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大学数学基礎解説
文献あり

実数の連続性についての覚書

実数の連続性
156
0

順序体

順序体

Kを体とする．Kとその部分集合P⊂Kであって

  1. K=(−P)⊔{0}⊔P;
  2. ∀x,y∈P, x+y∈P, xy∈P

を満たすものとの組(K,P)（または単にK）を順序体という．順序体(K,P)について，Pの元を正元，正数などという．

(K,P)を順序体とする．このときK上の関係≤を
x≤y:⟺y−x∈{0}∪P
で定めると，これは全順序である．

  • x−x=0∈{0}∪Pよりx≤xが成り立つ．
  • x≤y≤xとする．このとき±(y−x)∈{0}∪PとP∩(−P)=∅よりx=yを得る．
  • x≤y≤zとする．このときy−x,z−y∈{0}∪Pよりz−x=(z−y)+(y−x)∈{0}∪Pを得る．
  • x,y∈Kとする．y−x∈{0}∪Pのときはx≤yであり，y−x∈−Pのときはx−y=−(y−x)∈{0}∪Pよりy≤xが成り立つ．

例によって
x<y:⟺(x≤y)∧(x≠y)
と定めると，P={x∈K∣0<x}と書ける．

(K,P)を順序体とする．このとき次が成り立つ：

  1. x≤y⟹x+z≤y+z;
  2. x≤y, 0≤z⟹xz≤yz;
  3. x≤y, z≤0⟹xz≥yz;
  4. 0≤xx;
  5. −1<0<1;
  6. 0<x⟹0<x−1;
  7. 0<x<y⟹0<y−1<x−1.
  1. (y+z)−(x+z)=y−x∈{0}∪Pよりしたがう．
  2. y−x∈{0}∪P,z=z−0∈{0}∪Pよりyz−xz=(y−x)z∈{0}∪Pが成り立つ．
  3. y−x∈{0}∪P,−z=0−z∈{0}∪Pよりxz−yz=(y−x)(−z)∈{0}∪Pが成り立つ．
  4. xx=(−x)(−x)より0≤xとしてよい．このとき(ii)より
    0=0x≤xx
    を得る．
  5. 1≠0と(iv)より，1=1⋅1∈Pが成り立つ．
  6. x−1<0とすると(ii)より1=x−1x≤0x=0を得るが，これは(v)に反する．よって0<x−1である．
  7. y−x,xy∈Pであるから，(vi)よりx−1−y−1=(y−x)(xy)−1∈Pが成り立つので結論を得る．

体K上の全順序≤が上の条件(i),(ii)を満たすとする．このとき
P:={x∈K∣0<x}
とおくと，(K,P)は順序体である．実際，明らかにK=(−P)⊔{0}⊔Pであり，任意のx,y∈Pに対して，
0<y=0+y<x+y
よりx+y∈Pが成り立ち
0=0y<xy
よりxy∈Pが成り立つ．

順序体上の“距離”

順序体Kの各元x∈Kに対して，|x|∈Kを
|x|:={x,x>00,x=0−x,x<0
で定める．

Kを順序体とする．このとき次が成り立つ：

  1. |x|=max{x,−x}≥0;
  2. |x|=|−x|;
  3. |x+y|≤|x|+|y|;
  4. |xy|=|x|⋅|y|.
  1. 定義より明らか．
  2. (i)より明らか．
  3. −|x|≤x≤|x|および−|y|≤y≤|y|より
    −(|x|+|y|)≤x+y≤|x|+|y|
    が成り立つので，
    |x+y|=max{x+y,−(x+y)}≤|x|+|y|
    が成り立つ．
  4. x,y≠0としてよい．
    1. 0<x,yのとき，|xy|=xy=|x|⋅|y|が成り立つ．
    2. x<0<yのとき，|xy|=−(xy)=(−x)y=|x|⋅|y|が成り立つ．
    3. x,y<0のとき，|xy|=xy=(−x)(−y)=|x|⋅|y|が成り立つ．

Kを順序体とする．このとき写像d:K×K→Kを
d(x,y):=|x−y|
で定めると，これはK上の“距離函数”である．

  1. d(x,y)=0⟺|x−y|=0⟺x−y=0⟺x=y;
  2. d(x,y)=|x−y|=|−(x−y)|=|y−x|=d(y,x);
  3. d(x,z)=|x−z|=|(x−y)+(y−z)|≤|x−y|+|y−z|=d(x,y)+d(y,z).

R⇝N⇝Z⇝Q

stromberg を参考にした．

実数体

順序体Kに関する次の主張を考える：

D (Dedekind)

任意の非空部分集合A,B∈P∗(K):=P(K)∖{∅}であって
K=A∪B; ∀(a,b)∈A×B, a<b
を満たすものに対して，c∈Kであって
∀(a,b)∈A×B, a≤c≤b
を満たすものがただ一つ存在する．

T (Tarski)

任意の非空部分集合A,B∈P∗(K)であって
∀(a,b)∈A×B, a≤b
を満たすものに対して，c∈Kであって
∀(a,b)∈A×B, a≤c≤b
を満たすものが存在する．

Kを順序体とする．このとき次は同値である：

  1. KにおいてDが成り立つ；
  2. KにおいてTが成り立つ．

(i)⟹(ii)

(a0,b0)∈A×Bであってa0=b0なるものが存在するとき，c:=a0=b0∈Kとおくと
∀(a,b)∈A×B, a≤b0=c=a0≤b
が成り立つ．

そこで，以下
∀(a,b)∈A×B, a<b
が成り立つとする．このとき，部分集合A′,B′⊂Kを
A′:={x∈K∣∃a∈A, x≤a},B′:={x∈K∣∀a∈A, a<x}
で定めると，A⊂A′,B⊂B′よりA′,B′≠∅であり，
K=A′∪B′; ∀(a′,b′)∈A′×B′, a′<b′
が成り立つので，c∈Kであって
∀(a′,b′)∈A′×B′, a′≤c≤b′
を満たすものが（ただ一つ）存在する．このc∈Kに対して
∀(a,b)∈A×B, a≤c≤b
が成り立つ．

(ii)⟹(i)

A,B∈P∗(K)とし
K=A∪B; ∀(a,b)∈A×B, a<b
が成り立つとする．このとき仮定よりc∈Kであって
∀(a,b)∈A×B, a≤c≤b
を満たすものが存在する．

ここでc′∈Kも同様の条件を満たすとする．c≤c′としてよい．このとき，0<1+1および
(1+1)c=c+c≤c+c′≤c′+c′=(1+1)c′
より
c≤c+c′1+1≤c′
が成り立つ．

  • (c+c′)/(1+1)∈Aのとき，
    c≤c+c′1+1≤c
    よりc+c=c+c′，したがってc=c′を得る．
  • (c+c′)/(1+1)∈Bのとき，
    c+c′1+1≤c′≤c+c′1+1
    よりc+c′=c′+c′，したがってc=c′を得る．

Dが成り立つ順序体（の存在を認めることにしてそのうちのひとつ）を実数体といいRで表わす．

自然数

実数体の部分集合I⊂Rについて，

  1. 0∈I;
  2. x∈I⟹x+1∈I

が成り立つとき，Iを帰納的部分集合という．

R,{0}∪Pは帰納的部分集合である．

実数体の部分集合
N:=⋂{I⊂R∣inductive}
の元を自然数という．

  • N⊂Rは最小の帰納的部分集合である．とくに0,1∈Nが成り立つ．
  • 2:=1+1∈Nとおく．
  • N⊂{0}∪PよりN∖{0}=N∩Pが成り立つ．
数学的帰納法の原理

部分集合I⊂Nが

  1. 0∈I;
  2. n∈I⟹n+1∈I

を満たすならば，I=Nが成り立つ．

n,m∈Nとする．このとき次は同値である：

  1. n<m;
  2. n+1≤m.

(i)⟹(ii)

N+:=N∖{0}とおく．

まづ
I:={0}∪{k∈N+∣k−1∈N}⊂N
を考える．

  1. 定義より0∈Iが成り立つ．
  2. k∈Iとすると，k+1∈N+および(k+1)−1=k∈Nよりk+1∈Iが成り立つ．

したがって数学的帰納法の原理よりI=Nを得る．

つぎに，x∈Pとし
Ix:={k∈N∣x+k∈N⟹x∈N}⊂N
を考える．

  1. 明らかに0∈Ixが成り立つ．
  2. k∈Ixとし，x+(k+1)∈Nとする．このとき(x+k)+1∈I∖{0}よりx+k∈Nであるから，x∈Nを得る．よってk+1∈Ixが成り立つ．

したがって数学的帰納法の原理よりIx=Nを得る．

いまn<mよりm−n∈Pであり，n∈Im−nかつ(m−n)+n=m∈Nよりm−n∈Nが成り立つ．よってm−n∈I∖{0}となるので，
m−(n+1)=(m−n)−1∈N⊂{0}∪P
すなわちn+1≤mが成り立つ．

(ii)⟹(i)

n=n+0<n+1≤mが成り立つ．

自然数n∈Nと実数x∈Rについてn<x<n+1が成り立つならばx∉Nである．実際，x∈Nとすると，0<x−n∈Nより
N∋(x−n)−1=x−(n+1)<0
となり不合理である．

(N,+,0)は可換モノイドである．

任意のn,m∈Nに対してn+m∈Nが成り立つことを示せばよい．

n∈Nとし
In:={m∈N∣n+m∈N}⊂N
とおく．このときIn=Nが成り立つことを示せばよい．

  1. n+0=n∈Nより0∈Inが成り立つ．
  2. m∈Inとする．このとき
    n+(m+1)=(n+m)+1∈N
    よりm+1∈Inが成り立つ．

よって数学的帰納法の原理よりIn=Nを得る．

(N+,×,1)は可換モノイドである．

任意のn,m∈N+に対してnm∈N+が成り立つことを示せばよい．

m∈N+とし
Im:={0}∪{n∈N+∣nm∈N+}⊂N
とおく．

  1. 定義より0∈Imが成り立つ．
  2. n∈Imとすると，n+1∈N+であり
    (n+1)m=nm+m∈N∩P=N+
    よりn+1∈Imが成り立つ．

