実数の連続性についての覚書

• $x-x = 0 \in \{0\} \cup P$より$x \leq x$が成り立つ．
• $x \leq y \leq x$とする．このとき$\pm(y-x) \in \{0\} \cup P$と$P \cap (-P) = \varnothing$より$x =y$を得る．
• $x \leq y \leq z$とする．このとき$y-x, z-y \in \{0\} \cup P$より$z-x = (z-y) +(y-x) \in \{0\} \cup P$を得る．
• $x,y \in \mathbb{K}$とする．$y-x \in \{0\} \cup P$のときは$x \leq y$であり，$y-x \in -P$のときは$x-y = -(y-x) \in \{0\} \cup P$より$y \leq x$が成り立つ．

1. $(y+z) - (x+z) = y-x \in \{0\} \cup P$よりしたがう．
2. $y-x \in \{0\} \cup P,\,z = z-0 \in \{0\} \cup P$より$yz - xz = (y-x)z \in \{0\} \cup P$が成り立つ．
3. $y-x \in \{0\} \cup P,\,-z = 0-z \in \{0\} \cup P$より$xz - yz = (y-x)(-z) \in \{0\} \cup P$が成り立つ．
4. $xx = (-x)(-x)$より$0 \leq x$としてよい．このとき(ii)より
   $$ 0 = 0x \leq xx$$
   を得る．
5. $1 \neq 0$と(iv)より，$1 = 1\cdot 1 \in P$が成り立つ．
6. $x^{-1} < 0$とすると(ii)より$1 = x^{-1}x \leq 0x = 0$を得るが，これは(v)に反する．よって$0 < x^{-1}$である．
7. $y-x,xy \in P$であるから，(vi)より$x^{-1} - y^{-1} = (y-x)(xy)^{-1} \in P$が成り立つので結論を得る．

1. 定義より明らか．
2. (i)より明らか．
3. $-|x| \leq x \leq |x|$および$-|y| \leq y \leq |y|$より
   $$ -(|x|+|y|) \leq x+y \leq |x|+|y|$$
   が成り立つので，
   $$ |x+y| = \max\{x+y,-(x+y)\} \leq |x| + |y|$$
   が成り立つ．
4. $x,y \neq 0$としてよい．
   1. $0< x,y$のとき，$|xy|=xy=|x|\cdot|y|$が成り立つ．
   2. $x<0< y$のとき，$|xy|=-(xy)=(-x)y=|x|\cdot|y|$が成り立つ．
   3. $x,y<0$のとき，$|xy|=xy=(-x)(-y)=|x|\cdot|y|$が成り立つ．

1. $d(x,y) = 0 \iff |x-y| = 0 \iff x-y = 0 \iff x=y$;
2. $d(x,y) = |x-y| = |-(x-y)| = |y-x| = d(y,x)$;
3. $d(x,z) = |x-z| = |(x-y) + (y-z)| \leq |x-y|+|y-z| = d(x,y) + d(y,z)$.

(i)$\implies$(ii)

$(a_{0},b_{0}) \in A \times B$であって$a_{0} = b_{0}$なるものが存在するとき，$c := a_{0} = b_{0} \in \mathbb{K}$とおくと
$$ \forall (a,b) \in A \times B,\ a \leq b_{0} = c = a_{0} \leq b$$
が成り立つ．

そこで，以下
$$ \forall (a,b) \in A \times B,\ a < b$$
が成り立つとする．このとき，部分集合$A',B' \subset \mathbb{K}$を
\begin{align} A' &:= \{x \in \mathbb{K} \mid \exists a \in A,\ x \leq a\},\\ B' &:= \{x \in \mathbb{K} \mid \forall a \in A,\ a < x\} \end{align}
で定めると，$A \subset A',\,B \subset B'$より$A',B' \neq \varnothing$であり，
$$ \mathbb{K} = A' \cup B';\ \forall (a',b') \in A' \times B',\ a' < b'$$
が成り立つので，$c \in \mathbb{K}$であって
$$ \forall (a',b') \in A' \times B',\ a' \leq c \leq b'$$
を満たすものが（ただ一つ）存在する．この$c \in \mathbb{K}$に対して
$$ \forall (a,b) \in A \times B,\ a \leq c \leq b$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$A,B \in \mathcal{P}^{*}(\mathbb{K})$とし
$$ \mathbb{K} = A \cup B;\ \forall (a,b) \in A \times B,\ a < b$$
が成り立つとする．このとき仮定より$c \in \mathbb{K}$であって
$$ \forall (a,b) \in A \times B,\ a \leq c \leq b$$
を満たすものが存在する．

ここで$c' \in \mathbb{K}$も同様の条件を満たすとする．$c \leq c'$としてよい．このとき，$0 < 1+1$および
$$ (1+1)c = c+c \leq c+c' \leq c'+c' = (1+1)c'$$
より
$$ c \leq \frac{c+c'}{1+1} \leq c'$$
が成り立つ．

• $(c+c')/(1+1) \in A$のとき，
  $$ c \leq \frac{c+c'}{1+1} \leq c$$
  より$c+c = c+c'$，したがって$c=c'$を得る．
• $(c+c')/(1+1) \in B$のとき，
  $$ \frac{c+c'}{1+1} \leq c' \leq \frac{c+c'}{1+1}$$
  より$c+c' = c'+c'$，したがって$c=c'$を得る．

(i)$\implies$(ii)

$\mathbb{N}_{+} := \mathbb{N} \smallsetminus \{0\}$とおく．

まづ
$$ I := \{0\} \cup \{k \in \mathbb{N}_{+} \mid k-1 \in \mathbb{N}\} \subset \mathbb{N}$$
を考える．

1. 定義より$0 \in I$が成り立つ．
2. $k \in I$とすると，$k+1 \in \mathbb{N}_{+}$および$(k+1) -1 = k \in \mathbb{N}$より$k+1 \in I$が成り立つ．

したがって数学的帰納法の原理より$I = \mathbb{N}$を得る．

つぎに，$x \in P$とし
$$ I_{x} := \{k \in \mathbb{N} \mid x+k \in \mathbb{N} \implies x \in \mathbb{N}\} \subset \mathbb{N}$$
を考える．

1. 明らかに$0 \in I_{x}$が成り立つ．
2. $k \in I_{x}$とし，$x +(k+1) \in \mathbb{N}$とする．このとき$(x+k) +1 \in I \smallsetminus \{0\}$より$x+k \in \mathbb{N}$であるから，$x \in \mathbb{N}$を得る．よって$k+1 \in I_{x}$が成り立つ．

したがって数学的帰納法の原理より$I_{x} = \mathbb{N}$を得る．

いま$n < m$より$m-n \in P$であり，$n \in I_{m-n}$かつ$(m-n)+n = m \in \mathbb{N}$より$m-n \in \mathbb{N}$が成り立つ．よって$m-n \in I \smallsetminus \{0\}$となるので，
$$ m - (n+1) = (m-n)-1 \in \mathbb{N} \subset \{0\} \cup P$$
すなわち$n+1 \leq m$が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$n = n+0 < n+1 \leq m$が成り立つ．

任意の$n,m \in \mathbb{N}$に対して$n+m \in \mathbb{N}$が成り立つことを示せばよい．

$n \in \mathbb{N}$とし
$$ I_{n} := \{m \in \mathbb{N} \mid n+m \in \mathbb{N}\} \subset \mathbb{N}$$
とおく．このとき$I_{n} = \mathbb{N}$が成り立つことを示せばよい．

1. $n+0 = n \in \mathbb{N}$より$0 \in I_{n}$が成り立つ．
2. $m \in I_{n}$とする．このとき
   $$ n+(m+1) = (n+m)+1 \in \mathbb{N}$$
   より$m+1 \in I_{n}$が成り立つ．

よって数学的帰納法の原理より$I_{n} = \mathbb{N}$を得る．

任意の$n,m \in \mathbb{N}_{+}$に対して$nm \in \mathbb{N}_{+}$が成り立つことを示せばよい．

$m \in \mathbb{N}_{+}$とし
$$ I_{m} := \{0\} \cup \{n \in \mathbb{N}_{+} \mid nm \in \mathbb{N}_{+}\} \subset \mathbb{N}$$
とおく．

1. 定義より$0 \in I_{m}$が成り立つ．
2. $n \in I_{m}$とすると，$n+1 \in \mathbb{N}_{+}$であり
   $$ (n+1)m = nm + m \in \mathbb{N} \cap P = \mathbb{N}_{+}$$
   より$n+1 \in I_{m}$が成り立つ．

よって数学的帰納法の原理より$I_{m} = \mathbb{N}$を得るので
$$ \mathbb{N}_{+} = I_{m} \smallsetminus \{0\} = \{n \in \mathbb{N}_{+} \mid nm \in \mathbb{N}_{+}\}$$
が成り立つ．

任意の$A \in \mathcal{P}^{*}(\mathbb{N})$に対してその最小値$\min A \in \mathbb{N}$が存在することを示せばよい．そこで
$$ B := \{n \in \mathbb{N} \mid \forall a \in A,\ n \leq a\} \subset \mathbb{N}$$
を考える．

• 明らかに$0 \in B$が成り立つ．
• $\exists a_{0} \in A \neq \varnothing$より$a_{0} +1 \notin B$が成り立つ．

したがって，数学的帰納法の原理より，$m(A) \in B$であって$m(A)+1 \notin B$なるものが存在する．このとき$m(A) \in B$より
$$ \forall a \in A,\ m(A) \leq a$$
が成り立つので，あとは$m(A) \in A$を示せばよい．そこで$m(A) \notin A$と仮定すると，
$$ \forall a \in A,\ m(A) < a$$
より
$$ \forall a \in A,\ m(A)+1 \leq a$$
が成り立つので$m(A)+1 \in B$を得るが，これは不合理である．

一意性

$f_{0},f_{1} \colon \mathbb{N} \to X$が定理の主張を満たすとし，
$$ I:= \{n \in \mathbb{N} \mid f_{0}(n) = f_{1}(n)\} \subset \mathbb{N}$$
を考える．

1. $f_{0}(0) = x_{0} = f_{1}(0)$より$0 \in I$が成り立つ．
2. $n \in I$とすると，
   $$ f_{0}(n+1) = f(f_{0}(n)) = f(f_{1}(n)) = f_{1}(n+1)$$
   より$n+1 \in I$が成り立つ．

よって$I= \mathbb{N}$が成り立つので，$f_{0} = f_{1}$を得る．

存在

$$ \mathcal{F} := \{F \subset \mathbb{N} \times X \mid (0,x_{0}) \in F \land \forall (n,x) \in \mathbb{N} \times X,\ (n,x) \in F \implies (n+1,f(x)) \in F\}$$
とおく．$\mathbb{N} \times X \in \mathcal{F} \neq \varnothing$に注意する．そこで
$$ \rec_{f,x_{0}}:= \bigcap \mathcal{F} \subset \mathbb{N} \times X$$
とおく．まづ$\rec_{f,x_{0}}$が写像であることを示すために，
$$ I:= \{n \in \mathbb{N} \mid \exists! x \in X,\ (n,x) \in \rec_{f,x_{0}}\}$$
を考える．以下$r := \rec_{f,x_{0}}$とおく．

