0F1の3乗のMaclaurin展開
前の記事
で${}_0F_1$の4乗のMaclaurin展開の係数が満たす3項漸化式を求めた. 今回は${}_0F_1$の3乗のMaclaurin展開について考えたいと思う.
前の記事
で用いた
\begin{align}
\F01{-}{a}{x}^2=\F12{a-\frac 12}{a,2a-1}{4x}
\end{align}
を今回も用いると,
\begin{align}
\F01{-}{a}{x}^3&=\F12{a-\frac 12}{a,2a-1}{4x}\F01{-}{a}x\\
&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{\left(a-\frac 12\right)_k}{k!(a,2a-1)_k(n-k)!(a)_{n-k}}4^k\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{n!(a)_n}\F32{-n,a-\frac 12,1-n-a}{2a-1,a}4
\end{align}
を得る. ここで,
前の記事
の系3より
\begin{align}
\F32{-n,a-\frac 12,1-n-a}{2a-1,a}4&=\frac{\left(3a-2\right)_{3n}}{(a)_n\left(3a-2\right)_{2n}}\F43{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,1-n-a}{a,\frac 43-n-a,\frac 53-n-a}1
\end{align}
となる. ここで,
Whippleの${}_7F_6$変換公式
を用いると
\begin{align}
&\F43{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,1-n-a}{a,\frac 43-n-a,\frac 53-n-a}1\\
&=\frac{\Gamma\left(2-n-a\right)\Gamma\left(\frac{5-n}3-a\right)\Gamma\left(\frac{4-n}3-a\right)\Gamma\left(\frac{3-n}3-a\right)}{\Gamma\left(\frac{6-2n}3-a\right)\Gamma\left(\frac{5-2n}3-a\right)\Gamma\left(\frac{4-2n}3-a\right)\Gamma(1-a)}\\
&\qquad\cdot\F76{1-n-a,\frac{3-n-a}2,\frac 13,\frac 23,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac{1-n-a}2,\frac 43-n-a,\frac 53-n-a,\frac{6-2n}3-a,\frac{5-2n}3-a,\frac{4-2n}3-a}1\\
&=3^{1-n}\frac{\Gamma\left(2-n-a\right)\Gamma(3-3a-n)}{\Gamma\left(4-3a-2n\right)\Gamma(1-a)}\F76{1-n-a,\frac{3-n-a}2,\frac 13,\frac 23,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac{1-n-a}2,\frac 43-n-a,\frac 53-n-a,\frac{6-2n}3-a,\frac{5-2n}3-a,\frac{4-2n}3-a}1\\
&=3^{1-n}\frac{(1-a)_{1-n}}{(3-3a-n)_{1-n}}\F76{1-n-a,\frac{3-n-a}2,\frac 13,\frac 23,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac{1-n-a}2,\frac 43-n-a,\frac 53-n-a,\frac{6-2n}3-a,\frac{5-2n}3-a,\frac{4-2n}3-a}1\\
&=3^{1-n}\frac{(3a+n-2)_{n-1}}{(a)_{n-1}}\F76{1-n-a,\frac{3-n-a}2,\frac 13,\frac 23,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac{1-n-a}2,\frac 43-n-a,\frac 53-n-a,\frac{6-2n}3-a,\frac{5-2n}3-a,\frac{4-2n}3-a}1
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\F32{-n,a-\frac 12,1-n-a}{2a-1,a}4\\
&=\frac{\left(3a-2\right)_{3n}}{(a)_n\left(3a-2\right)_{2n}}3^{1-n}\frac{(3a+n-2)_{n-1}}{(a)_{n-1}}\F76{1-n-a,\frac{3-n-a}2,\frac 13,\frac 23,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac{1-n-a}2,\frac 43-n-a,\frac 53-n-a,\frac{6-2n}3-a,\frac{5-2n}3-a,\frac{4-2n}3-a}1\\
&=\frac{3^{1-n}\left(3a-2\right)_{3n}(a+n-1)}{(a)_n^2(3a-2)_n(3a+2n-3)}\F76{1-n-a,\frac{3-n-a}2,\frac 13,\frac 23,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac{1-n-a}2,\frac 43-n-a,\frac 53-n-a,\frac{6-2n}3-a,\frac{5-2n}3-a,\frac{4-2n}3-a}1
\end{align}
を得る. まとめると以下のような表示が得られる.
\begin{align} \F01{-}{a}{x}^3&=\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{n!(a)_n}\F32{-n,a-\frac 12,1-n-a}{2a-1,a}4\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{\left(3a-2\right)_{3n}}{n!(a)_n^2\left(3a-2\right)_{2n}}x^n\F43{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,1-n-a}{a,\frac 43-n-a,\frac 53-n-a}1\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{3^{1-n}\left(3a-2\right)_{3n}(a+n-1)}{n!(a)_n^3(3a-2)_n(3a+2n-3)}x^n\F76{1-n-a,\frac{3-n-a}2,\frac 13,\frac 23,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac{1-n-a}2,\frac 43-n-a,\frac 53-n-a,\frac{6-2n}3-a,\frac{5-2n}3-a,\frac{4-2n}3-a}1 \end{align}
係数が満たす漸化式
定理1のMaclaurin展開係数はbalanced${}_4F_3$で書けているので, 3項漸化式を満たすことが分かる. 定理1の1つ目の表示にZeilbergerのアルゴリズムを用いると以下の漸化式を得る.
\begin{align}
\F01{-}{a}{x}^3&=\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{n!(a)_n}A_n
\end{align}
となる
\begin{align}
A_n=\F32{-n,a-\frac 12,1-n-a}{2a-1,a}4
\end{align}
は以下の漸化式を満たす.
\begin{align}
(n+2a-1)(n+3a-2)A_{n+1}-(10n^2+30an-20n+18a^2-21a+6)A_n+9n(n+a-1)A_n=0&&n\geq 0
\end{align}
ただし, 形式的に$A_{-1}=$とする.
特に$a=1$の場合の
\begin{align}
A_n=\F32{-n,-n,\frac 12}{1,1}4&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k
\end{align}
は
Zagier's sporadic sequences
の1つで, これが満たす漸化式は
\begin{align}
(n+1)^2A_{n+1}-(10n^2+10n+3)A_n+9n^2A_n=0
\end{align}
となる.
前の記事
の記事で得た漸化式と合わせて, ${}_0F_1$の3乗, 4乗のMaclaurin展開係数が3項漸化式を満たすということが分かったが, さらに高いべきの場合はどのようになっているのかも気になるところである. Almkvist-Enckevort-Straten-ZudilinによるTable of Calabi-Yau equationsによれば,
\begin{align}
\F01{-}1{x}^5,\F01{-}1{x}^6
\end{align}
の係数はともに4項漸化式を満たすようである. よって, 一般の5乗, 6乗の場合の${}_0F_1$も4項漸化式を満たすと期待できるのではないかと思われる.