よって数学的帰納法の原理よりIm=Nを得るので
N+=Im∖{0}={n∈N+∣nm∈N+}
が成り立つ．

(N,≤)は整列集合である．

任意のA∈P∗(N)に対してその最小値minA∈Nが存在することを示せばよい．そこで
B:={n∈N∣∀a∈A, n≤a}⊂N
を考える．

  • 明らかに0∈Bが成り立つ．
  • ∃a0∈A≠∅よりa0+1∉Bが成り立つ．

したがって，数学的帰納法の原理より，m(A)∈Bであってm(A)+1∉Bなるものが存在する．このときm(A)∈Bより
∀a∈A, m(A)≤a
が成り立つので，あとはm(A)∈Aを示せばよい．そこでm(A)∉Aと仮定すると，
∀a∈A, m(A)<a
より
∀a∈A, m(A)+1≤a
が成り立つのでm(A)+1∈Bを得るが，これは不合理である．

再帰的定義

halmos を参考にした．

再帰的定義 I

Xを集合，f:X→Xを写像としx0∈Xとする．このとき写像recf,x0:N→Xであって
recf,x0(0)=x0,recf,x0(n+1)=f(recf,x0(n)),n∈N
を満たすものがただ一つ存在する．
N+1recf,x0Nrecf,x0XfX

一意性

f0,f1:N→Xが定理の主張を満たすとし，
I:={n∈N∣f0(n)=f1(n)}⊂N
を考える．

  1. f0(0)=x0=f1(0)より0∈Iが成り立つ．
  2. n∈Iとすると，
    f0(n+1)=f(f0(n))=f(f1(n))=f1(n+1)
    よりn+1∈Iが成り立つ．

よってI=Nが成り立つので，f0=f1を得る．

存在

F:={F⊂N×X∣(0,x0)∈F∧∀(n,x)∈N×X, (n,x)∈F⟹(n+1,f(x))∈F}
とおく．N×X∈F≠∅に注意する．そこで
recf,x0:=⋂F⊂N×X
とおく．まづrecf,x0が写像であることを示すために，
I:={n∈N∣∃!x∈X, (n,x)∈recf,x0}
を考える．以下r:=recf,x0とおく．

  1. 明らかに(0,x0)∈rが成り立つ．そこでx1∈X∖{x0}であって(0,x1)∈rなるものが存在したとする．このときF:=r∖{(0,x1)}とおくとr⊄Fであるが，
    1. x0≠x1より(0,x0)∈Fが成り立つ．
    2. (n,x)∈F⊂rとすると，n+1≠0より(n+1,f(x))≠(0,x0)であるから，(n+1,f(x))∈r∖{(0,x0)}=Fが成り立つ．
    3. したがってF∈Fとなるのでr⊂Fを得るが，これは不合理である．よって0∈Iが成り立つ．
  2. n∈Iとすると，xn∈Xであって(n,xn)∈rを満たすものがただ一つ存在し，(n+1,f(xn))∈rが成り立つ．そこでx′∈X∖{f(xn)}であって(n+1,x′)∈rなるものが存在したとする．このときF:=r∖{(n+1,x′)}とおくとr⊄Fであるが，
    1. n+1≠0より(0,x0)∈Fが成り立つ．
    2. (m,y)∈Fとすると，
      1. m=nのとき，y=xnよりf(y)≠x′であるから(m+1,f(y))∈Fが成り立つ．
      2. m≠nのとき，m+1≠n+1であるから(m+1,f(y))∈Fが成り立つ．
    3. したがってF∈Fとなるのでr⊂Fを得るが，これは不合理である．よってn+1∈Iが成り立つ．

以上よりI=Nを得るので，r⊂N×Xは写像である．

明らかにr(0)=x0が成り立つ．また，任意のn∈Nに対して，r(n)=r(n)より，r(n+1)=f(r(n))が成り立つ．

fとは，任意に与えられたXの元を用いてXの新しい元を定める手続きのことである．定理の適用に際して，以下では次の形を取ることがある：

  1. x0∈Xを定める．
  2. xn∈Xが定まったとして，それ（のみ）を用いてxn+1∈Xを定める．

これは，(1) で定めたx0∈Xと (2) で（xn∈Xをx∈Xと，xn+1∈Xをf(x)∈Xと，それぞれ読み替えて）定めた写像f:X→Xから得られる写像recf,x0:N→Xを用いてxn:=recf,x0(n)と定めた，ということの略記である．

別の順序体Kから同様にして“自然数”NKを得たとすると，上で述べてきたことと同様のことがNKについても成り立つ．とくにNとNKとは“同型”である．実際，写像
f:N→N; n↦n+1,fK:NK→NK; nK↦nK+K1K
と0∈N,0K∈NKを考えると，以下の図式が可換になる（ただしrK:=recfK,0K,r:=recf,0とおいた）：
NfrKidNNrKidNNKfKridNKNKridNKNKfKrNKrNfrKNrKNfNNKfKNK

自然数n∈Nに対して
N<n:={m∈N∣m<n}
とおく．N≤n,N>n,N≥nなども同様に定める．

再帰的定義 II

Xを集合としΦ:⋃nXN<n→Xを写像とする．このとき写像RecΦ:N→Xであって
∀n∈N, RecΦ(n)=Φ(RecΦ|N<n)
を満たすものがただ一つ存在する．

一意性

f0,f1:N→Xが定理の主張を満たすとし，
I:={n∈N∣f0|N≤n=f1|N≤n}⊂N
を考える．

  1. f0(0)=Φ(∅)=f1(0)より0∈Iが成り立つ．
  2. n∈Iとすると，f0,f1がN≤n=N<n+1上で一致することから
    f0(n+1)=Φ(f0|N<n+1)=Φ(f1|N<n+1)=f1(n+1)
    となるので，f0,f1はN≤n+1上でも一致する．したがってn+1∈Iを得る．

よってI=Nとなるので，f0=f1が成り立つ．

存在

F:={F⊂N×X|∀σ∈⋃n∈NXN<n, σ⊂(N<n×X)∩F⟹(n,Φ(σ))∈F}
とおく．ただしσ⊂(N<n×X)∩Fは
σ∈XN<n∧∀m∈N<n,(m,σ(m))∈F
の略記である．N×X∈F≠∅に注意する．そこで
RecΦ:=⋂F⊂N×X
とおき，
I:={n∈N∣∃!x∈X, (n,x)∈RecΦ}
を考える．以下R:=RecΦとおく．

  1. I=Nが示せたとすると，R⊂N×Xは写像であり，任意のn∈Nに対して，
    ∀m∈N<n, R(m)=(R|N<n)(m)
    よりR|N<n⊂(N<n×X)∩Rであるから，R(n)=Φ(R|N<n)が成り立つ．
  2. I=Nを示すためには，
    ∀n∈N, N<n⊂I⟹n∈I
    を示せばよい．なんとなれば，I≠Nとするとn:=min(N∖I)∈Nが定まるが，N<n⊂Iよりn∈Iがしたがい矛盾を生じるからである．

そこでn∈NとしN<n⊂Iと仮定する．このときn∈Iとなることを示す．

写像σ:N<n→Xを，各m∈N<nに対して
σ(m):=「(m,x)∈R となるただ一つの x∈X」
で定めると，R∈Fより(n,Φ(σ))∈Rが成り立つ．そこでy∈X∖{Φ(σ)}であって(n,y)∈Rなるものが存在したとする．このときF:=R∖{(n,y)}とおくとR⊄Fであるが，任意のσ′⊂(N<n′×X)∩Fに対して，

  1. n′=nのとき，σ′⊂(N<n×X)∩Rより
    ∀m∈N<n′, σ′(m)=σ(m)
    が成り立つので，(n′,Φ(σ′))=(n,Φ(σ))∈Fを得る．
  2. n′≠nのとき，σ′⊂(N<n′×X)∩Rより(n′,Φ(σ′))∈R∖{(n,y)}=Fが成り立つ．

したがってF∈FとなるのでR⊂Fを得るが，これは不合理である．よってn∈Iが成り立つ．

Xを集合としn∈Nとする．写像σ:N<n+1→Xを，Xの有限個の元，有限個の点などといい
σ(0),…,σ(n)∈X
で表わす．また，σの像を
{σ(0),…,σ(n)}
で表わす．

Φとは，任意に与えられたXの有限個の元を用いてXの新しい元を定める手続きのことである．定理の適用に際して，以下では次の形を取ることがある：

  1. x0∈Xを定める．
  2. x0,…,xn∈Xが定まったとして，それら（のみ）を用いてxn+1∈Xを定める．

これは，写像Φ:⋃nXN<n→Xを
Φ(σ):={x0,σ∈XN<0={∅}(2) の手続きによりσ(0),…,σ(n)∈Xから定まる元,σ∈XN<n+1,n∈N
と定め，これから得られる写像RecΦ:N→Xを用いてxn:=RecΦ(n)と定めた，ということの略記である．

有限集合

maclane-birkhoffを参考にした．

Xを集合とする．自然数n∈Nと全単射N<n→Xが存在するとき，Xを有限集合という．

n∈Nとする．このとき任意のm∈N>nに対して，全射N<n→N<mは存在しない．

I:={n∈N∣∀m∈N>n, ∄N<n→N<m:surj.}
を考える．

  1. N<0=∅である一方，任意のm∈N>0に対して0∈N<mが成り立つので，0∈Iを得る．
  2. n∈Iとし，あるm∈N>n+1に対して全射f:N<n+1→N<mが存在したと仮定する．写像t=tf(n),m−1:N<m→N<mを
    tf(n),m−1(ℓ):={ℓ,ℓ≠f(n),m−1m−1,ℓ=f(n)f(n),ℓ=m−1
    で定めると，t∘t=idより，tは全単射である．ところがこのとき，全射t∘f:N<n+1→N<mについて，t(f(n))=m−1より(t∘f)|N<n:N<n→N<m−1が全射となるが，いまm−1∈N>nであるから，これはn∈Iに反する．よってn+1∈Iが成り立つ．
    nff(n)m−1tf(n)m−1

以上よりI=Nが成り立つ．

有限集合Xに対して，全単射N<n→X,N<m→Xが存在したとする．このとき，全（単）射N<n→N<mが存在するのでn≥mであり，全（単）射N<m→N<nが存在するのでm≥nである．したがってn=mを得る．

有限集合Xに対して，単集合{n∈N∣∃N<n→X:bij.}の元を#Xで表わす．

n∈Nとしf:N<n→N<nを写像とする．このときfが単射ならば，fは全射である．

I:={n∈N∣∀f:N<n→N<n, f:inj.⟹f:surj.}
を考える．

  1. N<0=∅より0∈Iが成り立つ．
  2. n∈Iとし，f:N<n+1→N<n+1を単射とする．全単射t:=tf(n),n:N<n+1→N<n+1との合成t∘fを考えると，t(f(n))=nより単射(t∘f)|N<n:N<n→N<nが定まるが，n∈Iよりこれは全射なので，f=t−1∘(t∘f)は全射である．よってn+1∈Iが成り立つ．