1. 明らかに$(0,x_{0}) \in r$が成り立つ．そこで$x_{1} \in X \smallsetminus \{x_{0}\}$であって$(0,x_{1}) \in r$なるものが存在したとする．このとき$F:= r \smallsetminus \{(0,x_{1})\}$とおくと$r \not\subset F$であるが，
   1. $x_{0} \neq x_{1}$より$(0,x_{0}) \in F$が成り立つ．
   2. $(n,x) \in F \subset r$とすると，$n+1 \neq 0$より$(n+1,f(x)) \neq (0,x_{0})$であるから，$(n+1,f(x)) \in r \smallsetminus \{(0,x_{0})\} = F$が成り立つ．
   3. したがって$F \in \mathcal{F}$となるので$r \subset F$を得るが，これは不合理である．よって$0 \in I$が成り立つ．
2. $n \in I$とすると，$x_{n} \in X$であって$(n,x_{n}) \in r$を満たすものがただ一つ存在し，$(n+1,f(x_{n})) \in r$が成り立つ．そこで$x' \in X \smallsetminus \{f(x_{n})\}$であって$(n+1,x') \in r$なるものが存在したとする．このとき$F := r \smallsetminus \{(n+1,x')\}$とおくと$r \not\subset F$であるが，
   1. $n+1 \neq 0$より$(0,x_{0}) \in F$が成り立つ．
   2. $(m,y) \in F$とすると，
      1. $m=n$のとき，$y=x_{n}$より$f(y) \neq x'$であるから$(m+1,f(y)) \in F$が成り立つ．
      2. $m \neq n$のとき，$m+1 \neq n+1$であるから$(m+1,f(y)) \in F$が成り立つ．
   3. したがって$F \in \mathcal{F}$となるので$r \subset F$を得るが，これは不合理である．よって$n+1 \in I$が成り立つ．

以上より$I = \mathbb{N}$を得るので，$r \subset \mathbb{N} \times X$は写像である．

明らかに$r(0) = x_{0}$が成り立つ．また，任意の$n \in \mathbb{N}$に対して，$r(n) = \textcolor{orange}{r(n)}$より，$r(n+1) = f(\textcolor{orange}{r(n)})$が成り立つ．

一意性

$f_{0},f_{1} \colon \mathbb{N} \to X$が定理の主張を満たすとし，
$$ I:= \{n \in \mathbb{N} \mid f_{0}|\mathbb{N}_{\leq n} = f_{1}|\mathbb{N}_{\leq n}\} \subset \mathbb{N}$$
を考える．

1. $f_{0}(0) = \Phi(\varnothing) = f_{1}(0)$より$0 \in I$が成り立つ．
2. $n \in I$とすると，$f_{0},f_{1}$が$\mathbb{N}_{\leq n} = \mathbb{N}_{< n+1}$上で一致することから
   $$ f_{0}(n+1) = \Phi(f_{0}|\mathbb{N}_{< n+1}) = \Phi(f_{1}|\mathbb{N}_{< n+1}) = f_{1}(n+1)$$
   となるので，$f_{0},f_{1}$は$\mathbb{N}_{\leq n+1}$上でも一致する．したがって$n+1 \in I$を得る．

よって$I= \mathbb{N}$となるので，$f_{0} = f_{1}$が成り立つ．

存在

$$ \mathcal{F} := \left\{F \subset \mathbb{N} \times X \;\middle| \;\forall \sigma \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}}X^{\mathbb{N}_{< n}},\ \sigma \subset (\mathbb{N}_{< n} \times X) \cap F \implies (n,\Phi(\sigma)) \in F\right\}$$
とおく．ただし$\sigma \subset (\mathbb{N}_{< n} \times X) \cap F$は
$$ \sigma \in X^{\mathbb{N}_{< n}} \land \forall m \in \mathbb{N}_{< n}, (m,\sigma(m)) \in F$$
の略記である．$\mathbb{N} \times X \in \mathcal{F} \neq \varnothing$に注意する．そこで
$$ \Rec_{\Phi}:= \bigcap \mathcal{F} \subset \mathbb{N} \times X$$
とおき，
$$ I:= \{n \in \mathbb{N} \mid \exists! x \in X,\ (n,x) \in \Rec_{\Phi}\}$$
を考える．以下$R := \Rec_{\Phi}$とおく．

1. $I = \mathbb{N}$が示せたとすると，$R \subset \mathbb{N} \times X$は写像であり，任意の$n \in \mathbb{N}$に対して，
   $$ \forall m \in \mathbb{N}_{< n},\ R(m) = (R|\mathbb{N}_{< n})(m)$$
   より$R|\mathbb{N}_{< n} \subset (\mathbb{N}_{< n} \times X) \cap R$であるから，$R(n) = \Phi(R|\mathbb{N}_{< n})$が成り立つ．
2. $I = \mathbb{N}$を示すためには，
   $$ \forall n \in \mathbb{N},\ \mathbb{N}_{< n} \subset I \implies n \in I$$
   を示せばよい．なんとなれば，$I \neq \mathbb{N}$とすると$n := \min(\mathbb{N} \smallsetminus I) \in \mathbb{N}$が定まるが，$\mathbb{N}_{< n} \subset I$より$n \in I$がしたがい矛盾を生じるからである．

そこで$n \in \mathbb{N}$とし$\mathbb{N}_{< n} \subset I$と仮定する．このとき$n \in I$となることを示す．

写像$\sigma \colon \mathbb{N}_{< n} \to X$を，各$m \in \mathbb{N}_{< n}$に対して
$$ \sigma(m) :=\text{「$(m,x) \in R$ となるただ一つの $x \in X$」}$$
で定めると，$R \in \mathcal{F}$より$(n,\Phi(\sigma)) \in R$が成り立つ．そこで$y \in X \smallsetminus \{\Phi(\sigma)\}$であって$(n,y) \in R$なるものが存在したとする．このとき$F := R \smallsetminus \{(n,y)\}$とおくと$R \not\subset F$であるが，任意の$\sigma' \subset (\mathbb{N}_{< n'} \times X) \cap F$に対して，

1. $n' = n$のとき，$\sigma' \subset (\mathbb{N}_{< n} \times X) \cap R$より
   $$ \forall m \in \mathbb{N}_{< n'},\ \sigma'(m) = \sigma(m)$$
   が成り立つので，$(n',\Phi(\sigma')) = (n,\Phi(\sigma)) \in F$を得る．
2. $n' \neq n$のとき，$\sigma' \subset (\mathbb{N}_{< n'} \times X) \cap R$より$(n',\Phi(\sigma')) \in R \smallsetminus \{(n,y)\} = F$が成り立つ．

したがって$F \in \mathcal{F}$となるので$R \subset F$を得るが，これは不合理である．よって$n \in I$が成り立つ．

$$ I:= \{n \in \mathbb{N} \mid \forall m \in \mathbb{N}_{>n},\ \not\exists \mathbb{N}_{< n} \to \mathbb{N}_{< m}:\text{surj.}\}$$
を考える．

1. $\mathbb{N}_{<0} = \varnothing$である一方，任意の$m \in \mathbb{N}_{> 0}$に対して$0 \in \mathbb{N}_{< m}$が成り立つので，$0 \in I$を得る．
2. $n \in I$とし，ある$m \in \mathbb{N}_{>n+1}$に対して全射$f \colon \mathbb{N}_{< n+1} \to \mathbb{N}_{< m}$が存在したと仮定する．写像$t =t_{f(n),m-1} \colon \mathbb{N}_{< m} \to \mathbb{N}_{< m}$を
   $$ t_{f(n),m-1}(\ell) := \begin{cases} \ell &, \ell \neq f(n),m-1\\ m-1 &, \ell = f(n)\\ f(n) &, \ell = m-1 \end{cases}$$
   で定めると，$t \circ t = \id$より，$t$は全単射である．ところがこのとき，全射$t \circ f \colon \mathbb{N}_{< n+1} \to \mathbb{N}_{< m}$について，$t(f(n)) = m-1$より$(t \circ f)|\mathbb{N}_{< n} \colon \mathbb{N}_{< n} \to \mathbb{N}_{< m-1}$が全射となるが，いま$m-1 \in \mathbb{N}_{>n}$であるから，これは$n \in I$に反する．よって$n+1 \in I$が成り立つ．
   $$ \xymatrix{ {}&{n} \ar@{|->}[dl]_{f}&{}\\ {f(n)} \ar@{|->}[drr] &{}& {m-1} \ar@{|->}[dll]_{t} \\ {f(n)} &{}& {m-1} }$$

以上より$I = \mathbb{N}$が成り立つ．

$$ I:= \{n \in \mathbb{N} \mid \forall f \colon \mathbb{N}_{< n} \to \mathbb{N}_{< n},\ f:\text{inj.} \implies f:\text{surj.}\}$$
を考える．

1. $\mathbb{N}_{<0} = \varnothing$より$0 \in I$が成り立つ．
2. $n \in I$とし，$f \colon \mathbb{N}_{< n+1} \to \mathbb{N}_{< n+1}$を単射とする．全単射$t := t_{f(n),n}\colon \mathbb{N}_{< n+1} \to \mathbb{N}_{< n+1}$との合成$t \circ f$を考えると，$t(f(n)) = n$より単射$(t \circ f)|\mathbb{N}_{< n} \colon \mathbb{N}_{< n} \to \mathbb{N}_{< n}$が定まるが，$n \in I$よりこれは全射なので，$f = t^{-1} \circ (t \circ f)$は全射である．よって$n+1 \in I$が成り立つ．

以上より$I = \mathbb{N}$を得る．

全単射との合成$\mathbb{N}_{< n} \xrightarrow{\exists e} X \xrightarrow{f} X \xrightarrow{e^{-1}} \mathbb{N}_{< n}$を考えることで$X = \mathbb{N}_{< n}$としてよい．

(ii)$\implies$(i)を示せばよい．そこで$f$が全射であるとする．$n>0$としてよい．このとき写像$s \colon \mathbb{N}_{< n} \to \mathbb{N}_{< n}$を
$$ s(m) := \min\{\ell \in \mathbb{N}_{< n} \mid f(\ell) = m\}$$
で定めると，$f \circ s = \id$より，これは単射である．補題より$s$は全単射なので，$f = s^{-1}$は（全）単射である．

(i)$\implies$(ii)

明らか．

(ii)$\implies$(i)

$$ I:= \{n \in \mathbb{N} \mid \forall A \subset X,\ \exists \mathbb{N}_{< n} \to A:\text{surj.} \implies A:\text{fin.}\}$$
を考える．

1. $\mathbb{N}_{<0} = \varnothing$より$0 \in I$が成り立つ．
2. $n \in I$とし，$f \colon \mathbb{N}_{< n+1} \to A$を全射とする．$A \neq \{f(n)\}$としてよい．このとき$f|\mathbb{N}_{< n} \colon \mathbb{N}_{< n} \to A \smallsetminus \{f(n)\}$は全射なので，自然数$n' \in \mathbb{N}$と全単射$f' \colon \mathbb{N}_{< n'} \to A \smallsetminus \{f(n)\}$が存在する．そこで写像$e \colon \mathbb{N}_{< n'+1} \to A$を
   $$ e(m) := \begin{cases} f'(m) &, m < n'\\ f(n) &, m =n' \end{cases}$$
   で定めると，これは全単射である．したがって$n+1 \in I$が成り立つ．

よって$I= \mathbb{N}$が成り立つ．

$A \neq \varnothing$としてよい．そこで$a_{0} \in A$を取る．全単射$e \colon \mathbb{N}_{< n} \to X$に対して，写像$f \colon \mathbb{N}_{< n} \to A$を
$$ f(m) := \begin{cases} e(m) &, m \in e^{-1}(A)\\ a_{0} &, m \notin e^{-1}(A) \end{cases}$$
で定めると，これは全射であるから，補題より$A$は有限集合である．そこで$n':= \#A$とおくと，全射$\mathbb{N}_{< n} \xrightarrow{f} A \cong \mathbb{N}_{< n'}$が存在するので，$n \geq n'$が成り立つ．

$f$が単射であるとすると，$M \xrightarrow{f} f(M)$は全単射なので$m = \#f(M)$が成り立つが，このとき$f(M) \subset N$より$m \leq n$となり不合理である．

$$ I:= \{0\} \cup \{n \in \mathbb{N}_{+} \mid \forall A \in \mathcal{P}^{*}(X),\ \#A=n \implies \exists \max A \in A\}$$
を考える．

1. 定義より$0 \in I$が成り立つ．
2. $n \in I$とし，$e \colon \mathbb{N}_{< n+1} \to A$を全単射とする．
   • $n=0$のとき，$n+1 =1 \in \mathbb{N}_{+}$であり，$A = \{e(0)\}$より$\max A = e(0)$が成り立つので，$n+1 \in I$を得る．
   • $n > 0$のとき，$A' := A \smallsetminus \{e(n)\} \neq \varnothing$とおくと$e|\mathbb{N}_{< n} \colon \mathbb{N}_{< n} \to A'$は全単射なので$\max A'$が存在する．このとき明らかに$\max A = \max\{\max A', e(n)\}$が成り立つので，$n+1 \in I$を得る．

