \cos{x}\sinh{x} \\ I &= \frac{1}{2}(\sin{x}\cosh{x} - \cos{x}\sinh{x}) +C \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin{x}\cos{\left( \frac{\pi}{3} - x \right)} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する(積和公式)
\begin{align} I &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin{\frac{\pi}{3}} + \sin{\left( 2x- \frac{\pi}{3} \right)} ~dx \\ &=\frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}\cos{\left( 2x- \frac{\pi}{3} \right)} \right]_0^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \left( \frac{\sqrt{3}}{12}\pi - \frac{1}{8} \right) - \left(0 - \frac{1}{8} \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{12}\pi \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I=\int \left( \cos{x}+ \cos{\left( x+ \frac{2\pi}{3} \right)} + \cos{\left( x - \frac{2\pi}{3} \right)}\right)^2 ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する(和積公式)
\begin{align} I &=\int \left( \cos{x} + 2\cos{x}\cos{\frac{2\pi}{3}} \right)^2 ~dx \\ &=\int (\cos{x} - \cos{x})^2 ~dx \\ &= C \end{align}

★★★★☆

$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \left( \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^kx^{2k} \right) ~dx$

解答・解説

【ポイント】積分と総和の入れ替え、マクローリン級数の知識
\begin{align} I &=\sum_{k=1}^{\infty} \int_{0}^{1} (-1)^kx^{2k} ~dx \\ &=\sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1} \right]_0^1 \\ &=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} - \frac{(-1)^0}{2\cdot0 +1} \\ &=\arctan{1} - 1 \\ &=\frac{\pi}{4} - 1 \end{align}