以上よりI=Nを得る．

Xを有限集合としf:X→Xを写像とする．このとき次は同値である：

  1. fは単射である；
  2. fは全射である．

全単射との合成N<n→∃eX→fX→e−1N<nを考えることでX=N<nとしてよい．

(ii)⟹(i)を示せばよい．そこでfが全射であるとする．n>0としてよい．このとき写像s:N<n→N<nを
s(m):=min{ℓ∈N<n∣f(ℓ)=m}
で定めると，f∘s=idより，これは単射である．補題よりsは全単射なので，f=s−1は（全）単射である．

Nは有限集合ではない．実際，写像f:N→Nを
f(n)=n+1
で定めると，fは明らかに単射であるが，
∀n∈N, 0<n+1=f(n)
より全射ではない．

Xを集合としA⊂Xとする．このとき次は同値である：

  1. Aは有限集合である；
  2. 自然数n∈Nと全射N<n→Aが存在する．

(i)⟹(ii)

明らか．

(ii)⟹(i)

I:={n∈N∣∀A⊂X, ∃N<n→A:surj.⟹A:fin.}
を考える．

  1. N<0=∅より0∈Iが成り立つ．
  2. n∈Iとし，f:N<n+1→Aを全射とする．A≠{f(n)}としてよい．このときf|N<n:N<n→A∖{f(n)}は全射なので，自然数n′∈Nと全単射f′:N<n′→A∖{f(n)}が存在する．そこで写像e:N<n′+1→Aを
    e(m):={f′(m),m<n′f(n),m=n′
    で定めると，これは全単射である．したがってn+1∈Iが成り立つ．

よってI=Nが成り立つ．

Xを集合としA⊂Xとする．このときXが有限集合ならば，Aも有限集合であり#A≤#Xが成り立つ．

A≠∅としてよい．そこでa0∈Aを取る．全単射e:N<n→Xに対して，写像f:N<n→Aを
f(m):={e(m),m∈e−1(A)a0,m∉e−1(A)
で定めると，これは全射であるから，補題よりAは有限集合である．そこでn′:=#Aとおくと，全射N<n→fA≅N<n′が存在するので，n≥n′が成り立つ．

鳩の巣原理

M,Nを非空有限集合としf:M→Nを写像とする．このときm:=#M>#N=:nならば，fは単射ではない．

fが単射であるとすると，M→ff(M)は全単射なのでm=#f(M)が成り立つが，このときf(M)⊂Nよりm≤nとなり不合理である．

Xを全順序集合とする．このとき任意の非空有限部分集合A⊂Xに対して，その最大元maxA∈Aが存在する．

I:={0}∪{n∈N+∣∀A∈P∗(X), #A=n⟹∃maxA∈A}
を考える．

  1. 定義より0∈Iが成り立つ．
  2. n∈Iとし，e:N<n+1→Aを全単射とする．
    • n=0のとき，n+1=1∈N+であり，A={e(0)}よりmaxA=e(0)が成り立つので，n+1∈Iを得る．
    • n>0のとき，A′:=A∖{e(n)}≠∅とおくとe|N<n:N<n→A′は全単射なのでmaxA′が存在する．このとき明らかにmaxA=max{maxA′,e(n)}が成り立つので，n+1∈Iを得る．

よってI=Nが成り立つ．

整数環

実数体の部分集合
Z:=(−N)∪N⊂R
の元を整数という．

z∈Rとする．このとき次は同値である：

  1. z∈Z;
  2. ∃x,y∈N, z=x−y.

(i)⟹(ii)

  • z∈Nのときはx=z,y=0とおけばよい．
  • z∈−Nのときはx=0,y=−zとおけばよい．

(ii)⟹(i)

  • x−y=0のとき，z=0∈N⊂Zが成り立つ．
  • x−y>0のとき，y∈N,(x−y)+y=x∈Nより，z=x−y∈N⊂Zが成り立つ．
  • x−y<0のとき，−z=y−x∈Nよりz∈−N⊂Zが成り立つ．

Z⊂Rは部分環である．

1∈N⊂Zであるから，あとは任意のz,w∈Zに対してz−w,zw∈Zが成り立つことを示せばよい．

補題よりx,y,u,v∈Nを用いて
z=x−y, w=u−v
と表わせる．

  • x+v,y+u∈Nより
    z−w=(x−y)−(u−v)=(x+v)−(y+u)∈Z
    が成り立つ．
  • xu,xv,yu,yv∈Nより
    zw=(x−y)(u−v)=(xu+yv)−(xv+yu)∈Z
    が成り立つ．

有理数体

実数体の部分集合
Q:={q∈R∣∃(x,y)∈Z×N+, q=xy−1}⊂R
の元を有理数という．

Q⊂Rは部分順序体である．

  1. (1,1)∈Z×N+であるから1=1⋅1−1∈Qが成り立つ．
  2. q=xy−1,q′=uv−1∈Qとする．
    1. (xv−yu,yv)∈Z×N+であるから
      q−q′=xy−uv=xv−yuyv∈Q
      が成り立つ．
    2. (xu,yv)∈Z×N+であるから
      qq′=(xy−1)(uv−1)=(xu)(yv)−1∈Q
      が成り立つ．
  3. q=xy−1∈Q∖{0}とする．このときx≠0であるから，q′=yx−1∈Rとおくと
    q′=yx−1=(−y)(−x)−1
    よりq′∈Qであり，qq′=1が成り立つ．
  4. PQ:=P∩Qとおくと，
    Q=R∩Q=(−PQ)⊔{0}⊔PQ
    が成り立つ．また，任意のq,q′∈PQに対して
    q+q′,qq′∈P∩Q=PQ
    が成り立つ．

有理数体の順序体への埋め込み

指数法則

Gを群としg∈Gとする．このとき準同型g∙:Z→Gであって1↦gなるものがただ一つ存在する．

再帰的定義 I より，写像ρg:G→G;h↦hgと単位元1G∈Gに対して，写像pg:N→Gであって
pg(0)=1G,pg(n+1)=pg(n)g, n∈N
を満たすものがただ一つ存在する．そこで写像g∙:Z→G; z↦gzを
gz:={pg(n),z=:n≥0pg(n)−1,−z=:n>0
で定める．このとき
g1=pg(0)g=g
が成り立つので，あとはg∙が準同型であることを示せばよい．

まづn∈Nに対して
In:={m∈N∣gn+m=gngm}
を考える．明らかに0∈Inであり，m∈Inとすると
gn+(m+1)=g(n+m)+1=gn+mg=(gngm)g=gn(gmg)=gngm+1
よりm+1∈Inが成り立つので，In=Nを得る．

さて，n,m∈N+とする．

  1. m∈Inよりgn+m=gngmが成り立つ．
  2. 同様にn∈Imより
    g(−n)+(−m)=g−(n+m)=(gn+m)−1=(gm+n)−1=(gmgn)−1=(gn)−1(gm)−1=g−ng−m
    が成り立つ．
  3. k:=n−mとおく．
    • k>0のとき，m∈Ikであるから
      gng−m=gk+mg−m=(gkgm)(gm)−1=gk=gn+(−m)
      が成り立つ．さらにn,k∈N+,n−k=m>0より
      g−ngm=g−ngn+(−k)=(gn)−1(gng−k)=g−k=g(−n)+m
      が成り立つ．
    • k<0のとき，n,−k∈N+であるから
      gng−m=gng(−n)+(−(−k))=gn(g−ng−(−k))=gn((gn)−1gk)=gk=gn+(−m)
      が成り立つ．さらに−k,m∈N+,(−k)−m=−n<0より
      g−ngm=g(−k)+(−m)gm=(g−kg−m)gm=(g−k(gm)−1)gm=g−k=g(−n)+m
      が成り立つ．
    • k=0のとき，gng−m,gn+(−m)並びにg−ngm,g(−n)+mはいづれも1Gに等しい．

よって
∀z,w∈Z=(−N)∪N, gz+w=gzgw
が成り立つ．

連乗積と一般結合法則

Gを群とし(gn)n∈GNをその元の族とする．写像Φ:⋃nGN<n→Gを次で定める：
Φ(σ):={1G,σ∈GN<0,σ(n)gn,σ∈GN<n+1, n∈N.
このとき写像RecΦ:N→Gを用いて，各n∈Nに対して
∏i=0ngi:=RecΦ(n+1)∈G
と定める：
∏i=00gi=g0,∏i=0n+1gi=∏i=0ngi⋅gn+1, n∈N.
とくに∀n,gn=gなる族を考えると，写像の一意性より
∏i=0ngi=gn+1, n∈N
が成り立つ．

また，k∈Nに対して族(gn+k)nを考えて
∏i=kn+kgi:=∏i=0ngi+k
とおくと，任意のm∈N<nに対して
∏i=0ngi=∏i=0mgi⋅∏i=m+1ngi
が成り立つ．実際，
I:={n∈N|∀m∈N<n, ∏i=0ngi=∏i=0mgi⋅∏i=m+1ngi}
とおくと，N<0=∅より0∈Iであり，n∈Iとすると，任意のm∈N<n+1に対して，

  1. m=nのとき，
    ∏i=0ngi⋅∏i=n+1n+1gi=∏i=0ngi⋅gn+1=∏i=0n+1gi
    が成り立つ．
  2. m<nのとき，
    ∏i=0mgi⋅∏i=m+1n+1gi=∏i=0mgi⋅(∏i=m+1ngi⋅gn+1)=(∏i=0mgi⋅∏i=m+1ngi)⋅gn+1=∏i=0ngi⋅gn+1=∏i=0n+1gi
    が成り立つ．

したがってn+1∈Iを得る．

演算を加法的に書くときは，gn,∏i=0ngiをそれぞれ
n⋅g, ∑i=0ngi
と書く．

任意の単位的環Rに対して，準同型φR:Z→Rがただ一つ存在する．

一意性

φ:Z→Rを準同型とする．このときφ′:=φ|Nとおくと，
φ′(0)=0R,φ′(n+1)=φ′(n)+φ′(1)=φ′(n)+1R, n∈N
よりφ′=p1Rとなるので，φ=1R∙が成り立つ．

存在

写像φR:Z→Rを
φR(z):=1R∙(z)=z⋅1R
で定める．

  1. φR(1)=1⋅1R=0R+1R=1Rが成り立つ．
  2. 任意のz,w∈Zに対して，
    φR(z+w)=(z+w)⋅1R=z⋅1R+w⋅1R=φR(z)+φR(w)
    が成り立つ（ことは既に見た）．
  3. あとはφRが積を保つことを示せばよい．そこでw∈Zとし
    Iw:={n∈N∣(n⋅1R)(w⋅1R)=(nw)⋅1R}
    を考える．このとき明らかに0∈Iwが成り立ち，また，n∈Iwとすると
    ((n+1)⋅1R)(w⋅1R)=(n⋅1R+1R)(w⋅1R)=(n⋅1R)(w⋅1R)+w⋅1R=(nw)⋅1R+w⋅1R=(nw+w)⋅1R=((n+1)w)⋅1R
    よりn+1∈Iwが成り立つ．よってIw=Nが成り立つ．そこでz∈Zとすると，
    1. z∈Nのとき，z∈Iwより
      φR(zw)=(zw)⋅1R=(z⋅1R)(w⋅1R)=φR(z)φR(w)
      が成り立つ．
    2. z∈−Nのとき，−z∈I−wより
      φR(zw)=(zw)⋅1R=((−z)(−w))⋅1R=((−z)⋅1R)((−w)⋅1R)=(−(z⋅1R))(−(w⋅1R))=(z⋅1R)(w⋅1R)=φR(z)φR(w)
      が成り立つ．

任意の順序体Kに対して，順序体の埋め込み（+,×,<を保つ写像）ψK:Q→KであってψK|Z=φKを満たすものがただ一つ存在する：
Z⊂φKQψKK.