よって$I= \mathbb{N}$が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

• $z \in \mathbb{N}$のときは$x = z, y = 0$とおけばよい．
• $z \in -\mathbb{N}$のときは$x = 0, y = -z$とおけばよい．

(ii)$\implies$(i)

• $x-y=0$のとき，$z=0 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$が成り立つ．
• $x - y > 0$のとき，$y\in\mathbb{N},\,(x-y)+y=x \in \mathbb{N}$より，$z = x-y \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$が成り立つ．
• $x-y < 0$のとき，$-z = y-x \in \mathbb{N}$より$z \in -\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$が成り立つ．

$1 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$であるから，あとは任意の$z,w \in \mathbb{Z}$に対して$z-w,zw \in \mathbb{Z}$が成り立つことを示せばよい．

補題より$x,y,u,v \in \mathbb{N}$を用いて
$$ z = x-y,\ w = u-v$$
と表わせる．

• $x+v,y+u \in \mathbb{N}$より
  $$ z-w = (x-y) - (u-v) = (x+v) - (y+u) \in \mathbb{Z}$$
  が成り立つ．
• $xu,xv,yu,yv \in \mathbb{N}$より
  $$ zw = (x-y)(u-v) = (xu + yv) - (xv + yu) \in \mathbb{Z}$$
  が成り立つ．

1. $(1,1) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}_{+}$であるから$1 = 1 \cdot 1^{-1} \in \mathbb{Q}$が成り立つ．
2. $q = xy^{-1},q' = uv^{-1} \in \mathbb{Q}$とする．
   1. $(xv-yu,yv) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}_{+}$であるから
      $$ q-q' = \frac{x}{y} - \frac{u}{v} = \frac{xv-yu}{yv} \in \mathbb{Q}$$
      が成り立つ．
   2. $(xu,yv) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}_{+}$であるから
      $$ qq' = (xy^{-1})(uv^{-1}) = (xu)(yv)^{-1} \in \mathbb{Q}$$
      が成り立つ．
3. $q = xy^{-1} \in \mathbb{Q} \smallsetminus \{0\}$とする．このとき$x \neq 0$であるから，$q' = yx^{-1} \in \mathbb{R}$とおくと
   $$ q' = yx^{-1} = (-y)(-x)^{-1}$$
   より$q' \in \mathbb{Q}$であり，$qq' = 1$が成り立つ．
4. $P_{\mathbb{Q}}:= P \cap \mathbb{Q}$とおくと，
   $$ \mathbb{Q} = \mathbb{R} \cap \mathbb{Q} = (-P_{\mathbb{Q}}) \sqcup \{0\} \sqcup P_{\mathbb{Q}}$$
   が成り立つ．また，任意の$q,q' \in P_{\mathbb{Q}}$に対して
   $$ q+q',\,qq' \in P \cap \mathbb{Q} = P_{\mathbb{Q}}$$
   が成り立つ．

再帰的定義 I より，写像$\rho_{g} \colon G \to G;\,h \mapsto hg$と単位元$1_{G} \in G$に対して，写像$p_{g} \colon \mathbb{N} \to G$であって
\begin{align} p_{g}(0) &= 1_{G},\\ p_{g}(n+1) &= p_{g}(n)g,\ n \in \mathbb{N} \end{align}
を満たすものがただ一つ存在する．そこで写像$g^{\bullet} \colon \mathbb{Z} \to G;\ z \mapsto g^{z}$を
$$ g^{z} := \begin{cases} p_{g}(n) &, z =:n \geq 0\\ p_{g}(n)^{-1} &, -z =:n >0 \end{cases}$$
で定める．このとき
$$ g^{1} = p_{g}(0)g = g$$
が成り立つので，あとは$g^{\bullet}$が準同型であることを示せばよい．

まづ$n \in \mathbb{N}$に対して
$$ I_{n} := \{m \in \mathbb{N} \mid g^{n+m} = g^{n}g^{m}\}$$
を考える．明らかに$0 \in I_{n}$であり，$m \in I_{n}$とすると
\begin{align} g^{n+(m+1)} &= g^{(n+m)+1}\\ &= g^{n+m}g\\ &= (g^{n}g^{m})g\\ &= g^{n}(g^{m}g)\\ &= g^{n}g^{m+1}\\ \end{align}
より$m+1 \in I_{n}$が成り立つので，$I_{n} = \mathbb{N}$を得る．

さて，$n,m \in \mathbb{N}_{+}$とする．

1. $m \in I_{n}$より$g^{n+m} = g^{n}g^{m}$が成り立つ．
2. 同様に$n \in I_{m}$より
   \begin{align} g^{(-n) + (-m)} &= g^{-(n+m)}\\ &= (g^{n+m})^{-1} \\ &= (g^{m+n})^{-1}\\ &= (g^{m}g^{n})^{-1}\\ &= (g^{n})^{-1}(g^{m})^{-1}\\ &= g^{-n}g^{-m} \end{align}
   が成り立つ．
3. $k := n-m$とおく．
   • $k > 0$のとき，$m \in I_{k}$であるから
     \begin{align} g^{n}g^{-m} &= g^{k+m}g^{-m}\\ &= (g^{k}g^{m})(g^{m})^{-1}\\ &= g^{k}\\ &= g^{n+(-m)} \end{align}
     が成り立つ．さらに$n,k \in \mathbb{N}_{+}, n-k = m > 0$より
     \begin{align} g^{-n}g^{m} &= g^{-n}g^{n+(-k)}\\ &= (g^{n})^{-1}(g^{n}g^{-k})\\ &= g^{-k}\\ &= g^{(-n)+m} \end{align}
     が成り立つ．
   • $k < 0$のとき，$n,-k \in \mathbb{N}_{+}$であるから
     \begin{align} g^{n}g^{-m} &= g^{n}g^{(-n)+(-(-k))}\\ &= g^{n}(g^{-n}g^{-(-k)})\\ &= g^{n}((g^{n})^{-1}g^{k})\\ &= g^{k}\\ &= g^{n+(-m)} \end{align}
     が成り立つ．さらに$-k,m \in \mathbb{N}_{+},(-k)-m = -n < 0$より
     \begin{align} g^{-n}g^{m} &= g^{(-k)+(-m)}g^{m}\\ &= (g^{-k}g^{-m})g^{m}\\ &= (g^{-k}(g^{m})^{-1})g^{m}\\ &= g^{-k}\\ &= g^{(-n)+m} \end{align}
     が成り立つ．
   • $k=0$のとき，$g^{n}g^{-m},g^{n+(-m)}$並びに$g^{-n}g^{m},g^{(-n)+m}$はいづれも$1_{G}$に等しい．

よって
$$ \forall z,w \in \mathbb{Z} = (-\mathbb{N}) \cup \mathbb{N},\ g^{z+w} = g^{z}g^{w}$$
が成り立つ．

一意性

$\varphi \colon \mathbb{Z} \to R$を準同型とする．このとき$\varphi' := \varphi|\mathbb{N}$とおくと，
\begin{align} \varphi'(0) &= 0_{R},\\ \varphi'(n+1) &= \varphi'(n) + \varphi'(1) = \varphi'(n) + 1_{R},\ n \in \mathbb{N} \end{align}
より$\varphi' = p_{1_{R}}$となるので，$\varphi = 1_{R}^{\bullet}$が成り立つ．

存在

写像$\varphi_{R} \colon \mathbb{Z} \to R$を
$$ \varphi_{R}(z) := 1_{R}^{\bullet}(z) = z \cdot 1_{R}$$
で定める．

1. $\varphi_{R}(1) = 1 \cdot 1_{R} = 0_{R} + 1_{R} = 1_{R}$が成り立つ．
2. 任意の$z,w \in \mathbb{Z}$に対して，
   $$ \varphi_{R}(z+w) = (z+w) \cdot 1_{R} = z \cdot 1_{R} + w \cdot 1_{R} = \varphi_{R}(z) + \varphi_{R}(w)$$
   が成り立つ（ことは既に見た）．
3. あとは$\varphi_{R}$が積を保つことを示せばよい．そこで$w \in \mathbb{Z}$とし
   $$ I_{w} := \{n \in \mathbb{N} \mid (n \cdot 1_{R})(w \cdot 1_{R}) = (nw) \cdot 1_{R}\}$$
   を考える．このとき明らかに$0 \in I_{w}$が成り立ち，また，$n \in I_{w}$とすると
   \begin{align} ((n+1) \cdot 1_{R})(w \cdot 1_{R}) &= (n \cdot 1_{R} + 1_{R})(w \cdot 1_{R})\\ &= (n \cdot 1_{R})(w \cdot 1_{R}) + w \cdot 1_{R}\\ &= (nw) \cdot 1_{R} + w \cdot 1_{R}\\ &= (nw + w) \cdot 1_{R}\\ &= ((n+1)w) \cdot 1_{R} \end{align}
   より$n+1 \in I_{w}$が成り立つ．よって$I_{w} = \mathbb{N}$が成り立つ．そこで$z \in \mathbb{Z}$とすると，
   1. $z \in \mathbb{N}$のとき，$z \in I_{w}$より
      \begin{align} \varphi_{R}(zw) &= (zw) \cdot 1_{R}\\ &= (z \cdot 1_{R})(w \cdot 1_{R})\\ &= \varphi_{R}(z) \varphi_{R}(w) \end{align}
      が成り立つ．
   2. $z \in - \mathbb{N}$のとき，$-z \in I_{-w}$より
      \begin{align} \varphi_{R}(zw) &= (zw) \cdot 1_{R}\\ &= ((-z)(-w)) \cdot 1_{R}\\ &= ((-z) \cdot 1_{R})((-w) \cdot 1_{R})\\ &= (-(z \cdot 1_{R}))(- (w \cdot 1_{R}))\\ &= (z \cdot 1_{R})(w \cdot 1_{R})\\ &= \varphi_{R}(z) \varphi_{R}(w) \end{align}
      が成り立つ．

一意性

$\psi \colon \mathbb{Q} \to \mathbb{K}$を定理の主張を満たす写像とする．このとき
$$ \forall n \in \mathbb{N}_{+},\ \varphi_{\mathbb{K}}(n) = \psi(n) > \psi(0)= 0_{\mathbb{K}}$$
が成り立つので，任意の$q = xy^{-1} \in \mathbb{Q},\,(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}_{+},\,$に対して
$$ \psi(q) = \psi(xy^{-1}) = \psi(x)\psi(y)^{-1} = \varphi_{\mathbb{K}}(x)\varphi_{\mathbb{K}}(y)^{-1}$$
が成り立つ．

存在

$\varphi_{\mathbb{K}}|\mathbb{N} = \id_{\mathbb{N}_{\mathbb{K}}}^{\mathbb{K}} \circ r_{\mathbb{K}}$より$\varphi_{\mathbb{K}}(\mathbb{N}) = \mathbb{N}_{\mathbb{K}}$が成り立つ．とくに$\varphi_{\mathbb{K}}(\mathbb{N}_{+}) \subset P_{\mathbb{K}}$となるので，写像$\psi' \colon \mathbb{Z} \times \mathbb{N}_{+} \to \mathbb{K}$を
$$ \psi'(x,y) := \varphi_{\mathbb{K}}(x)\varphi_{\mathbb{K}}(y)^{-1}$$
で定めることができる．また，全射$\pi \colon \mathbb{Z} \times \mathbb{N}_{+} \to \mathbb{Q}$を
$$ \pi(x,y) := xy^{-1}$$
で定めると，
$$ \pi(x,y) = \pi(u,v) \implies xv=yu \implies \varphi_{\mathbb{K}}(x)\varphi_{\mathbb{K}}(v) = \varphi_{\mathbb{K}}(y)\varphi_{\mathbb{K}}(u) \implies \psi'(x,y) = \psi'(u,v)$$
より写像$\psi_{\mathbb{K}} \colon \mathbb{Q} \to \mathbb{K}$であって$\psi_{\mathbb{K}} \circ \pi = \psi'$を満たすものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {\mathbb{Z} \times \mathbb{N}_{+}} \ar[r]^{\psi'} \ar[d]_{\pi}& {\mathbb{K}.}\\ {\mathbb{Q}} \ar@{.>}[ur]_{\psi_{\mathbb{K}}} }$$