一意性

ψ:Q→Kを定理の主張を満たす写像とする．このとき
∀n∈N+, φK(n)=ψ(n)>ψ(0)=0K
が成り立つので，任意のq=xy−1∈Q,(x,y)∈Z×N+,に対して
ψ(q)=ψ(xy−1)=ψ(x)ψ(y)−1=φK(x)φK(y)−1
が成り立つ．

存在

φK|N=idNKK∘rKよりφK(N)=NKが成り立つ．とくにφK(N+)⊂PKとなるので，写像ψ′:Z×N+→Kを
ψ′(x,y):=φK(x)φK(y)−1
で定めることができる．また，全射π:Z×N+→Qを
π(x,y):=xy−1
で定めると，
π(x,y)=π(u,v)⟹xv=yu⟹φK(x)φK(v)=φK(y)φK(u)⟹ψ′(x,y)=ψ′(u,v)
より写像ψK:Q→KであってψK∘π=ψ′を満たすものがただ一つ存在する：
Z×N+ψ′πK.QψK

  1. φK(1)=1Kより，任意のz∈Zに対して
    ψK(z)=ψ′(z,1)=φK(z)φK(1)−1=φK(z)
    が成り立つ．
  2. q=π(x,y),q′=π(u,v)∈Qとする．このときq+q′=π(xv+yu,yv),qq′=π(xu,yv)より，
    ψK(q+q′)=φK(xv+yu)φK(yv)−1=(φK(x)φK(v)+φK(y)φK(u))(φK(y)φK(v))−1=φK(x)φK(y)−1+φK(u)φK(v)−1=ψK(q)+ψK(q′)
    および
    ψK(qq′)=φK(xu)φK(yv)−1=(φK(x)φK(u))(φK(y)φK(v))−1=(φK(x)φK(y)−1)(φK(u)φK(v)−1)=ψK(q)ψK(q′)
    が成り立つ．
  3. q=π(x,y),q′=π(u,v)∈Qとしq<q′とする．このときyu−xv∈N+より
    φK(y)φK(u)−φK(x)φK(v)=φK(yu−xv)∈PK
    が成り立つので，
    ψK(q)=φK(x)φK(y)−1<φK(u)φK(v)−1=ψK(q′)
    が成り立つ．

φK(N)=NKより
φK(Z)=φK(−N)∪φK(N)=(−NK)∪NK=ZK
および
QK={qK∈K∣∃(xK,yK)∈ZK×(NK)+, qK=xKyK−1}=ψK(Q)
が成り立つ．

実数の連続性

最小上界・最大下界

Kを順序体としA⊂Kとする．

  • b+∈Kであって
    ∀a∈A, a≤b+
    を満たすものが存在するとき，A⊂Kは上に有界であるという．また，b+をAの（ひとつの）上界という．
  • b−∈Kであって
    ∀a∈A, b−≤a
    を満たすものが存在するとき，A⊂Kは下に有界であるという．また，b−をAの（ひとつの）下界という．
  • b∈Kであって
    ∀a∈A, |a|≤b
    を満たすものが存在するとき，A⊂Kは有界であるという．

順序体Kに関する次の主張を考える：

LUB (Least Upper Bound)

上に有界な任意の非空部分集合A⊂Kに対して，その最小上界
supA:=min{x∈K∣∀a∈A, a≤x}∈K
が存在する．

GLB (Greatest Lower Bound)

下に有界な任意の非空部分集合A⊂Kに対して，その最大下界
infA:=max{x∈K∣∀a∈A, x≤a}∈K
が存在する．

Kを順序体とする．このとき次は同値である：

  1. KにおいてTが成り立つ；
  2. KにおいてLUBが成り立つ；
  3. KにおいてGLBが成り立つ．

(i)⟹(ii)

A∈P∗(K)とする．
B:={x∈K∣∀a∈A, a≤x}
とおく．仮定よりB≠∅であり
∀(a,b)∈A×B, a≤b
が成り立つ．したがってc∈Kであって
∀(a,b)∈A×B, a≤c≤b
を満たすものが存在する．このc∈Kについて明らかに
c=supA
が成り立つ．

(ii)⟹(i)

A,B∈P∗(K)とし
∀(a,b)∈A×B, a≤b
が成り立つとする．このとき，非空部分集合A⊂Kは上に有界なので，c:=supA∈Kが存在する．このc∈Kについて，
B⊂U(A):={x∈K∣∀a∈A, a≤x}
より
∀(a,b)∈A×B, a≤c=minU(A)≤b
が成り立つ．

(ii)⟺(iii)

非空部分集合A⊂Kが下に有界であるとき，−A⊂Kは上に有界でありinfA=−sup(−A)∈Kが成り立つ．逆も同様．

Archimedes性と完備性

Archimedesの原理

N⊂Rは上に有界でない．

N⊂Rが上に有界であるとすると，最小上界∞:=supN∈Rが存在する．いま∞−1∈RはN⊂Rの上界ではないので，n∈Nであって∞−1<nを満たすものが存在する．ところがこのとき，n+1∈Nより，∞<n+1≤∞となり不合理である．

Kを順序体とする．（Q⊂Kと見做して）N⊂Kが上に有界でないとき，KをArchimedes的順序体という．

KをArchimedes的順序体とする．このとき，各x∈Kに対して，⌊x⌋∈Zであって
⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1
を満たすものがただ一つ存在する．

一意性

整数z,w∈Z,z<w,がx∈Kに対して条件を満たすとすると，w−z∈Z∩P=N+より
(w−z)−1∈N⊂{0}∪P
が成り立つが，一方で
(w−z)−1=w−(z+1)<w−x≤0
より(w−z)−1∈−Pとなり不合理である．

存在 landau-dic

各x∈Kに対して，KのArchimedes性より{n∈N+∣x<n}≠∅であるから，
m(x):=min{n∈N+∣x<n}∈N
が定まる．さらに
m′(x):=m(x+m(−x))=min{n∈N+∣x+m(−x)<n}∈N
とおく．そこで
⌊x⌋:=m′(x)−(m(−x)+1)∈Z
と定めると，0<x+m(−x)およびm′(x)の定義より
m′(x)−1≤x+m(−x)<m′(x)
であるから，
⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1
が成り立つ．

  • x≥0のとき，m(−x)=1であるから
    m′(x)=m(x)+1
    となり，したがって
    ⌊x⌋=m(x)−1
    となる．
  • x<0のとき，m(−x)−1≤−x<m(−x)より0<x+m(−x)≤1であるから，
    m′(x)={1,x∉−N2,x∈−N
    となり，したがって
    ⌊x⌋={−m(−x),x∉−N−m(−x)+1,x∈−N
    となる．

KをArchimedes的順序体とする．このときQ⊂Kは稠密である，すなわち任意のx,y∈K,x<y,に対してq∈Qであってx<q<yなるものが存在する．

KのArchimedes性より，(y−x)−1>0に対してn∈N+であって
1y−x<n
を満たすものが存在する．このとき
nx<⌊nx⌋+1≤nx+1<ny
が成り立つので，
q:=⌊nx⌋+1n∈Q
とおけばよい．

Kを順序体とし，(an)n∈KN,α∈Kとする．

  • 任意のε∈PKに対して，n0∈Nであって
    ∀n≥n0, |an−α|<ε
    を満たすものが存在するとき，(an)nはα∈Kに収束するといいlimnan=α,limn→∞an=αなどで表わす．
  • 任意のε∈PKに対して，n0∈Nであって
    ∀n≥m≥n0, |an−am|<ε
    を満たすものが存在するとき，(an)nはCauchy列であるという．
  • {an∈K∣n∈N}⊂Kが有界（resp. 上に有界，下に有界）であるとき，(an)nは有界（resp. 上に有界，下に有界）であるという．
  1. 収束列はCauchy列である．
  2. Cauchy列は有界である．
  1. ε>0とする．このときn0∈Nであって
    ∀n≥n0, |an−α|<ε2
    を満たすものが存在する．よって
    ∀n≥m≥n0, |an−am|≤|an−α|+|α−am|<ε2+ε2=ε
    が成り立つ．
  2. 1>0に対して，n0∈Nであって
    ∀n≥n0, |an−an0|<1
    を満たすものが存在する．このとき任意のn≥n0に対して
    |an|≤|an−an0|+|an0|<1+|an0|
    が成り立つ．そこで
    b:=max{|a0|,…,|an0|}+1∈K
    とおくと，
    ∀n∈N, |an|<b
    が成り立つ．

KをArchimedes的順序体とする．このとき
limn→∞12n=limn→∞1n=0
が成り立つ．

まづ
I:={n∈N∣n<2n}
を考える．

  1. 0<1=20より0∈Iが成り立つ．
  2. n∈Iとすると，0≤n<2nより1≤2nであるから，
    n+1<2n+1≤2n+2n=2n(1+1)=2n+1
    となり，したがってn+1∈Iが成り立つ．

よってI=Nを得る．

ε>0とする．ε−1>0に対して，KのArchimedes性より，n0∈N+であってε−1<n0を満たすものが存在する．このとき
∀n≥n0, −ε<12n<1n≤1n0<ε
が成り立つので，結論を得る．

順序体Kについて，次は同値である：

  1. KはArchimedes的である；
  2. 任意のx∈Kに対して⌊x⌋∈Zが定まる；
  3. Q⊂Kは稠密である；
  4. limn1n=0が成り立つ．

上で見たことから(iii)⟹(i)を示せば十分である．そこでx∈Kとすると，仮定よりq∈Qであって
|x|<q<|x|+1
を満たすものが存在する．このとき，q=nm−1,n,m∈N+,と書けるので
x≤|x|<q=nm≤n1=n∈N
が成り立つ．

Kを順序体とし(an)n∈KNとする．任意のn∈Nに対して
an<an+1 (resp.an≤an+1; an>an+1; an≥an+1)
が成り立つとき，(an)nを単調増加数列（resp. 単調非減少数列，単調減少数列，単調非増加数列）という．

単調非減少（resp. 単調非増加）数列(an)nがα∈Kに収束するならば，
∀n∈N, an≤α (resp.α≤an)
が成り立つ．

  1. (an)nを単調非減少数列とし，limnan=αとする．このとき，n0∈Nであってα<an0なるものが存在したとすると，an0−α>0に対して，n1>n0であって
    an1−α<an0−α,
    すなわちan1<an0を満たすものが存在することになり，不合理である．
  2. (an)nを単調非増加数列とし，limnan=αとする．このとき，n0∈Nであってan0<αなるものが存在したとすると，α−an0>0に対して，n1>n0であって
    α−an1<α−an0,
    すなわちan0<an1を満たすものが存在することになり，不合理である．

順序体Kに関する次の主張を考える：

CCC (Cauchy's Convergence Criterion)

任意のCauchy列が収束する．　

NIP (Nested Interval Principle)

閉区間からなる任意の減少列(In)n，すなわち
∀n∈N, In⊃In+1
が成り立つものに対して，
limn→∞diam(In)=0⟹⋂n∈NIn:singleton
が成り立つ．

Kを順序体とする．このとき次は同値である：

  1. KにおいてDが成り立つ；
  2. KはArchimedes的順序体であってCCCが成り立つ；
  3. KはArchimedes的順序体であってNIPが成り立つ．

(i)⟹(ii)

いまKにおいてLUBが成り立つので，KはArchimedes的順序体である．

(xn)n∈KNをCauchy列とする．Cauchy列は有界であるから，各n∈Nに対して
an:=inf{xm∣n≤m}∈K, bn:=sup{xm∣n≤m}∈K
が定まる．そこで
A:={an∈K∣n∈N}, B:={bn∈K∣n∈N}
とおくと，{xm∣n+1≤m}⊂{xm∣n≤m}より
∀(n,m)∈N×N, an≤amax{n,m}≤bmax{n,m}≤bm
が成り立つ．いまKにおいてTが成り立つので，c∈Kであって
∀(n,m)∈N×N, an≤c≤bm
を満たすものが存在する．

以下，(xn)nがc∈Kに収束することを示す．そこでε>0とすると，n0∈Nであって
∀n≥n0, |xn−xn0|<ε22,
すなわち
∀n≥n0, xn0−ε22≤xn≤xn0+ε22
を満たすものが存在する．したがって
xn0−ε22≤an0≤bn0≤xn0+ε22
が成り立つ．一方
an0≤c≤bn0
および
∀n≥n0, an0≤xn≤bn0
が成り立つ．よって
∀n≥n0, |xn−c|≤bn0−an0≤ε2<ε
が成り立つ．

(ii)⟹(iii)

(In=[an,bn])nを閉区間の減少列であってlimn(bn−an)=0なるものとする．このとき，任意のn≥m≥n0に対して，an,am∈In0より
|an−am|≤bn0−an0
が成り立つので，(an)nはCauchy列である．したがってα:=limnan∈Kが存在する．また，
∀n∈N, |bn−α|≤|bn−an|+|an−α|
より，limnbn=αが成り立つ．いま，(an)nは単調非減少数列であり，(bn)nは単調非増加数列であるから，
∀n∈N, an≤α≤bn,
すなわちα∈⋂nInが成り立つ．さらに，c∈⋂nInとすると，
∀n∈N, |c−α|≤bn−an; limn→∞(bn−an)=0
より，c=αが成り立つ．

(iii)⟹(i)

A,B∈P∗(K)とし
K=A∪B; ∀(a,b)∈A×B, a<b
が成り立つとする．(a0,b0)∈A×Bを取る．このとき，閉区間の減少列([an,bn])nであって
∀n∈N, (an,bn)∈A×B, bn−an=b0−a02n
を満たすものが次のようにして定まる：X:={[a,b]∈P(K)∣(a,b)∈A×B}とおき，写像f:X→Xを
f:X→X; [a,b]↦{[c,b],c:=a+b2∈A[a,c],c∈B
で定める．
[a′,b′]:=f([a,b])⊂[a,b], b′−a′=b−a2
に注意する．そこで
[an+1,bn+1]:=recf,[a0,b0](n+1)=f(recf,[a0,b0](n)), n∈N
と定めればよい．

KのArchimedes性よりlimn(bn−an)=0であるから，c∈Kであってc∈⋂nInなるものがただ一つ存在する．

  1. c∈Aのとき，
    ∀b∈B, c<b
    が成り立つ．またa∈Aであってc<aなるものが存在したとすると，a−c>0に対して，n∈Nであって
    bn−an<a−c≤a−an,
    したがってbn<aを満たすものが存在することになり不合理である．
  2. c∈Bのとき，
    ∀a∈A, a<c
    が成り立つ．またb∈Bであってb<cなるものが存在したとすると，c−b>0に対して，n∈Nであって
    bn−an<c−b≤bn−b,
    したがってb<anを満たすものが存在することになり不合理である．

よって，いづれにしろ
∀(a,b)∈A×B, a≤c≤b
が成り立つ．また，c′∈Kについて同様の条件が成り立つとすると，とくに
∀n∈N, an≤c′≤bn
よりc′∈⋂nInとなるので，c′=cを得る．

有界単調数列

順序体Kに関する次の主張を考える：

BMS (Bounded Monotone Sequence)

上に有界な任意の単調非減少数列が収束する．

BMS'

下に有界な任意の単調非増加数列が収束する．

Kを順序体とする．このとき次は同値である：

  1. KにおいてLUB（resp. GLB）が成り立つ；
  2. KにおいてBMS（resp. BMS'）が成り立つ．

(i)⟹(ii)

(an)nを上に有界な単調非減少数列とする．このとき
A:={an∈K∣n∈N}⊂K
は上に有界な非空部分集合なので，最小上界α:=supA∈Kが存在する．

以下，(an)nがα∈Kに収束することを示す．そこでε>0とする．いまα−ε∈KはAの上界ではないので，n0∈Nであってα−ε<an0を満たすものが存在する．このn0∈Nに対して
∀n≥n0,α−ε<an0≤an≤α<α+ε
が成り立つので，α=limnanを得る．

(ii)⟹(i)

まづKがArchimedes的順序体であることを示す．そこでN⊂Kが有界であると仮定する．このとき，有界な単調増加数列(n)nは収束するが，∞:=limnn∈Kとおくと，1>0に対してn∈Nであって|∞−n|<1，したがって∞<n+1≤∞を満たすものが存在することになり不合理である．

A⊂Kを上に有界な非空部分集合とし，
U(A):={x∈K∣∀a∈A, a≤x}≠∅
とおく．A∩U(A)=∅としてよい．このとき次のようにしてAの元からなる単調増加数列(an)nが得られる：

  1. a0∈Aを取る；
  2. an∈Aが定まったとする．an∉U(A)よりA>an:={a∈A∣an<a}≠∅である．各a∈A>anに対して，KのArchimedes性より
    m(an;a):=min{m∈N∣(a−an)−1<m}∈N+
    が定まり，したがって
    m(an):=min{m(an;a)∈N∣a∈A>an}∈N+
    が定まる．そこでm(an)=m(an;a)なるa∈A>an（のひとつ）をan+1∈Aとおく．このとき
    an<an+1m(an)<an+1
    が成り立つ．

したがってα:=limnan∈Kが存在する．以下，α=supAを示す．

  1. いま(an)nは単調非減少数列であるから，
    ∀n∈N, an≤α
    が成り立つ．
  2. α∉U(A)とすると，a∈Aであってα<aなるものが存在する．このとき，KのArchimedes性よりm∈N+であって(a−α)−1<mを満たすものが存在する．このm∈N+に対して
    ∀n∈N, an+1m≤α+1m<α+(a−α)=a
    が成り立つことに注意する．また，(m+1)−1>0に対して，n0∈Nであって
    α−an0<1m+1
    を満たすものが存在する．したがって
    a∈A>an0, 0<m(an0)≤m(an0;a)≤m
    より
    α<α+1m(m+1)=α+1m−1m+1<an0+1m≤an0+1m(an0)<an0+1≤α
    を得るが，これは不合理である．よってα∈U(A)が成り立つ．
  3. b∈U(A)であってb<αなるものが存在したとすると，n∈Nであって
    α−an<α−b,
    すなわちb<anが成り立つものが存在することになり不合理である．
  4. よって
    α=minU(A)=supA
    が成り立つ．

コンパクト性

順序体Kに関する次の主張を考える：

HB (Heine–Borel)

任意の閉区間Iと開区間の族(Iλ)λに対して
I⊂⋃λ∈ΛIλ⟹∃λ0,…,λn∈Λ, I⊂⋃i=0nIλi
が成り立つ．

BW (Bolzano–Weierstrass)

任意の有界数列が収束部分列を持つ．

Kを順序体とする．このとき次は同値である：

  1. KはArchimedes的順序体であってNIPが成り立つ；
  2. KにおいてHBが成り立つ；
  3. KにおいてBWが成り立つ．

(i)⟹(ii)

I=[a,b]⊂K,a<b,とし，J=(Jλ)λを開区間の族であって
I⊂⋃λ∈ΛJλ
を満たすものとする．ここで，IがJの有限個の元では覆えない，すなわち
∀λ0,…,λn∈Λ, I⊄⋃i=0nJλn
が成り立つとする．このとき，Jの有限個の元で覆えない閉区間からなる減少列(In)nであってdiam(In)=(b−a)/2nを満たすものが，次のようにして得られる：

  1. I0:=Iとおく．
  2. In=[an,bn]が定まったとする．このとき，cn:=(an+bn)/2∈Inとおくと，Jは閉区間[an,cn],[cn,bn]のいづれをも覆うが，この閉区間の少なくとも一方については有限個では覆えないので，それをIn+1=[an+1,bn+1]⊂Inとおけばよい．
    • 補足：集合
      {[x,y]∈P(K)∣a≤x<y≤b, [x,y]は J の有限個の元では覆えない}
      を考えて再帰的定義 I を適用している．