1. $\varphi_{\mathbb{K}}(1) = 1_{\mathbb{K}}$より，任意の$z \in \mathbb{Z}$に対して
   $$ \psi_{\mathbb{K}}(z) = \psi'(z,1) = \varphi_{\mathbb{K}}(z)\varphi_{\mathbb{K}}(1)^{-1} = \varphi_{\mathbb{K}}(z)$$
   が成り立つ．
2. $q = \pi(x,y),\,q' = \pi(u,v) \in \mathbb{Q}$とする．このとき$q+q' = \pi(xv+yu,yv),\,qq' = \pi(xu,yv)$より，
   \begin{align} \psi_{\mathbb{K}}(q+q') &= \varphi_{\mathbb{K}}(xv+yu)\varphi_{\mathbb{K}}(yv)^{-1}\\ &= (\varphi_{\mathbb{K}}(x)\varphi_{\mathbb{K}}(v) + \varphi_{\mathbb{K}}(y)\varphi_{\mathbb{K}}(u))(\varphi_{\mathbb{K}}(y)\varphi_{\mathbb{K}}(v))^{-1}\\ &= \varphi_{\mathbb{K}}(x)\varphi_{\mathbb{K}}(y)^{-1} + \varphi_{\mathbb{K}}(u)\varphi_{\mathbb{K}}(v)^{-1}\\ &= \psi_{\mathbb{K}}(q) + \psi_{\mathbb{K}}(q') \end{align}
   および
   \begin{align} \psi_{\mathbb{K}}(qq') &= \varphi_{\mathbb{K}}(xu)\varphi_{\mathbb{K}}(yv)^{-1} \\ &= (\varphi_{\mathbb{K}}(x)\varphi_{\mathbb{K}}(u))(\varphi_{\mathbb{K}}(y)\varphi_{\mathbb{K}}(v))^{-1} \\ &= (\varphi_{\mathbb{K}}(x)\varphi_{\mathbb{K}}(y)^{-1})(\varphi_{\mathbb{K}}(u)\varphi_{\mathbb{K}}(v)^{-1})\\ &= \psi_{\mathbb{K}}(q)\psi_{\mathbb{K}}(q') \end{align}
   が成り立つ．
3. $q = \pi(x,y),\, q' = \pi(u,v) \in \mathbb{Q}$とし$q < q'$とする．このとき$yu - xv \in \mathbb{N}_{+}$より
   $$ \varphi_{\mathbb{K}}(y)\varphi_{\mathbb{K}}(u) - \varphi_{\mathbb{K}}(x)\varphi_{\mathbb{K}}(v) = \varphi_{\mathbb{K}}(yu-xv) \in P_{\mathbb{K}}$$
   が成り立つので，
   $$ \psi_{\mathbb{K}}(q) = \varphi_{\mathbb{K}}(x)\varphi_{\mathbb{K}}(y)^{-1} < \varphi_{\mathbb{K}}(u)\varphi_{\mathbb{K}}(v)^{-1} = \psi_{\mathbb{K}}(q')$$
   が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$A \in \mathcal{P}^{*}(\mathbb{K})$とする．
$$ B := \{x \in \mathbb{K} \mid \forall a \in A,\ a \leq x\}$$
とおく．仮定より$B \neq \varnothing$であり
$$ \forall (a,b) \in A \times B,\ a \leq b$$
が成り立つ．したがって$c \in \mathbb{K}$であって
$$ \forall (a,b) \in A \times B,\ a \leq c \leq b$$
を満たすものが存在する．この$c \in \mathbb{K}$について明らかに
$$ c = \sup A$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$A,B \in \mathcal{P}^{*}(\mathbb{K})$とし
$$ \forall (a,b) \in A \times B,\ a \leq b$$
が成り立つとする．このとき，非空部分集合$A \subset \mathbb{K}$は上に有界なので，$c := \sup A \in \mathbb{K}$が存在する．この$c \in \mathbb{K}$について，
$$ B \subset U(A) := \{x \in \mathbb{K} \mid \forall a \in A,\ a \leq x\}$$
より
$$ \forall (a,b) \in A \times B,\ a \leq c = \min U(A) \leq b$$
が成り立つ．

(ii)$\iff$(iii)

非空部分集合$A \subset \mathbb{K}$が下に有界であるとき，$-A \subset \mathbb{K}$は上に有界であり$\inf A = - \sup (-A) \in \mathbb{K}$が成り立つ．逆も同様．

$\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$が上に有界であるとすると，最小上界$\infty := \sup \mathbb{N} \in \mathbb{R}$が存在する．いま$\infty -1 \in \mathbb{R}$は$\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$の上界ではないので，$n \in \mathbb{N}$であって$\infty-1 < n$を満たすものが存在する．ところがこのとき，$n+1 \in \mathbb{N}$より，$\infty < n+1 \leq \infty$となり不合理である．

一意性

整数$z,w \in \mathbb{Z},\,z < w,\,$が$x \in \mathbb{K}$に対して条件を満たすとすると，$w-z \in \mathbb{Z} \cap P = \mathbb{N}_{+}$より
$$ (w-z) -1 \in \mathbb{N} \subset \{0\} \cup P$$
が成り立つが，一方で
$$ (w-z)-1 = w -(z+1) < w-x \leq 0$$
より$(w-z)-1 \in -P$となり不合理である．

存在 landau-dic

各$x \in \mathbb{K}$に対して，$\mathbb{K}$のArchimedes性より$\{n \in \mathbb{N}_{+} \mid x < n\} \neq \varnothing$であるから，
$$ m(x) := \min \{n \in \mathbb{N}_{+} \mid x < n\} \in \mathbb{N}$$
が定まる．さらに
$$ m'(x) := m(x+m(-x)) = \min \{n \in \mathbb{N}_{+} \mid x + m(-x) < n\} \in \mathbb{N}$$
とおく．そこで
$$ \lfloor x \rfloor := m'(x) - (m(-x) +1) \in \mathbb{Z}$$
と定めると，$0 < x+m(-x)$および$m'(x)$の定義より
$$ m'(x)-1 \leq x + m(-x)< m'(x)$$
であるから，
$$ \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1$$
が成り立つ．

$\mathbb{K}$のArchimedes性より，$(y-x)^{-1} > 0$に対して$n \in \mathbb{N}_{+}$であって
$$ \frac{1}{y-x} < n$$
を満たすものが存在する．このとき
$$ nx < \lfloor nx \rfloor +1 \leq nx +1 < ny$$
が成り立つので，
$$ q := \frac{\lfloor nx \rfloor +1}{n} \in \mathbb{Q}$$
とおけばよい．

1. $\varepsilon > 0$とする．このとき$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
   $$ \forall n \geq n_{0},\ |a_{n}-\alpha| < \frac{\varepsilon}{2}$$
   を満たすものが存在する．よって
   $$ \forall n \geq m \geq n_{0},\ |a_{n}-a_{m}| \leq |a_{n}-\alpha| + |\alpha-a_{m}| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$
   が成り立つ．
2. $1 > 0$に対して，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
   $$ \forall n \geq n_{0},\ |a_{n}-a_{n_{0}}| < 1$$
   を満たすものが存在する．このとき任意の$n \geq n_{0}$に対して
   $$ |a_{n}| \leq |a_{n}-a_{n_{0}}| + |a_{n_{0}}| < 1 + |a_{n_{0}}|$$
   が成り立つ．そこで
   $$ b:= \max\{|a_{0}|,\ldots,|a_{n_{0}}|\}+1 \in \mathbb{K}$$
   とおくと，
   $$ \forall n \in \mathbb{N},\ |a_{n}| < b$$
   が成り立つ．

まづ
$$ I := \{n \in \mathbb{N} \mid n < 2^{n}\}$$
を考える．

1. $0 < 1 = 2^{0}$より$0 \in I$が成り立つ．
2. $n \in I$とすると，$0 \leq n < 2^{n}$より$1 \leq 2^{n}$であるから，
   $$ n+1 < 2^{n} +1 \leq 2^{n} + 2^{n} = 2^{n}(1+1) = 2^{n+1}$$
   となり，したがって$n+1 \in I$が成り立つ．

よって$I = \mathbb{N}$を得る．

$\varepsilon > 0$とする．$\varepsilon^{-1} > 0$に対して，$\mathbb{K}$のArchimedes性より，$n_{0} \in \mathbb{N}_{+}$であって$\varepsilon^{-1} < n_{0}$を満たすものが存在する．このとき
$$ \forall n \geq n_{0},\ -\varepsilon < \frac{1}{2^{n}} < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_{0}} < \varepsilon$$
が成り立つので，結論を得る．

1. $(a_{n})_{n}$を単調非減少数列とし，$\lim_{n}a_{n} = \alpha$とする．このとき，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって$\alpha < a_{n_{0}}$なるものが存在したとすると，$a_{n_{0}} -\alpha > 0$に対して，$n_{1} > n_{0}$であって
   $$ a_{n_{1}} - \alpha < a_{n_{0}} - \alpha,$$
   すなわち$a_{n_{1}}< a_{n_{0}}$を満たすものが存在することになり，不合理である．
2. $(a_{n})_{n}$を単調非増加数列とし，$\lim_{n}a_{n} = \alpha$とする．このとき，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって$a_{n_{0}} < \alpha$なるものが存在したとすると，$\alpha - a_{n_{0}}>0$に対して，$n_{1}>n_{0}$であって
   $$ \alpha - a_{n_{1}} < \alpha-a_{n_{0}},$$
   すなわち$a_{n_{0}}< a_{n_{1}}$を満たすものが存在することになり，不合理である．

(i)$\implies$(ii)

いま$\mathbb{K}$においてLUBが成り立つので，$\mathbb{K}$はArchimedes的順序体である．

$(x_{n})_{n} \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}$をCauchy列とする．Cauchy列は有界であるから，各$n \in \mathbb{N}$に対して
$$ a_{n} := \inf \{x_{m} \mid n \leq m\} \in \mathbb{K},\ b_{n} := \sup \{x_{m} \mid n \leq m\} \in \mathbb{K}$$
が定まる．そこで
$$ A := \{a_{n} \in \mathbb{K} \mid n \in \mathbb{N}\},\ B := \{b_{n} \in \mathbb{K} \mid n \in \mathbb{N}\}$$
とおくと，$\{x_{m} \mid n+1 \leq m\} \subset \{x_{m} \mid n \leq m\}$より
$$ \forall (n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N},\ a_{n} \leq a_{\max\{n,m\}} \leq b_{\max\{n,m\}} \leq b_{m}$$
が成り立つ．いま$\mathbb{K}$においてTが成り立つので，$c \in \mathbb{K}$であって
$$ \forall (n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N},\ a_{n} \leq c \leq b_{m}$$
を満たすものが存在する．

以下，$(x_{n})_{n}$が$c \in \mathbb{K}$に収束することを示す．そこで$\varepsilon > 0$とすると，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
$$ \forall n \geq n_{0},\ |x_{n}-x_{n_{0}}| < \frac{\varepsilon}{2^{2}},$$
すなわち
$$ \forall n \geq n_{0},\ x_{n_{0}} - \frac{\varepsilon}{2^{2}} \leq x_{n } \leq x_{n_{0}} + \frac{\varepsilon}{2^{2}}$$
を満たすものが存在する．したがって
$$ x_{n_{0}} - \frac{\varepsilon}{2^{2}} \leq a_{n_{0}} \leq b_{n_{0}} \leq x_{n_{0}} + \frac{\varepsilon}{2^{2}}$$
が成り立つ．一方
$$ a_{n_{0}} \leq c \leq b_{n_{0}}$$
および
$$ \forall n \geq n_{0},\ a_{n_{0}} \leq x_{n} \leq b_{n_{0}}$$
が成り立つ．よって
$$ \forall n \geq n_{0},\ |x_{n} -c| \leq b_{n_{0}} - a_{n_{0}} \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(iii)