いまKのArchimedes性よりlimndiam(In)=0であるから，c∈⋂nInが（ただ一つ）存在する．このc∈Iに対して，λ∈Λであってc∈Jλなるものが存在し，このJλに対して，ε>0であって
BK(c;ε)⊂Jλ
なるものが存在する．さらに，このε>0に対して，limndiam(In)=0よりn0∈Nであってdiam(In0)<εなるものが存在する．ところがc∈In0より
∀x∈In0, |x−c|≤diam(In0)<ε,
したがってIn0⊂BK(c;ε)⊂Jλとなり，In0がJの有限個の元では覆えないことに反する．

(ii)⟹(iii)

(an)nを有界数列とする．このとき閉区間I:=[a,b]⊂Kであって{an∈K∣n∈N}⊂Iなるものが存在する．

  1. 任意のx∈Iに対して，(ε(x),n(x))∈PK×Nであって
    ∀n≥n(x), |an−x|≥ε(x)
    を満たすものが存在したとする．このとき閉区間I⊂Kと開区間の族(BK(x;ε(x)))x∈Iについて
    I⊂⋃x∈IBK(x;ε(x))
    が成り立つので，有限個の点x0,…,xn∈Iであって
    I⊂⋃i=0nBK(xi;ε(xi))
    を満たすものが存在する．一方，このときm:=max{n(x0),…,n(xn)}∈Nに対して
    am∈I∖⋃i=0nBK(xi;ε(xi))
    が成り立ち，不合理である．
  2. よってα∈Iであって
    ∀(ε,n0)∈PK×N, ∃n≥n0, |an−α|<ε
    が成り立つものが存在する．そこで次のようにして単調増加数列s:N→Nを定める：
    1. s(0):=0∈Nとおく．
    2. s(0),…,s(n)∈Nまで定まったとする．このとき(1/(n+1),s(n)+1)∈PK×Nに対してs(n+1)>s(n)であって
      |as(n+1)−α|<1n+1
      を満たすものが存在する．
    3. 補足：写像Φ:⋃nNN<n→Nを
      Φ(σ):={0,σ∈NN<0min{m∈N≥maxσ(N<n+1)+1∣|am−α|<1n+1},σ∈NN<n+1, n∈N
      で定めて再帰的定義 II を適用している．s:=RecΦ:N→Nとおけば
      ∀n∈N, s(n)≤maxs(N<n+1)<Φ(s|N<n+1)=s(n+1)
      が成り立つ．
  3. このとき，(an)nの部分列(as(n))nについて
    ∀n∈N+, |as(n)−α|<1n
    が成り立つ．よって，あとはKがArchimedes的であることを示せばよい．
  4. そこでN⊂Kが有界であると仮定する．このときM∈Kであって
    ∀n∈N, n<M
    を満たすものが存在する．いま閉区間[0,1]⊂Kと開区間の族(BK(x;(2M)−1))x∈[0,1]に対して
    [0,1]⊂⋃x∈IBK(x;(2M)−1)
    が成り立つので，有限個の点x0,…,xn−1∈[0,1]であって
    [0,1]⊂⋃i=0n−1BK(xi;(2M)−1)
    を満たすものが存在する．ところがこのとき
    1=1−0≤∑i=0n−11M=nM<1
    となり不合理である．

(iii)⟹(i)

N⊂Kが有界であるとすると，有界数列(n)nは収束部分列(s(n))nを持つので，その極限をs(∞):=limns(n)∈Kとおく．このとき，任意のm∈Nに対してm+1≤s(m+1)≤s(∞)よりm≤s(∞)−1が成り立つので，
∀n∈N, |(s(∞)−1)−s(n)|≤|s(∞)−s(n)|
より
s(∞)−1=limn→∞s(n)=s(∞)
を得るが，これは不合理である．よってN⊂Kは有界でないので，KはArchimedes的順序体である．

(In=[an,bn])nを閉区間の減少列であってlimn(bn−an)=0なるものとする．このとき(an)nは有界数列なので，収束部分列(as(n))nを持つ．そこでc:=limnas(n)∈Kとおくと，
∀n∈N, |bs(n)−c|≤|bs(n)−as(n)|+|as(n)−c|
よりlimnbs(n)=cが成り立つ．いま(as(n))nは単調非減少数列であり(bs(n))nは単調非増加数列であるから，
∀n∈N, an≤as(n)≤c≤bs(n)≤bn
が成り立ち，したがってc∈⋂nInを得る．さらに，c′∈⋂nInとすると，
∀n∈N, |c−c′|≤bn−an; limn→∞(bn−an)=0
より，c=c′が成り立つ．

(ii)⟹(iii)終盤の1≤n/Mの導出について一往補足しておく．
I:={0}∪{n∈N+ | ∀[a,b], ∀([ai,bi])i=0n−1, [a,b]⊂⋃i=0n−1[ai,bi]⟹b−a≤∑i=0n−1(bi−ai)}
を考える．

  1. 定義より0∈Iが成り立つ．
  2. n∈Iとする．[a,b]⊂Kとし([ai,bi])i=0nをその被覆とする．n=0のときは明らかなので，以下n>0とする．また，必要なら番号を付け替えることでb∈[an,bn]としてよい．
    • an≤aのとき，[a,b]⊂[an,bn]より
      b−a≤bn−an≤∑i=0n(bi−ai)
      が成り立つ．
    • a<anのとき，まづ
      [a,an[⊂⋃i=0n−1[ai,bi]
      が成り立つ．ここでan∉RHSとすると，a∈[∃ai,bi]よりm∈N<nであって
      bm=max{bi∈K∣i∈N<n, a≤bi<an}
      なるものが定まるが，このとき
      bm+an2∈[a,b]∖⋃i=0n[ai,bi]
      となり不合理である．したがって
      b−a=(b−an)+(an−a)≤(bn−an)+∑i=0n−1(bi−ai)=∑i=0n(bi−ai)
      が成り立つ．よってn+1∈Iを得る．

以上よりI=Nが成り立つ．あとは
BK(xi;(2M)−1)⊂[xi−(2M)−1,xi+(2M)−1]
に注意すればよい．

連続写像の値域

Kを順序体，a,b∈K,a≤b,としf:[a,b]→Kを写像とする．

  • c∈[a,b]とする．任意のε>0に対して，δ>0であって
    ∀x∈[a,b], |x−c|<δ⟹|f(x)−f(c)|<ε
    を満たすものが存在するとき，fはcにおいて連続であるという．
  • fが任意の点c∈[a,b]において連続であるとき，fを連続写像という．

順序体Kに関する次の主張を考える：

IVT (Intermediate Value Theorem)

任意の連続写像f:[a,b]→Kに対して
[min{f(a),f(b)},max{f(a),f(b)}]⊂f([a,b])
が成り立つ．

EVT (Extreme Value Theorem)

任意の連続写像f:[a,b]→Kに対して
supf([a,b]),inff([a,b])∈f([a,b])
が成り立つ，すなわちfは最大値および最小値を取る．

Kを順序体とする．このとき次は同値である：

  1. KにおいてLUBが成り立つ；
  2. KにおいてIVTが成り立つ．

(i)⟹(ii)

f(a)=f(b)のときは明らか．また，f(a)>f(b)のときはfの代わりに−fを考えることで，f(a)<f(b)としてよい．そこでγ∈]f(a),f(b)[とする．このときc∈[a,b]であってf(c)=γなるものが存在することを示せばよい．fの代わりにf−γを考えることで，γ=0としてよい．

さて，
A:={x∈[a,b]∣∀y∈[a,x], f(y)<0}⊂K
とおくと，(a,b)∈A×U(A)より
c:=supA∈[a,b]
が定まる．以下，f(c)=0が成り立つことを示す．

  1. x∈[a,c[とする．このときx<supAよりa′∈Aであってx<a′なるものが存在するので，f(x)<0が成り立つ．
  2. f(c)>0と仮定する．このときa<c≤bよりc−a>0に注意する．いまfのc∈[a,b]における連続性より，f(c)/2>0に対して，δ>0であって
    ∀x∈[a,b], |x−c|<δ⟹|f(x)−f(c)|<f(c)2
    を満たすものが存在する．そこで
    c′:=c−min{δ,c−a}2∈K
    とおくと，
    a≤a+c2=c−c−a2≤c′<c≤b
    よりc′∈[a,b]であるから，|c′−c|<δと合わせて
    f(c′)>f(c)−f(c)2=f(c)2>0
    が成り立つが，これは(1)に反する．したがってf(c)≤0が成り立つ．
  3. f(c)<0と仮定する．このときa≤c<bよりb−c>0に注意する．いまfのc∈[a,b]における連続性より，−f(c)/2>0に対して，δ>0であって
    ∀x∈[a,b], |x−c|<δ⟹|f(x)−f(c)|<−f(c)2
    を満たすものが存在する．そこで
    c″:=c+min{δ,b−c}2∈K
    とおくと，
    a≤c<c″≤c+b−c2=c+b2≤b
    よりc″∈[a,b]であるから，|c″−c|<δと合わせて
    f(c″)<f(c)−f(c)2=f(c)2<0
    が成り立つ．このc″∈[a,b]に対して，(1)とδの取り方より
    ∀x∈[a,c″]=[a,c[∪[c,c″], f(x)<0
    が成り立つので，c″∈Aを得る．ところがこのときc″≤c<c″となり不合理である．よってf(c)=0が成り立つ．

(ii)⟹(i)

A⊂Kを上に有界な非空部分集合とする．A∩U(A)=∅としてよい．そこで(a,b)∈A×U(A)を取り，写像f:[a,b]→Kを
f(x):={−1,x∈[a,b]∖U(A)1,x∈[a,b]∩U(A)
で定める．このとき
f(a)=−1<0<1=f(b)
であるから，fの不連続点α∈[a,b]が存在する．以下，α=supAとなることを示す．

  1. α∉U(A)とすると，a′∈Aであってα<a′なるものが存在する．このとき，任意のε>0に対して，δ:=a′−α>0とおくと
    ∀x∈[a,b], |x−α|<δ⟹|f(x)−f(α)|=|(−1)−(−1)|=0<ε
    が成り立つが，これはα∈[a,b]の取り方に反する．よってα∈U(A)が成り立つ．
  2. ∃b′∈U(A),b′<α,とすると，任意のε>0に対して
    ∀x∈[a,b], |x−α|<α−b′⟹|f(x)−f(α)|=|1−1|=0<ε
    が成り立つが，これはα∈[a,b]の取り方に反する．