$(I_{n} =[a_{n},b_{n}])_{n}$を閉区間の減少列であって$\lim_{n}(b_{n}-a_{n}) = 0$なるものとする．このとき，任意の$n \geq m \geq n_{0}$に対して，$a_{n},a_{m} \in I_{n_{0}}$より
$$ |a_{n}-a_{m}| \leq b_{n_{0}} - a_{n_{0}}$$
が成り立つので，$(a_{n})_{n}$はCauchy列である．したがって$\alpha := \lim_{n} a_{n} \in \mathbb{K}$が存在する．また，
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ |b_{n}-\alpha| \leq |b_{n}-a_{n}| + |a_{n}-\alpha|$$
より，$\lim_{n}b_{n} = \alpha$が成り立つ．いま，$(a_{n})_{n}$は単調非減少数列であり，$(b_{n})_{n}$は単調非増加数列であるから，
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ a_{n} \leq \alpha \leq b_{n},$$
すなわち$\alpha \in \bigcap_{n} I_{n}$が成り立つ．さらに，$c \in \bigcap_{n}I_{n}$とすると，
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ |c-\alpha| \leq b_{n} -a_{n};\ \lim_{n\to\infty} (b_{n}-a_{n}) = 0$$
より，$c = \alpha$が成り立つ．

(iii)$\implies$(i)

$A,B \in \mathcal{P}^{*}(\mathbb{K})$とし
$$ \mathbb{K} = A \cup B;\ \forall (a,b) \in A \times B,\ a < b$$
が成り立つとする．$(a_{0},b_{0}) \in A \times B$を取る．このとき，閉区間の減少列$([a_{n},b_{n}])_{n}$であって
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ (a_{n},b_{n}) \in A \times B,\ b_{n} - a_{n} = \frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}$$
を満たすものが次のようにして定まる：$X:= \{[a,b] \in \mathcal{P}(\mathbb{K}) \mid (a,b) \in A \times B\}$とおき，写像$f \colon X \to X$を
$$ f \colon X \to X;\ [a,b] \mapsto \begin{cases} [c,b] &, c:= \frac{a+b}{2} \in A\\ [a,c] &, c \in B \end{cases}$$
で定める．
$$ [a',b']:= f([a,b]) \subset [a,b],\ b'-a' = \frac{b-a}{2}$$
に注意する．そこで
$$ [a_{n+1},b_{n+1}] := \rec_{f,[a_{0},b_{0}]}(n+1) = f(\rec_{f,[a_{0},b_{0}]}(n)),\ n \in \mathbb{N}$$
と定めればよい．

$\mathbb{K}$のArchimedes性より$\lim_{n}(b_{n}-a_{n}) = 0$であるから，$c \in \mathbb{K}$であって$c \in \bigcap_{n}I_{n}$なるものがただ一つ存在する．

1. $c \in A$のとき，
   $$ \forall b \in B,\ c < b$$
   が成り立つ．また$a \in A$であって$c< a$なるものが存在したとすると，$a-c>0$に対して，$n \in \mathbb{N}$であって
   $$ b_{n}-a_{n} < a-c \leq a-a_{n},$$
   したがって$b_{n} < a$を満たすものが存在することになり不合理である．
2. $c \in B$のとき，
   $$ \forall a \in A,\ a < c$$
   が成り立つ．また$b \in B$であって$b < c$なるものが存在したとすると，$c-b>0$に対して，$n \in \mathbb{N}$であって
   $$ b_{n}-a_{n} < c-b \leq b_{n}-b,$$
   したがって$b < a_{n}$を満たすものが存在することになり不合理である．

よって，いづれにしろ
$$ \forall (a,b) \in A\times B,\ a \leq c \leq b$$
が成り立つ．また，$c' \in \mathbb{K}$について同様の条件が成り立つとすると，とくに
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ a_{n} \leq c ' \leq b_{n}$$
より$c' \in \bigcap_{n}I_{n}$となるので，$c'=c$を得る．

(i)$\implies$(ii)

$(a_{n})_{n}$を上に有界な単調非減少数列とする．このとき
$$ A:= \{a_{n} \in \mathbb{K} \mid n \in \mathbb{N}\} \subset \mathbb{K}$$
は上に有界な非空部分集合なので，最小上界$\alpha := \sup A \in \mathbb{K}$が存在する．

以下，$(a_{n})_{n}$が$\alpha \in \mathbb{K}$に収束することを示す．そこで$\varepsilon > 0$とする．いま$\alpha - \varepsilon \in \mathbb{K}$は$A$の上界ではないので，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって$\alpha - \varepsilon < a_{n_{0}}$を満たすものが存在する．この$n_{0} \in \mathbb{N}$に対して
$$ \forall n \geq n_{0}, \alpha - \varepsilon < a_{n_{0}} \leq a_{n} \leq \alpha < \alpha + \varepsilon$$
が成り立つので，$\alpha = \lim_{n} a_{n}$を得る．

(ii)$\implies$(i)

まづ$\mathbb{K}$がArchimedes的順序体であることを示す．そこで$\mathbb{N} \subset \mathbb{K}$が有界であると仮定する．このとき，有界な単調増加数列$(n)_{n}$は収束するが，$\infty := \lim_{n}n \in \mathbb{K}$とおくと，$1 > 0$に対して$n \in \mathbb{N}$であって$|\infty -n| < 1$，したがって$\infty < n+1 \leq \infty$を満たすものが存在することになり不合理である．

$A \subset \mathbb{K}$を上に有界な非空部分集合とし，
$$ U(A) := \{x \in \mathbb{K} \mid \forall a \in A,\ a \leq x\} \neq \varnothing$$
とおく．$A \cap U(A) = \varnothing$としてよい．このとき次のようにして$A$の元からなる単調増加数列$(a_{n})_{n}$が得られる：

1. $a_{0} \in A$を取る；
2. $a_{n} \in A$が定まったとする．$a_{n} \notin U(A)$より$A_{>a_{n}} := \{a\in A \mid a_{n} < a\} \neq \varnothing$である．各$a \in A_{>a_{n}}$に対して，$\mathbb{K}$のArchimedes性より
   $$ m(a_{n};a) := \min \{m \in \mathbb{N} \mid (a-a_{n})^{-1} < m\} \in \mathbb{N}_{+}$$
   が定まり，したがって
   $$ m(a_{n}) := \min \{m(a_{n};a) \in \mathbb{N} \mid a \in A_{>a_{n}}\} \in \mathbb{N}_{+}$$
   が定まる．そこで$m(a_{n}) = m(a_{n};a)$なる$a \in A_{>a_{n}}$（のひとつ）を$a_{n+1} \in A$とおく．このとき
   $$ a_{n} < a_{n} + \frac{1}{m(a_{n})} < a_{n+1}$$
   が成り立つ．

したがって$\alpha := \lim_{n} a_{n} \in \mathbb{K}$が存在する．以下，$\alpha = \sup A$を示す．

1. いま$(a_{n})_{n}$は単調非減少数列であるから，
   $$ \forall n \in \mathbb{N},\ a_{n} \leq \alpha$$
   が成り立つ．
2. $\alpha \notin U(A)$とすると，$a \in A$であって$\alpha < a$なるものが存在する．このとき，$\mathbb{K}$のArchimedes性より$m \in \mathbb{N}_{+}$であって$(a-\alpha)^{-1} < m$を満たすものが存在する．この$m \in \mathbb{N}_{+}$に対して
   $$ \forall n \in \mathbb{N},\ a_{n} + \frac{1}{m} \leq \alpha + \frac{1}{m} < \alpha + (a-\alpha) = a$$
   が成り立つことに注意する．また，$(m+1)^{-1} >0$に対して，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって
   $$ \alpha - a_{n_{0}} < \frac{1}{m+1}$$
   を満たすものが存在する．したがって
   $$ a \in A_{>a_{n_{0}}},\ 0 < m(a_{n_{0}}) \leq m(a_{n_{0}};a) \leq m$$
   より
   \begin{align} \alpha &< \alpha + \frac{1}{m(m+1)}\\ &= \alpha + \frac{1}{m}-\frac{1}{m+1} \\ &< a_{n_{0}} + \frac{1}{m} \\ &\leq a_{n_{0}} + \frac{1}{m(a_{n_{0}})} \\ &< a_{n_{0}+1}\\ &\leq \alpha \end{align}
   を得るが，これは不合理である．よって$\alpha \in U(A)$が成り立つ．
3. $b \in U(A)$であって$b < \alpha$なるものが存在したとすると，$n \in \mathbb{N}$であって
   $$ \alpha - a_{n} < \alpha -b,$$
   すなわち$b < a_{n}$が成り立つものが存在することになり不合理である．
4. よって
   $$ \alpha = \min U(A) = \sup A$$
   が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$I = [a,b] \subset \mathbb{K},\,a< b,\,$とし，$\mathcal{J} = (J_{\lambda})_{\lambda}$を開区間の族であって
$$ I \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} J_{\lambda}$$
を満たすものとする．ここで，$I$が$\mathcal{J}$の有限個の元では覆えない，すなわち
$$ \forall \lambda_{0},\ldots,\lambda_{n} \in \Lambda,\ I \not\subset \bigcup_{i=0}^{n} J_{\lambda_{n}}$$
が成り立つとする．このとき，$\mathcal{J}$の有限個の元で覆えない閉区間からなる減少列$(I_{n})_{n}$であって$\diam{I_{n}} = (b-a)/2^{n}$を満たすものが，次のようにして得られる：

1. $I_{0} := I$とおく．
2. $I_{n} = [a_{n},b_{n}]$が定まったとする．このとき，$c_{n} := (a_{n}+b_{n})/2 \in I_{n}$とおくと，$\mathcal{J}$は閉区間$[a_{n},c_{n}],\,[c_{n},b_{n}]$のいづれをも覆うが，この閉区間の少なくとも一方については有限個では覆えないので，それを$I_{n+1} = [a_{n+1},b_{n+1}] \subset I_{n}$とおけばよい．
   • 補足：集合
     $$ \{[x,y] \in \mathcal{P}(\mathbb{K}) \mid a \leq x < y \leq b,\ \text{$[x,y]$は $\mathcal{J}$ の有限個の元では覆えない}\}$$
     を考えて再帰的定義 I を適用している．

いま$\mathbb{K}$のArchimedes性より$\lim_{n}\diam{I_{n}} = 0$であるから，$c \in \bigcap_{n}I_{n}$が（ただ一つ）存在する．この$c \in I$に対して，$\lambda \in \Lambda$であって$c \in J_{\lambda}$なるものが存在し，この$J_{\lambda}$に対して，$\varepsilon > 0$であって
$$ B_{\mathbb{K}}(c;\varepsilon) \subset J_{\lambda}$$
なるものが存在する．さらに，この$\varepsilon > 0$に対して，$\lim_{n}\diam{I_{n}} = 0$より$n_{0} \in \mathbb{N}$であって$\diam{I_{n_{0}}} < \varepsilon$なるものが存在する．ところが$c \in I_{n_{0}}$より
$$ \forall x \in I_{n_{0}},\ |x-c| \leq \diam{I_{n_{0}}} < \varepsilon,$$
したがって$I_{n_{0}} \subset B_{\mathbb{K}}(c;\varepsilon) \subset J_{\lambda}$となり，$I_{n_{0}}$が$\mathcal{J}$の有限個の元では覆えないことに反する．

(ii)$\implies$(iii)

$(a_{n})_{n}$を有界数列とする．このとき閉区間$I:=[a,b] \subset \mathbb{K}$であって$\{a_{n} \in \mathbb{K} \mid n \in \mathbb{N}\} \subset I$なるものが存在する．

1. 任意の$x \in I$に対して，$(\varepsilon(x),n(x)) \in P_{\mathbb{K}} \times \mathbb{N}$であって
   $$ \forall n \geq n(x),\ |a_{n}-x|\geq \varepsilon(x)$$
   を満たすものが存在したとする．このとき閉区間$I \subset \mathbb{K}$と開区間の族$(B_{\mathbb{K}}(x;\varepsilon(x)))_{x \in I}$について
   $$ I \subset \bigcup_{x \in I} B_{\mathbb{K}}(x;\varepsilon(x))$$
   が成り立つので，有限個の点$x_{0},\ldots,x_{n} \in I$であって
   $$ I \subset \bigcup_{i=0}^{n} B_{\mathbb{K}}(x_{i};\varepsilon(x_{i}))$$
   を満たすものが存在する．一方，このとき$m:= \max\{n(x_{0}),\ldots,n(x_{n})\} \in \mathbb{N}$に対して
   $$ a_{m} \in I \smallsetminus \bigcup_{i=0}^{n}B_{\mathbb{K}}(x_{i};\varepsilon(x_{i}))$$
   が成り立ち，不合理である．
2. よって$\alpha \in I$であって
   $$ \forall (\varepsilon,n_{0}) \in P_{\mathbb{K}} \times \mathbb{N},\ \exists n \geq n_{0},\ |a_{n}-\alpha| < \varepsilon$$
   が成り立つものが存在する．そこで次のようにして単調増加数列$s \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$を定める：
   1. $s(0) := 0 \in \mathbb{N}$とおく．
   2. $s(0),\ldots,s(n) \in \mathbb{N}$まで定まったとする．このとき$(1/(n+1),s(n)+1) \in P_{\mathbb{K}} \times \mathbb{N}$に対して$s(n+1) >s(n)$であって
      $$ |a_{s(n+1)} - \alpha| < \frac{1}{n+1}$$
      を満たすものが存在する．
   3. 補足：写像$\Phi \colon \bigcup_{n}\mathbb{N}^{\mathbb{N}_{< n}} \to \mathbb{N}$を
      $$ \Phi(\sigma) := \begin{cases} 0 &, \sigma \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}_{<0}}\\ \min\{m \in \mathbb{N}_{\geq \max\sigma(\mathbb{N}_{< n+1}) +1} \mid |a_{m}-\alpha| < \tfrac{1}{n+1}\} &, \sigma \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}_{< n+1}},\ n \in \mathbb{N} \end{cases}$$
      で定めて再帰的定義 II を適用している．$s := \Rec_{\Phi} \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$とおけば
      $$ \forall n \in \mathbb{N},\ s(n) \leq \max s(\mathbb{N}_{< n+1}) < \Phi(s|\mathbb{N}_{< n+1}) = s(n+1)$$
      が成り立つ．
3. このとき，$(a_{n})_{n}$の部分列$(a_{s(n)})_{n}$について
   $$ \forall n \in \mathbb{N}_{+},\ |a_{s(n)} -\alpha| < \frac{1}{n}$$
   が成り立つ．よって，あとは$\mathbb{K}$がArchimedes的であることを示せばよい．
4. そこで$\mathbb{N} \subset \mathbb{K}$が有界であると仮定する．このとき$M \in \mathbb{K}$であって
   $$ \forall n \in \mathbb{N},\ n < M$$
   を満たすものが存在する．いま閉区間$[0,1] \subset \mathbb{K}$と開区間の族$(B_{\mathbb{K}}(x;(2M)^{-1}))_{x \in [0,1]}$に対して
   $$ [0,1] \subset \bigcup_{x \in I} B_{\mathbb{K}}(x;(2M)^{-1})$$
   が成り立つので，有限個の点$x_{0},\ldots,x_{n-1} \in [0,1]$であって
   $$ [0,1] \subset \bigcup_{i=0}^{n-1} B_{\mathbb{K}}(x_{i};(2M)^{-1})$$
   を満たすものが存在する．ところがこのとき
   $$ 1 = 1-0 \leq \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{M} = \frac{n}{M} < 1$$
   となり不合理である．

(iii)$\implies$(i)

$\mathbb{N} \subset \mathbb{K}$が有界であるとすると，有界数列$(n)_{n}$は収束部分列$(s(n))_{n}$を持つので，その極限を$s(\infty) := \lim_{n}s(n) \in \mathbb{K}$とおく．このとき，任意の$m \in \mathbb{N}$に対して$m+1 \leq s(m+1) \leq s(\infty)$より$m \leq s(\infty)-1$が成り立つので，
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ |(s(\infty)-1) - s(n)| \leq |s(\infty) - s(n)|$$
より
$$ s(\infty)-1 = \lim_{n\to\infty}s(n) = s(\infty)$$
を得るが，これは不合理である．よって$\mathbb{N} \subset \mathbb{K}$は有界でないので，$\mathbb{K}$はArchimedes的順序体である．

$(I_{n} =[a_{n},b_{n}])_{n}$を閉区間の減少列であって$\lim_{n}(b_{n}-a_{n}) = 0$なるものとする．このとき$(a_{n})_{n}$は有界数列なので，収束部分列$(a_{s(n)})_{n}$を持つ．そこで$c := \lim_{n} a_{s(n)} \in \mathbb{K}$とおくと，
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ |b_{s(n)}-c| \leq |b_{s(n)}-a_{s(n)}| + |a_{s(n)}-c|$$
より$\lim_{n} b_{s(n)}=c$が成り立つ．いま$(a_{s(n)})_{n}$は単調非減少数列であり$(b_{s(n)})_{n}$は単調非増加数列であるから，
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ a_{n} \leq a_{s(n)} \leq c \leq b_{s(n)} \leq b_{n}$$
が成り立ち，したがって$c \in \bigcap_{n}I_{n}$を得る．さらに，$c' \in \bigcap_{n}I_{n}$とすると，
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ |c -c'| \leq b_{n} -a_{n};\ \lim_{n\to\infty} (b_{n}-a_{n}) = 0$$
より，$c = c'$が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$f(a) = f(b)$のときは明らか．また，$f(a) > f(b)$のときは$f$の代わりに$-f$を考えることで，$f(a) < f(b)$としてよい．そこで$\gamma \in \;]f(a),f(b)[$とする．このとき$c \in [a,b]$であって$f(c) = \gamma$なるものが存在することを示せばよい．$f$の代わりに$f -\gamma$を考えることで，$\gamma = 0$としてよい．

さて，
$$ A:= \{x \in [a,b] \mid \forall y \in [a,x],\ f(y)<0\} \subset \mathbb{K}$$
とおくと，$(a,b) \in A \times U(A)$より
$$ c := \sup A \in [a,b]$$
が定まる．以下，$f(c) = 0$が成り立つことを示す．

1. $x \in[a,c[$とする．このとき$x < \sup A$より$a' \in A$であって$x < a'$なるものが存在するので，$f(x) <0$が成り立つ．
2. $f(c) >0$と仮定する．このとき$a < c \leq b$より$c-a>0$に注意する．いま$f$の$c \in [a,b]$における連続性より，$f(c)/2 > 0$に対して，$\delta >0$であって
   $$ \forall x \in [a,b],\ |x-c| < \delta \implies |f(x)-f(c)| < \frac{f(c)}{2}$$
   を満たすものが存在する．そこで
   $$ c' := c - \frac{\min\{\delta,c-a\}}{2} \in \mathbb{K}$$
   とおくと，
   $$ a \leq \frac{a+c}{2} = c-\frac{c-a}{2} \leq c' < c \leq b$$
   より$c' \in [a,b]$であるから，$|c'-c| < \delta$と合わせて
   $$ f(c') > f(c) -\frac{f(c)}{2} = \frac{f(c)}{2} > 0$$
   が成り立つが，これは(1)に反する．したがって$f(c) \leq 0$が成り立つ．
3. $f(c) < 0$と仮定する．このとき$a \leq c < b$より$b-c > 0$に注意する．いま$f$の$c \in [a,b]$における連続性より，$-f(c)/2 > 0$に対して，$\delta >0$であって
   $$ \forall x \in [a,b],\ |x-c| < \delta \implies |f(x)-f(c)| < -\frac{f(c)}{2}$$
   を満たすものが存在する．そこで
   $$ c'' := c + \frac{\min\{\delta,b-c\}}{2} \in \mathbb{K}$$
   とおくと，
   $$ a \leq c < c'' \leq c+\frac{b-c}{2} = \frac{c+b}{2} \leq b$$
   より$c'' \in [a,b]$であるから，$|c''-c| < \delta$と合わせて
   $$ f(c'') < f(c) -\frac{f(c)}{2} = \frac{f(c)}{2} < 0$$
   が成り立つ．この$c'' \in [a,b]$に対して，(1)と$\delta$の取り方より
   $$ \forall x \in [a,c''] = [a,c[\, \cup [c,c''],\ f(x) < 0$$
   が成り立つので，$c'' \in A$を得る．ところがこのとき$c'' \leq c < c''$となり不合理である．よって$f(c)=0$が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$A \subset \mathbb{K}$を上に有界な非空部分集合とする．$A \cap U(A) = \varnothing$としてよい．そこで$(a,b) \in A \times U(A)$を取り，写像$f \colon [a,b] \to \mathbb{K}$を
$$ f(x) := \begin{cases} -1 &, x \in [a,b] \smallsetminus U(A)\\ 1 &, x \in [a,b] \cap U(A) \end{cases}$$
で定める．このとき
$$ f(a) = -1 < 0 < 1 = f(b)$$
であるから，$f$の不連続点$\alpha \in [a,b]$が存在する．以下，$\alpha = \sup A$となることを示す．

1. $\alpha \notin U(A)$とすると，$a' \in A$であって$\alpha < a'$なるものが存在する．このとき，任意の$\varepsilon > 0$に対して，$\delta := a'- \alpha >0$とおくと
   $$ \forall x \in [a,b],\ |x-\alpha|<\delta \implies |f(x)-f(\alpha)| = |(-1)-(-1)| = 0 < \varepsilon$$
   が成り立つが，これは$\alpha \in [a,b]$の取り方に反する．よって$\alpha \in U(A)$が成り立つ．
2. $\exists b' \in U(A),\,b' < \alpha,\,$とすると，任意の$\varepsilon > 0$に対して
   $$ \forall x \in [a,b],\ |x-\alpha| < \alpha-b' \implies |f(x)-f(\alpha)| = |1-1| = 0 < \varepsilon$$
   が成り立つが，これは$\alpha \in [a,b]$の取り方に反する．

以上より
$$ \alpha = \min U(A) = \sup A$$
が成り立つ．

写像$f \colon [1,2] \to \mathbb{R};\,x \mapsto xx$を考える．$a \in [1,2]$とし，$\varepsilon >0$とする．$\varepsilon <2$としてよい．そこで
$$ \delta:= \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)} >0$$
とおくと，任意の$x\in[1,2]$について，$|x-a|<\delta$のとき
$$ |x| \leq |x-a|+|a|<\delta+|a|<\frac{\varepsilon}{2}+|a|=\frac{2|a|+\varepsilon}{2}$$
より，
\begin{align} |xx-aa| &= |(x-a)(x+a)|\\ &=|x-a|\cdot|x+a|\\ &\leq |x-a|\cdot(|x|+|a|)\\ &= |x-a|\cdot|x|+|x-a|\cdot|a|\\ &< \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}\cdot\frac{2|a|+\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}\cdot|a|\\ &= \frac{\varepsilon}{2}\cdot\frac{2|a|+\varepsilon}{2|a|+2}+\frac{\varepsilon}{2}\cdot\frac{|a|}{|a|+1}\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{align}
が成り立つ．したがって$f$は連続である．（また，任意の$x,y \in [1,2],\,x< y,\,$に対して，$0 < x< y$より
$$ f(x) = xx < xy < yy = f(y)$$
が成り立つので，$f$は単調増加である．）

いま
$$ f(1) = 1\cdot 1 = 1 < 2< 2^{2}= 2\cdot 2 =f(2)$$
が成り立つので，$\alpha \in \;]1,2[$であって
$$ \alpha\alpha =2$$
を満たすものが（ただ一つ）存在する．