以上より
α=minU(A)=supA
が成り立つ．

“無理数”の存在

Q⊊Rが成り立つ．

写像f:[1,2]→R;x↦xxを考える．a∈[1,2]とし，ε>0とする．ε<2としてよい．そこで
δ:=ε2(|a|+1)>0
とおくと，任意のx∈[1,2]について，|x−a|<δのとき
|x|≤|x−a|+|a|<δ+|a|<ε2+|a|=2|a|+ε2
より，
|xx−aa|=|(x−a)(x+a)|=|x−a|⋅|x+a|≤|x−a|⋅(|x|+|a|)=|x−a|⋅|x|+|x−a|⋅|a|<ε2(|a|+1)⋅2|a|+ε2+ε2(|a|+1)⋅|a|=ε2⋅2|a|+ε2|a|+2+ε2⋅|a||a|+1<ε2+ε2=ε
が成り立つ．したがってfは連続である．（また，任意のx,y∈[1,2],x<y,に対して，0<x<yより
f(x)=xx<xy<yy=f(y)
が成り立つので，fは単調増加である．）

いま
f(1)=1⋅1=1<2<22=2⋅2=f(2)
が成り立つので，α∈]1,2[であって
αα=2
を満たすものが（ただ一つ）存在する．

あとはα∉Qを示せばよい．そこでα∈Qと仮定する．このとき
n:=min{m∈N+∣∃z∈Z, α=zm−1}∈N+
が定まる．いま1<α=z∃n−1<2より0<z−n<nとなるので，z−n∈N+であり，2n−z∈Zに対して
(z−n)α=zα−nα=nαα−z=2n−z
が成り立つ．ところがこれはnの最小性に反する．

Kを順序体とする．このとき次は同値である：

  1. KにおいてLUBが成り立つ；
  2. KにおいてEVTが成り立つ．

(i)⟹(ii)

a,b∈K,a<b,としf:[a,b]→Kを連続写像とする．まづf([a,b])⊂Kが有界であることを示す．そこで
A:={x∈[a,b]∣f([a,x])⊂K:bounded}
とおくと，(a,b)∈A×U(A)より
α:=supA∈[a,b]
が定まる．

  1. fのa∈[a,b]における連続性より，δ>0であって
    ∀x∈[a,b], |x−a|<δ⟹|f(x)−f(a)|<1
    を満たすものが存在する．このとき
    a′:=a+min{δ,b−a}2∈[a,b]
    とおくと，a<a′≤a+δ2より
    ∀x∈[a,a′], |f(x)|≤|f(x)−f(a)|+|f(a)|<1+|f(a)|
    が成り立つので，a′∈A，とくにa<αが成り立つ．
  2. x∈[a,α[とする．このときa′∈Aであってx<a′なるものが存在するので
    f([a,x])⊂f([a,a′])⊂K:bounded
    より，x∈Aを得る．よって[a,α[⊂A⊂[a,b]が成り立つ．
  3. α<bと仮定する．いまfのα∈[a,b]における連続性より，δ>0であって
    ∀x∈[a,b], |x−α|<δ⟹|f(x)−f(α)|<1
    を満たすものが存在する．このとき
    c:=α−min{δ,α−a}2∈[a,b]
    とおくと，c<αよりa′∈Aであってc<a′なるものが存在する．また
    c′:=α+min{δ,b−α}2∈[a,b]
    とおくと，α−δ2≤c<α<c′≤α+δ2より
    ∀x∈[c,c′], |f(x)|≤|f(x)−f(α)|+|f(α)|<1+|f(α)|
    が成り立つ．したがって
    f([a,c′])=f([a,a′])∪f([c,c′])⊂K:bounded
    よりc′∈Aを得る．ところがこのときc′≤α<c′となり不合理である．よってα=bが成り立つ．
  4. fのb∈[a,b]における連続性より，δ>0であって
    ∀x∈[a,b], |x−b|<δ⟹|f(x)−f(b)|<1
    を満たすものが存在する．このとき
    b′:=b−min{δ,b−a}2∈[a,b]
    とおくと，b−δ2≤b′<bより，b′∈Aおよび
    ∀x∈[b′,b], |f(x)|≤|f(x)−f(b)|+|f(b)|<1+|f(b)|
    が成り立つ．よって
    f([a,b])=f([a,b′])∪f([b′,b])⊂K:bounded
    を得る．

以上よりA=[a,b]であるから，（上に）有界な非空部分集合f([a,b])⊂Kに対して
γ:=supf([a,b])∈K
が定まる．もしγ∉f([a,b])とすると，
∀x∈[a,b], f(x)<γ
より
f′:[a,b]→K; x↦1γ−f(x)
は連続写像であるから（後述），上述のことより，M>0であって
∀x∈[a,b], f′(x)<M,
したがって
∀x∈[a,b], f(x)<γ−1M
を満たすものが存在するが，これはγ∈Kがf([a,b])⊂Kの最小上界であることに反する．

同様にしてinff([a,b])∈f([a,b])もわかる．

(ii)⟹(i)

A⊂Kを上に有界な非空部分集合とする．A∩U(A)=∅としてよい．そこで(a,b)∈A×U(A)を取り，写像f:[a,b]→Kを
f(x):={x,x∈[a,b]∖U(A)a−1,x∈[a,b]∩U(A)
で定める．このときfは最大値を持たない．実際，

  • 任意のx∈[a,b]∖U(A)に対して，a′∈Aであってx<a′<bなるものが存在するので，f(x)=x<a′=f(a′)が成り立つ．
  • 任意のx∈[a,b]∩U(A)に対してf(x)=a−1<a=f(a)が成り立つ．

したがってfの不連続点α∈[a,b]が存在する．以下，α=supAとなることを示す．

  1. α∉U(A)とすると，a′∈Aであってα<a′なるものが存在する．このとき，任意のε>0に対してδ:=min{a′−α,ε}>0とおくと
    ∀x∈[a,b], |x−α|<δ⟹|f(x)−f(α)|=|x−α|<ε
    が成り立つが，これはα∈[a,b]の取り方に反する．よってα∈U(A)が成り立つ．
  2. ∃b′∈U(A),b′<α,とすると，任意のε>0に対して
    ∀x∈[a,b], |x−α|<α−b′⟹|f(x)−f(α)|=|(a−1)−(a−1)|=0<ε
    が成り立つが，これはα∈[a,b]の取り方に反する．

以上より
α=minU(A)=supA
が成り立つ．

f′の連続性

c∈[a,b]としε>0とする．いまfはc∈[a,b]で連続なので，
ε′:=min{ε⋅|γ−f(c)|2, |γ−f(c)|}2>0
に対して，δ>0であって
∀x∈[a,b], |x−c|<δ⟹|f(x)−f(c)|<ε′
を満たすものが存在する．このとき，任意のx∈[a,b],|x−c|<δ,に対して，
|γ−f(x)|=|(γ−f(c))−(f(x)−f(c))|≥|γ−f(c)|−|f(x)−f(c)|>|γ−f(c)|−ε′≥|γ−f(c)|−|γ−f(c)|2=|γ−f(c)|2>0
より，
|f′(x)−f′(c)|=|1γ−f(x)−1γ−f(c)|=|f(x)−f(c)||γ−f(x)|⋅|γ−f(c)|<2|γ−f(c)|2⋅|f(x)−f(c)|<2|γ−f(c)|2⋅ε′≤ε
が成り立つ．

まとめ

ArIVTAr+CCCDTLUBBMSArAr+NIPEVTBWHBAr

  • D：Dedekind切断のやつ
    • 連結性．
  • T：Dedekind切断ぽいやつ
  • LUB：最小上界の存在
  • BMS：単調有界数列が収束する
    • 順序集合としての完備性．
  • Ar：Archimedesの原理
    • →Arは証明の過程でArを示したことを意味する．
    • （「完備かつ全有界⟺（点列）コンパクト」における）全有界性に相当する．
  • CCC：Cauchyの収束判定法
    • 距離空間としての完備性．
  • NIP：区間縮小法
    • cf.「距離空間Xが完備⟺有限交叉性を持つ閉集合族(Cλ)λがinfλdiam(Cλ)=0を満たすならば⋂λCλは単集合」（Dugundji, Topology, XIV.3.3）
  • HB：閉区間がコンパクト
    • cf.「Euclid空間の部分集合について，有界閉⟹コンパクト」
  • BW：有界数列が収束部分列を持つ
    • 点列コンパクト性．
  • IVT：中間値の定理
    • cf.「連結空間の連続像は連結」
  • EVT：最大値最小値の定理
    • cf.「非空コンパクト空間上の連続函数は最大値および最小値を取る」）

補足：連結性について

Kを順序体とする．このとき次は同値である：

  1. KにおいてLUBが成り立つ；
  2. 任意の区間I⊂Kは連結である．

(i)⟹(ii)

区間I⊂Kが連結でないとすると，交わらない非空開集合V,W⊂Iであって
I=V∪W
なるものが存在する．(a,b)∈V×Wを取る．a<bとしてよい．このとき
A:=V∩[a,b]⊂K
を考えると，(a,b)∈A×U(A)より
c:=supA∈[a,b]⊂I=V∪W
が定まる．

  1. c∈Vとすると，c<bであるから，V⊂Iが開集合であることと合わせて，ε>0であって
    [c,c+ε[⊂V∩[a,b]=A
    を満たすものが存在することがわかる．このとき，c+ε2∈Aを得るが，これはc∈KがA⊂Kの上界であることに反する．
  2. c∈Wとすると，a<cであるから，W⊂Iが開集合であることと合わせて，ε>0であって
    ]c−ε,c]⊂W∩[a,b]=(I∖V)∩[a,b]=[a,b]∖A
    を満たすものが存在することがわかる．このとき，c−ε2∈U(A)を得るが，これはc∈KがU(A)⊂Kの最小値であることに反する．

よってIは連結である．

(ii)⟹(i)

仮定よりとくにKは連結であることに注意する．このときDが成り立つことを示せばよい．

そこでA,B∈P∗(K)とし
K=A∪B; ∀(a,b)∈A×B, a<b
が成り立つとする．もしDが成り立たないとすると，
∀c∈K, ∃(a′,b′)∈A×B, c<a′∨b′<c
が成り立つ．したがってとくに

  1. 任意のa∈Aに対して，a′∈Aであってa<a′を満たすものが存在するので，ε:=a′−a>0とおくと
    ]a−ε,a+ε[⊂A
    が成り立つ．よってA⊂Kは開集合である．
  2. 任意のb∈Bに対して，b′∈Bであってb′<bを満たすものが存在するので，ε:=b−b′>0とおくと
    ]b−ε,b+ε[⊂B
    が成り立つ．よってB⊂Kは開集合である．