あとは$\alpha \notin \mathbb{Q}$を示せばよい．そこで$\alpha \in \mathbb{Q}$と仮定する．このとき
$$ n:= \min\{m \in \mathbb{N}_{+} \mid \exists z \in \mathbb{Z},\ \alpha=zm^{-1}\} \in \mathbb{N}_{+}$$
が定まる．いま$1<\alpha= \prescript{\exists}{}zn^{-1}<2$より$0< z-n< n$となるので，$z-n \in \mathbb{N}_{+}$であり，$2n-z \in \mathbb{Z}$に対して
$$ (z-n)\alpha=z\alpha - n\alpha= n\alpha\alpha- z=2n-z$$
が成り立つ．ところがこれは$n$の最小性に反する．

(i)$\implies$(ii)

$a,b \in \mathbb{K},\,a< b,\,$とし$f \colon [a,b] \to \mathbb{K}$を連続写像とする．まづ$f([a,b]) \subset \mathbb{K}$が有界であることを示す．そこで
$$ A:= \{x \in [a,b] \mid f([a,x]) \subset \mathbb{K}:\text{bounded}\}$$
とおくと，$(a,b) \in A \times U(A)$より
$$ \alpha := \sup A \in [a,b]$$
が定まる．

1. $f$の$a \in [a,b]$における連続性より，$\delta > 0$であって
   $$ \forall x \in [a,b],\ |x-a| < \delta \implies |f(x)-f(a)| < 1$$
   を満たすものが存在する．このとき
   $$ a' := a + \frac{\min\{\delta,b-a\}}{2} \in [a,b]$$
   とおくと，$a < a' \leq a +\frac{\delta}{2}$より
   $$ \forall x \in [a,a'],\ |f(x)| \leq |f(x)-f(a)| + |f(a)| < 1 + |f(a)|$$
   が成り立つので，$a' \in A$，とくに$a < \alpha$が成り立つ．
2. $x \in [a,\alpha[$とする．このとき$a' \in A$であって$x < a'$なるものが存在するので
   $$ f([a,x]) \subset f([a,a']) \subset \mathbb{K}:\text{bounded}$$
   より，$x \in A$を得る．よって$[a,\alpha[\,\subset A \subset [a,b]$が成り立つ．
3. $\alpha < b$と仮定する．いま$f$の$\alpha \in [a,b]$における連続性より，$\delta >0$であって
   $$ \forall x \in [a,b],\ |x-\alpha| < \delta \implies |f(x)-f(\alpha)| < 1$$
   を満たすものが存在する．このとき
   $$ c := \alpha - \frac{\min\{\delta,\alpha-a\}}{2} \in [a,b]$$
   とおくと，$c < \alpha$より$a' \in A$であって$c < a'$なるものが存在する．また
   $$ c' := \alpha + \frac{\min\{\delta,b-\alpha\}}{2} \in [a,b]$$
   とおくと，$\alpha-\frac{\delta}{2} \leq c < \alpha < c' \leq \alpha +\frac{\delta}{2}$より
   $$ \forall x \in [c,c'],\ |f(x)| \leq |f(x)-f(\alpha)| + |f(\alpha)| < 1 +|f(\alpha)|$$
   が成り立つ．したがって
   $$ f([a,c']) = f([a,a']) \cup f([c,c']) \subset \mathbb{K}:\text{bounded}$$
   より$c' \in A$を得る．ところがこのとき$c' \leq \alpha < c'$となり不合理である．よって$\alpha=b$が成り立つ．
4. $f$の$b \in [a,b]$における連続性より，$\delta > 0$であって
   $$ \forall x \in [a,b],\ |x-b| < \delta \implies |f(x)-f(b)| < 1$$
   を満たすものが存在する．このとき
   $$ b' := b - \frac{\min\{\delta,b-a\}}{2} \in [a,b]$$
   とおくと，$b-\frac{\delta}{2} \leq b' < b$より，$b' \in A$および
   $$ \forall x \in [b',b],\ |f(x)| \leq |f(x)-f(b)| + |f(b)| < 1 + |f(b)|$$
   が成り立つ．よって
   $$ f([a,b]) = f([a,b']) \cup f([b',b]) \subset \mathbb{K}:\text{bounded}$$
   を得る．

以上より$A = [a,b]$であるから，（上に）有界な非空部分集合$f([a,b]) \subset \mathbb{K}$に対して
$$ \gamma := \sup f([a,b]) \in \mathbb{K}$$
が定まる．もし$\gamma \notin f([a,b])$とすると，
$$ \forall x \in [a,b],\ f(x) < \gamma$$
より
$$ f' \colon [a,b] \to \mathbb{K};\ x \mapsto \frac{1}{\gamma-f(x)}$$
は連続写像であるから（後述），上述のことより，$M > 0$であって
$$ \forall x \in [a,b],\ f'(x) < M,$$
したがって
$$ \forall x \in [a,b],\ f(x) < \gamma - \frac{1}{M}$$
を満たすものが存在するが，これは$\gamma \in \mathbb{K}$が$f([a,b]) \subset \mathbb{K}$の最小上界であることに反する．

同様にして$\inf f([a,b]) \in f([a,b])$もわかる．

(ii)$\implies$(i)

$A \subset \mathbb{K}$を上に有界な非空部分集合とする．$A \cap U(A) = \varnothing$としてよい．そこで$(a,b) \in A \times U(A)$を取り，写像$f \colon [a,b] \to \mathbb{K}$を
$$ f(x) := \begin{cases} x &, x \in [a,b] \smallsetminus U(A)\\ a-1 &, x \in [a,b] \cap U(A) \end{cases}$$
で定める．このとき$f$は最大値を持たない．実際，

• 任意の$x \in [a,b] \smallsetminus U(A)$に対して，$a' \in A$であって$x < a' < b$なるものが存在するので，$f(x) =x < a' = f(a')$が成り立つ．
• 任意の$x \in [a,b] \cap U(A)$に対して$f(x) = a-1 < a =f(a)$が成り立つ．

したがって$f$の不連続点$\alpha \in [a,b]$が存在する．以下，$\alpha = \sup A$となることを示す．

1. $\alpha \notin U(A)$とすると，$a' \in A$であって$\alpha < a'$なるものが存在する．このとき，任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta := \min\{a'-\alpha,\varepsilon\} >0$とおくと
   $$ \forall x \in [a,b],\ |x-\alpha|<\delta \implies |f(x)-f(\alpha)| = |x-\alpha| < \varepsilon$$
   が成り立つが，これは$\alpha \in [a,b]$の取り方に反する．よって$\alpha \in U(A)$が成り立つ．
2. $\exists b' \in U(A),\,b' < \alpha,\,$とすると，任意の$\varepsilon > 0$に対して
   $$ \forall x \in [a,b],\ |x-\alpha| < \alpha-b' \implies |f(x)-f(\alpha)| = |(a-1)-(a-1)| = 0 < \varepsilon$$
   が成り立つが，これは$\alpha \in [a,b]$の取り方に反する．

以上より
$$ \alpha = \min U(A) = \sup A$$
が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

区間$I \subset \mathbb{K}$が連結でないとすると，交わらない非空開集合$V,W \subset I$であって
$$ I = V \cup W$$
なるものが存在する．$(a,b) \in V \times W$を取る．$a < b$としてよい．このとき
$$ A:= V \cap [a,b] \subset \mathbb{K}$$
を考えると，$(a,b) \in A \times U(A)$より
$$ c := \sup A \in [a,b] \subset I = V \cup W$$
が定まる．

1. $c \in V$とすると，$c < b$であるから，$V \subset I$が開集合であることと合わせて，$\varepsilon > 0$であって
   $$ [c,c+\varepsilon[\; \subset V \cap [a,b] = A$$
   を満たすものが存在することがわかる．このとき，$c+\frac{\varepsilon}{2} \in A$を得るが，これは$c \in \mathbb{K}$が$A \subset \mathbb{K}$の上界であることに反する．
2. $c \in W$とすると，$a< c$であるから，$W \subset I$が開集合であることと合わせて，$\varepsilon >0$であって
   $$ ]c-\varepsilon,c] \subset W \cap [a,b] = (I \smallsetminus V) \cap [a,b] = [a,b] \smallsetminus A$$
   を満たすものが存在することがわかる．このとき，$c-\frac{\varepsilon}{2} \in U(A)$を得るが，これは$c \in \mathbb{K}$が$U(A) \subset \mathbb{K}$の最小値であることに反する．

よって$I$は連結である．

(ii)$\implies$(i)

仮定よりとくに$\mathbb{K}$は連結であることに注意する．このときDが成り立つことを示せばよい．

そこで$A,B \in \mathcal{P}^{*}(\mathbb{K})$とし
$$ \mathbb{K}=A \cup B;\ \forall (a,b) \in A \times B,\ a < b$$
が成り立つとする．もし$D$が成り立たないとすると，
$$ \forall c \in \mathbb{K},\ \exists (a',b') \in A \times B,\ c < a' \lor b' < c$$
が成り立つ．したがってとくに

1. 任意の$a \in A$に対して，$a' \in A$であって$a< a'$を満たすものが存在するので，$\varepsilon := a'-a >0$とおくと
   $$ ]a-\varepsilon,a+\varepsilon[\; \subset A$$
   が成り立つ．よって$A \subset \mathbb{K}$は開集合である．
2. 任意の$b \in B$に対して，$b' \in B$であって$b'< b$を満たすものが存在するので，$\varepsilon := b-b' > 0$とおくと
   $$ ]b-\varepsilon,b+\varepsilon[\; \subset B$$
   が成り立つ．よって$B \subset \mathbb{K}$は開集合である．

ところがこれは$\mathbb{K}$が連結であることに反する．

(i)$\implies$(ii)

定理よりしたがう．

(ii)$\implies$(iii)

$x,y \in I,\,x\leq y,\,$であって$[x,y] \not\subset I$なるものが存在したとし，$z \in [x,y] \smallsetminus I$を取る．このとき
$$ V:= \mathbb{R}_{< z} \cap I,\ W:= \mathbb{R}_{>z} \cap I$$
とおくと，$V,W \subset I$は交わらない非空開集合であって$I = V \cup W$が成り立つ．ところがこれは$I$が連結であることに反する．

(iii)$\implies$(i)

$a \in I$を取る．$I \neq \{a\} = [a,a]$としてよい．　

1. $I$が上にも下にも有界でないとき：$x \in \mathbb{R}$とする．
   1. $x \geq a$のとき，$a' \in I$であって$a \leq x < a'$なるものが存在するので，$x \in [a,a'] \subset I$が成り立つ．
   2. $x \leq a$のとき，$a'' \in I$であって$a'' < x \leq a$なるものが存在するので，$x \in [a'',a] \subset I$が成り立つ．
   3. したがって$I = \mathbb{R}$が成り立つ．
2. $I$が上に有界だが下に有界でないとき：$\alpha_{+} := \sup I \in \mathbb{R}$とおき，$x \in \mathbb{R}_{<\alpha_{+}}$とする．
   1. $x \geq a$のとき，$a' \in I$であって$a \leq x < a'$なるものが存在するので，$x \in [a,a'] \subset I$が成り立つ．
   2. $x \leq a$のとき，$a'' \in I$であって$a'' < x \leq a$なるものが存在するので，$x \in [a'',a] \subset I$が成り立つ．
   3. したがって$\mathbb{R}_{<\alpha_{+}} \subset I \subset \mathbb{R}_{\leq \alpha_{+}}$が成り立つ．
3. $I$が上に有界でなく下に有界であるとき：$\alpha_{-}:= \inf I \in \mathbb{R}$とおき，$x \in \mathbb{R}_{> \alpha_{-}}$とする．
   1. $x \geq a$のとき，$a' \in I$であって$a \leq x < a'$なるものが存在するので，$x \in [a,a'] \subset I$が成り立つ．
   2. $x \leq a$のとき，$a'' \in I$であって$a'' < x \leq a$なるものが存在するので，$x \in [a'',a] \subset I$が成り立つ．
   3. したがって$\mathbb{R}_{>\alpha_{-}} \subset I \subset \mathbb{R}_{\geq \alpha_{-}}$が成り立つ．
4. $I$が上にも下にも有界であるとき：$\alpha_{+} := \sup I \in \mathbb{R},\,\alpha_{-} := \inf I \in \mathbb{R}$とおき，$x \in \;]\alpha_{-},\alpha_{+}[$とする．
   1. $x \geq a$のとき，$a' \in I$であって$a \leq x < a'$なるものが存在するので，$x \in [a,a'] \subset I$が成り立つ．
   2. $x \leq a$のとき，$a'' \in I$であって$a'' < x \leq a$なるものが存在するので，$x \in [a'',a] \subset I$が成り立つ．
   3. したがって$]\alpha_{-},\alpha_{+}[\;\subset I \subset [\alpha_{-},\alpha_{+}]$が成り立つ．