ところがこれはKが連結であることに反する．

実数体の非空部分集合I⊂Rについて，次は同値である：

  1. Iは区間である；
  2. Iは連結である；
  3. 任意のx,y∈I,x≤y,に対して[x,y]⊂Iが成り立つ．

(i)⟹(ii)

定理よりしたがう．

(ii)⟹(iii)

x,y∈I,x≤y,であって[x,y]⊄Iなるものが存在したとし，z∈[x,y]∖Iを取る．このとき
V:=R<z∩I, W:=R>z∩I
とおくと，V,W⊂Iは交わらない非空開集合であってI=V∪Wが成り立つ．ところがこれはIが連結であることに反する．

(iii)⟹(i)

a∈Iを取る．I≠{a}=[a,a]としてよい．　

  1. Iが上にも下にも有界でないとき：x∈Rとする．
    1. x≥aのとき，a′∈Iであってa≤x<a′なるものが存在するので，x∈[a,a′]⊂Iが成り立つ．
    2. x≤aのとき，a″∈Iであってa″<x≤aなるものが存在するので，x∈[a″,a]⊂Iが成り立つ．
    3. したがってI=Rが成り立つ．
  2. Iが上に有界だが下に有界でないとき：α+:=supI∈Rとおき，x∈R<α+とする．
    1. x≥aのとき，a′∈Iであってa≤x<a′なるものが存在するので，x∈[a,a′]⊂Iが成り立つ．
    2. x≤aのとき，a″∈Iであってa″<x≤aなるものが存在するので，x∈[a″,a]⊂Iが成り立つ．
    3. したがってR<α+⊂I⊂R≤α+が成り立つ．
  3. Iが上に有界でなく下に有界であるとき：α−:=infI∈Rとおき，x∈R>α−とする．
    1. x≥aのとき，a′∈Iであってa≤x<a′なるものが存在するので，x∈[a,a′]⊂Iが成り立つ．
    2. x≤aのとき，a″∈Iであってa″<x≤aなるものが存在するので，x∈[a″,a]⊂Iが成り立つ．
    3. したがってR>α−⊂I⊂R≥α−が成り立つ．
  4. Iが上にも下にも有界であるとき：α+:=supI∈R,α−:=infI∈Rとおき，x∈]α−,α+[とする．
    1. x≥aのとき，a′∈Iであってa≤x<a′なるものが存在するので，x∈[a,a′]⊂Iが成り立つ．
    2. x≤aのとき，a″∈Iであってa″<x≤aなるものが存在するので，x∈[a″,a]⊂Iが成り立つ．
    3. したがって]α−,α+[⊂I⊂[α−,α+]が成り立つ．

実数体の一意性

D, T, LUB (GLB), Ar+CCC, Ar+NIP, BMS (BMS'), HB, BW, IVT, EVTのいづれか（したがってすべて）が成り立つ順序体は互いに同型である．

KをLUBが成り立つ順序体とする．このとき，順序体の埋め込みψK:Q→KがR上の同型に持ち上がることを示す：
Q⊂ψKRK.

各x∈Rに対して
Q<x:={q∈Q∣q<x}⊂R
を考えると，
⌊x⌋−1∈Q<x, ⌊x⌋+1∈Q∩U(Q<x)
および
∀q∈Q<x, ψK(q)<ψK(⌊x⌋+1)
より，
ψK(Q<x)⊂K
は上に有界な非空部分集合である．したがって写像ΨK:R→Kが
ΨK(x):=supψK(Q<x)
により定まる．

ΨKは順序<を保つ

x,y∈R,x<y,とする．このときQ<x⊂Q<yよりψK(Q<x)⊂ψK(Q<y)となるので
ΨK(x)≤ΨK(y)
が成り立つ．いまQ⊂Rは稠密なので，q,q′∈Qであって
x<q<q′<y
を満たすものが存在する．したがって
ΨK(x)=supψK(Q<x)≤ψK(q)<ψK(q′)≤ΨK(y)
が成り立つ．

ΨK|Q=ψKが成り立つ

q∈Qとする．このとき
∀q′∈Q<q, ψK(q′)<ψK(q)
よりΨK(q)≤ψK(q)が成り立つ．ここで，ΨK(q)<ψK(q)とすると，ψK(Q)⊂Kの稠密性よりq′∈Qであって
ΨK(q)<ψK(q′)<ψK(q)
なるものが存在するが，このときq′∈Q<qより
ψK(q′)≤ΨK(q)<ψK(q′)
となり不合理である．

前段と合わせて
0<x⟹0K<ΨK(x)
が成り立つことに注意する．

ΨKは和を保つ

x,y∈Rとする．任意の(q,q′)∈Q<x×Q<yに対して，q+q′∈Q<x+yより
ψK(q)+ψK(q′)=ψK(q+q′)≤ΨK(x+y)
が成り立つので，
ΨK(x)+ΨK(y)≤ΨK(x+y)
が成り立つ．等号が成り立たないとすると，ψK(Q)⊂Kの稠密性よりq∈Qであって
ΨK(x)+ΨK(y)<ψK(q)<ΨK(x+y)
を満たすものが存在するが，このq∈Q<x+yに対してq′∈Qであってq−x<q′<yを満たすものが存在する．ところがこのとき，(q−q′,q′)∈Q<x×Q<yより
ψK(q)=ψK((q−q′)+q′)=ψK(q−q′)+ψK(q′)≤ΨK(x)+ΨK(y)<ψK(q)
となり不合理である．

ΨKは積を保つ

x,y∈Rとする．xy=0のときは
ΨK(xy)=0K=ΨK(x)ΨK(y)
が成り立つので，以下，xy≠0とする．また，前段より
∀r∈R, ΨK(−r)=−ΨK(r)
が成り立つので，x,y>0としてよい．このときΨK(x),ΨK(y),ΨK(xy)>0Kに注意する．

q∈Q<xyとする．

  • q≤0のときは明らかに
    ψK(q)≤ψK(0)=0K<ΨK(x)ΨK(y)
    が成り立つ．
  • q>0のときは，q′∈Qであって0<q/x<q′<yを満たすものが存在するので，(q/q′,q′)∈Q<x×Q<yより
    ψK(q)=ψK(q/q′)ψK(q′)≤ΨK(x)ψK(q′)≤ΨK(x)ΨK(y)
    が成り立つ．

したがって
ΨK(xy)≤ΨK(x)ΨK(y)
が成り立つ．等号が成り立たないとすると，q∈Qであって
ΨK(xy)<ψK(q)<ΨK(x)ΨK(y)
を満たすものが存在する．このときψK(q)/ΨK(x)<supψK(Q<y)よりq′∈Q<yであって
0K<ψK(q)ΨK(x)<ψK(q′)
を満たすものが存在する．さらに
ψK(q/q′)=ψK(q)ψK(q′)<ΨK(x)=supψK(Q<x)
よりq/q′∈Q<xである．ところがこのとき，q′,x>0より
q=qq′q′<xq′<xy,
したがって
ψK(q)≤ΨK(xy)<ψK(q)
となり不合理である．

ΨKは全射である

xK∈Kとする．いまq,q′∈Qであって
ψK(q)=⌊xK⌋−1K<xK<⌊xK⌋+1K=ψK(q′)
を満たすものが存在するので，上に有界な非空部分集合
{q∈Q∣ψK(q)<xK}⊂R
の最小上界が定まる．それをx∈Rとおき，以下ΨK(x)=xKが成り立つことを示す．

任意のq∈Q<xに対して，q′∈Qであって
q<q′, ψK(q′)<xK
を満たすものが存在するので，
ψK(q)<xK
が成り立つ．したがって
ΨK(x)=supψK(Q<x)≤xK
が成り立つ．ここで等号が成り立たないとすると，ψK(Q)⊂Kの稠密性よりq∈Qであって
ΨK(x)<ψK(q)<xK
を満たすものが存在するが，x∈Rの定義よりq≤x，したがって
ψK(q)=ΨK(q)≤ΨK(x)<ψK(q)
が成り立つことになり不合理である．

上で構成したΨKがただ一つの同型写像である．実際，Ψ:R→Kを順序体の同型写像とすると，

  1. Ψ|Z:Z→Kは環準同型なのでΨ|Z=φKが成り立つ．
  2. したがってΨ|Q=ψKが成り立つ．
  3. x∈RについてΨ(x)<ΨK(x)が成り立つとすると，q∈Qであって
    Ψ(x)<ψK(q)<ΨK(x)
    を満たすものが存在するが，このときx<q<xとなり不合理である．
  4. 同様にΨK(x)<Ψ(x)も成り立たない．

Rの（体としての）自己同型は恒等写像のみである．

f:R→Rを体の自己同型とする．いま（φR=idZRより）ΨR=idRであるから，fが順序<を保つことを示せばよい．

そこでx,y∈R,x<y,とする．このとき
0⋅0=0<y−x<(max{y−x,1}+1)⋅(max{y−x,1}+1)
より，z∈R>0であってzz=y−xなるものが存在する（ことが“無理数”の存在を証明したときと同様にしてわかる）．したがって
f(y)−f(x)=f(y−x)=f(zz)=f(z)f(z)>0,
すなわちf(x)<f(y)が成り立つ．

更新履歴

2024/09/01：補題23の証明を少し書き直しました．

参考文献

[1]
M. Deveau and H. Teismann, 72 + 42 : Characterizations of the Completeness and Archimedean Properties of Ordered Fields, Real Anal. Exchange
[2]
P. R. Halmos, Naive Set Theory
[3]
E. Landau, Foundations of Analysis
[4]
E. Landau, Differential and Integral Calculus
[5]
S. MacLane and G. Birkhoff, Algebra
[6]
K. R. Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis
[7]
彌永昌吉，小平邦彦, 『現代数学概説 I』, 岩波書店
[8]
Mathematics Stack Exchange, 閲覧日 2024年5月29日, https://math.stackexchange.com/
投稿日：2024年6月5日
更新日：2024年9月1日
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うすい
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位相空間論に興味があります．

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実数の連続性についての覚書
  1. 順序体
  2. 順序体
  3. 順序体上の“距離”
  4. $\mathbb{R} \leadsto \mathbb{N} \leadsto \mathbb{Z} \leadsto \mathbb{Q}$
  5. 実数体
  6. 自然数
  7. 再帰的定義
  8. 有限集合
  9. 整数環
  10. 有理数体
  11. 有理数体の順序体への埋め込み
  12. 実数の連続性
  13. 最小上界・最大下界
  14. Archimedes性と完備性
  15. 有界単調数列
  16. コンパクト性
  17. 連続写像の値域
  18. まとめ
  19. 補足：連結性について
  20. 実数体の一意性
  21. 更新履歴
  22. 参考文献