$\mathbb{K}$をLUBが成り立つ順序体とする．このとき，順序体の埋め込み$\psi_{\mathbb{K}} \colon \mathbb{Q} \to \mathbb{K}$が$\mathbb{R}$上の同型に持ち上がることを示す：
$$ \xymatrix{ {\mathbb{Q}} \ar[r]^{\subset} \ar[dr]_{\psi_{\mathbb{K}}} & {\mathbb{R}} \ar@{.>}[d]\\ & {\mathbb{K}.} }$$

各$x \in \mathbb{R}$に対して
$$ \mathbb{Q}_{< x} := \{q \in \mathbb{Q} \mid q < x\} \subset \mathbb{R}$$
を考えると，
$$ \lfloor x \rfloor -1 \in \mathbb{Q}_{< x},\ \lfloor x \rfloor +1 \in \mathbb{Q} \cap U(\mathbb{Q}_{< x})$$
および
$$ \forall q \in \mathbb{Q}_{< x},\ \psi_{\mathbb{K}}(q) < \psi_{\mathbb{K}}(\lfloor x \rfloor +1)$$
より，
$$ \psi_{\mathbb{K}}(\mathbb{Q}_{< x}) \subset \mathbb{K}$$
は上に有界な非空部分集合である．したがって写像$\Psi_{\mathbb{K}} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{K}$が
$$ \Psi_{\mathbb{K}}(x) := \sup \psi_{\mathbb{K}}(\mathbb{Q}_{< x})$$
により定まる．

$\Psi_{\mathbb{K}}$は順序$<$を保つ

$x,y \in \mathbb{R},\,x< y,\,$とする．このとき$\mathbb{Q}_{< x} \subset \mathbb{Q}_{< y}$より$\psi_{\mathbb{K}}(\mathbb{Q}_{< x}) \subset \psi_{\mathbb{K}}(\mathbb{Q}_{< y})$となるので
$$ \Psi_{\mathbb{K}}(x) \leq \Psi_{\mathbb{K}}(y)$$
が成り立つ．いま$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$は稠密なので，$q,q' \in \mathbb{Q}$であって
$$ x < q < q' < y$$
を満たすものが存在する．したがって
$$ \Psi_{\mathbb{K}}(x) = \sup \psi_{\mathbb{K}}(\mathbb{Q}_{< x}) \leq \psi_{\mathbb{K}}(q) < \psi_{\mathbb{K}}(q') \leq \Psi_{\mathbb{K}}(y)$$
が成り立つ．

$\Psi_{\mathbb{K}}|\mathbb{Q} = \psi_{\mathbb{K}}$が成り立つ

$q \in \mathbb{Q}$とする．このとき
$$ \forall q' \in \mathbb{Q}_{< q},\ \psi_{\mathbb{K}}(q') < \psi_{\mathbb{K}}(q)$$
より$\Psi_{\mathbb{K}}(q) \leq \psi_{\mathbb{K}}(q)$が成り立つ．ここで，$\Psi_{\mathbb{K}}(q) < \psi_{\mathbb{K}}(q)$とすると，$\psi_{\mathbb{K}}(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{K}$の稠密性より$q' \in \mathbb{Q}$であって
$$ \Psi_{\mathbb{K}}(q) < \psi_{\mathbb{K}}(q') < \psi_{\mathbb{K}}(q)$$
なるものが存在するが，このとき$q' \in \mathbb{Q}_{< q}$より
$$ \psi_{\mathbb{K}}(q') \leq \Psi_{\mathbb{K}}(q) < \psi_{\mathbb{K}}(q')$$
となり不合理である．

前段と合わせて
$$ 0< x \implies 0_{\mathbb{K}} < \Psi_{\mathbb{K}}(x)$$
が成り立つことに注意する．

$\Psi_{\mathbb{K}}$は和を保つ

$x,y \in \mathbb{R}$とする．任意の$(q,q') \in \mathbb{Q}_{< x} \times \mathbb{Q}_{< y}$に対して，$q+q' \in \mathbb{Q}_{< x+y}$より
$$ \psi_{\mathbb{K}}(q) + \psi_{\mathbb{K}}(q') = \psi_{\mathbb{K}}(q+q') \leq \Psi_{\mathbb{K}}(x+y)$$
が成り立つので，
$$ \Psi_{\mathbb{K}}(x) + \Psi_{\mathbb{K}}(y) \leq \Psi_{\mathbb{K}}(x+y)$$
が成り立つ．等号が成り立たないとすると，$\psi_{\mathbb{K}}(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{K}$の稠密性より$q \in \mathbb{Q}$であって
$$ \Psi_{\mathbb{K}}(x) + \Psi_{\mathbb{K}}(y) < \psi_{\mathbb{K}}(q) < \Psi_{\mathbb{K}}(x+y)$$
を満たすものが存在するが，この$q \in \mathbb{Q}_{< x+y}$に対して$q' \in \mathbb{Q}$であって$q-x < q' < y$を満たすものが存在する．ところがこのとき，$(q-q',q') \in \mathbb{Q}_{< x} \times \mathbb{Q}_{< y}$より
$$ \psi_{\mathbb{K}}(q) = \psi_{\mathbb{K}}((q-q')+q') = \psi_{\mathbb{K}}(q-q') + \psi_{\mathbb{K}}(q') \leq \Psi_{\mathbb{K}}(x) + \Psi_{\mathbb{K}}(y) < \psi_{\mathbb{K}}(q)$$
となり不合理である．

$\Psi_{\mathbb{K}}$は積を保つ

$x,y \in \mathbb{R}$とする．$xy = 0$のときは
$$ \Psi_{\mathbb{K}}(xy) = 0_{\mathbb{K}} = \Psi_{\mathbb{K}}(x)\Psi_{\mathbb{K}}(y)$$
が成り立つので，以下，$xy \neq 0$とする．また，前段より
$$ \forall r \in \mathbb{R},\ \Psi_{\mathbb{K}}(-r) = -\Psi_{\mathbb{K}}(r)$$
が成り立つので，$x,y > 0$としてよい．このとき$\Psi_{\mathbb{K}}(x),\Psi_{\mathbb{K}}(y),\Psi_{\mathbb{K}}(xy) > 0_{\mathbb{K}}$に注意する．

$q \in \mathbb{Q}_{< xy}$とする．

• $q \leq 0$のときは明らかに
  $$ \psi_{\mathbb{K}}(q) \leq \psi_{\mathbb{K}}(0) = 0_{\mathbb{K}} < \Psi_{\mathbb{K}}(x)\Psi_{\mathbb{K}}(y)$$
  が成り立つ．
• $q > 0$のときは，$q' \in \mathbb{Q}$であって$0< q/x < q' < y$を満たすものが存在するので，$(q/q',q') \in \mathbb{Q}_{< x} \times \mathbb{Q}_{< y}$より
  $$ \psi_{\mathbb{K}}(q) = \psi_{\mathbb{K}}(q/q')\psi_{\mathbb{K}}(q') \leq \Psi_{\mathbb{K}}(x)\psi_{\mathbb{K}}(q') \leq \Psi_{\mathbb{K}}(x)\Psi_{\mathbb{K}}(y)$$
  が成り立つ．

したがって
$$ \Psi_{\mathbb{K}}(xy) \leq \Psi_{\mathbb{K}}(x)\Psi_{\mathbb{K}}(y)$$
が成り立つ．等号が成り立たないとすると，$q \in \mathbb{Q}$であって
$$ \Psi_{\mathbb{K}}(xy) < \psi_{\mathbb{K}}(q) < \Psi_{\mathbb{K}}(x)\Psi_{\mathbb{K}}(y)$$
を満たすものが存在する．このとき$\psi_{\mathbb{K}}(q)/\Psi_{\mathbb{K}}(x) < \sup \psi_{\mathbb{K}}(\mathbb{Q}_{< y})$より$q' \in \mathbb{Q}_{< y}$であって
$$ 0_{\mathbb{K}} < \frac{\psi_{\mathbb{K}}(q)}{\Psi_{\mathbb{K}}(x)} < \psi_{\mathbb{K}}(q')$$
を満たすものが存在する．さらに
$$ \psi_{\mathbb{K}}(q/q') = \frac{\psi_{\mathbb{K}}(q)}{\psi_{\mathbb{K}}(q')} < \Psi_{\mathbb{K}}(x) = \sup \psi_{\mathbb{K}}(\mathbb{Q}_{< x})$$
より$q/q' \in \mathbb{Q}_{< x}$である．ところがこのとき，$q',x > 0$より
$$ q = \frac{q}{q'}q' < xq' < xy,$$
したがって
$$ \psi_{\mathbb{K}}(q) \leq \Psi_{\mathbb{K}}(xy) < \psi_{\mathbb{K}}(q)$$
となり不合理である．

$\Psi_{\mathbb{K}}$は全射である

$x_{\mathbb{K}} \in \mathbb{K}$とする．いま$q,q' \in \mathbb{Q}$であって
$$ \psi_{\mathbb{K}}(q) = \lfloor x_{\mathbb{K}} \rfloor -1_{\mathbb{K}} < x_{\mathbb{K}} < \lfloor x_{\mathbb{K}} \rfloor +1_{\mathbb{K}} = \psi_{\mathbb{K}}(q')$$
を満たすものが存在するので，上に有界な非空部分集合
$$ \{q \in \mathbb{Q} \mid \psi_{\mathbb{K}}(q) < x_{\mathbb{K}}\} \subset \mathbb{R}$$
の最小上界が定まる．それを$x \in \mathbb{R}$とおき，以下$\Psi_{\mathbb{K}}(x) = x_{\mathbb{K}}$が成り立つことを示す．

任意の$q \in \mathbb{Q}_{< x}$に対して，$q' \in \mathbb{Q}$であって
$$ q < q',\ \psi_{\mathbb{K}}(q') < x_{\mathbb{K}}$$
を満たすものが存在するので，
$$ \psi_{\mathbb{K}}(q) < x_{\mathbb{K}}$$
が成り立つ．したがって
$$ \Psi_{\mathbb{K}}(x) = \sup \psi_{\mathbb{K}}(\mathbb{Q}_{< x}) \leq x_{\mathbb{K}}$$
が成り立つ．ここで等号が成り立たないとすると，$\psi_{\mathbb{K}}(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{K}$の稠密性より$q \in \mathbb{Q}$であって
$$ \Psi_{\mathbb{K}}(x) < \psi_{\mathbb{K}}(q) < x_{\mathbb{K}}$$
を満たすものが存在するが，$x \in \mathbb{R}$の定義より$q \leq x$，したがって
$$ \psi_{\mathbb{K}}(q) = \Psi_{\mathbb{K}}(q) \leq \Psi_{\mathbb{K}}(x) < \psi_{\mathbb{K}}(q)$$
が成り立つことになり不合理である．

$f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を体の自己同型とする．いま（$\varphi_{\mathbb{R}} = \id_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{R}}$より）$\Psi_{\mathbb{R}} = \id_{\mathbb{R}}$であるから，$f$が順序$<$を保つことを示せばよい．

そこで$x,y\in\mathbb{R},\,x< y,\,$とする．このとき
$$ 0\cdot0=0 < y-x < (\max\{y-x,1\}+1)\cdot(\max\{y-x,1\}+1)$$
より，$z \in \mathbb{R}_{>0}$であって$zz=y-x$なるものが存在する（ことが“無理数”の存在を証明したときと同様にしてわかる）．したがって
$$ f(y)-f(x) = f(y-x) =f(zz) = f(z)f(z) > 0,$$
すなわち$f(x) < f(y)$が成り立つ．