col関数
col関数は以下のように定義される関数である. この記事ではこの関数に関する基本的な結果をまとめようと思う.
$k\in\ZZ$に対し,
\begin{align}
\col_{N,k}(x):=\sum_{\substack{0\leq n\\n\equiv k\,\mathrm{mod}\,N}}\frac{x^n}{n!}
\end{align}
と定義する.
これは以下のように, $N$が$1$のとき指数関数であり, $N$が$2$のとき双曲線関数になる.
\begin{align}
\exp(x)&=\col_{1,0}(x)\\
\cosh(x)&=\col_{2,0}(x)\\
\sinh(x)&=\col_{2,1}(x)
\end{align}
定義から$k\equiv l\pmod N$ならば $\col_{N,k}(x)=\col_{N,l}(x)$である. 特に$0\leq k< N$の場合は
\begin{align}
\col_{N,k}(x)&=\sum_{0\leq n}\frac{x^{Nn+k}}{(Nn+k)!}
\end{align}
と表される.
離散Fourier変換
$\zeta_N$を1の原始$N$乗根とする. 以下は離散Fourier変換の例である.
$M,N$を自然数, $L$を$M,N$の最小公倍数とするとき,
\begin{align}
\col_{L,k}(x)&=\frac 1N\sum_{n=0}^{N-1}\zeta^{-nk}_N\col_{M,k}(\zeta^n_Nx)
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\frac 1N\sum_{n=0}^{N-1}\zeta^{nm}_N&=\begin{cases}
1\qquad m\equiv 0\pmod N\\
0\qquad\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
であることを用いると, 右辺は
\begin{align}
\frac 1N\sum_{n=0}^{N-1}\zeta^{-nk}_N\col_{M,k}(\zeta^n_Nx)&=\frac 1N\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{\substack{0\leq m\\m\equiv k\,\mathrm{mod}\, M}}\frac{x^m}{m!}\zeta^{n(m-k)}\\
&=\sum_{\substack{0\leq m\\m\equiv k\,\mathrm{mod}\, M}}\frac{x^m}{m!}\frac 1N\sum_{n=0}^{N-1}\zeta^{n(m-k)}\\
&=\sum_{\substack{0\leq m\\m\equiv k\,\mathrm{mod}\, M\\m\equiv k\,\mathrm{mod}\, N}}\frac{x^m}{m!}\\
&=\sum_{\substack{0\leq m\\m\equiv k\,\mathrm{mod}\, L}}\frac{x^m}{m!}\\
&=\col_{L,k}(x)
\end{align}
となって示される.
特に, $M=1$として以下を得る.
\begin{align} \col_{N,k}(x)&=\frac 1N\sum_{n=0}^{N-1}\zeta^{-nk}_N\exp(\zeta^n_Nx) \end{align}
類似として以下のような等式も得られる.
$M,N$を自然数とするとき,
\begin{align}
\col_{M,k}(x)&=\sum_{l=0}^{N-1}\col_{MN,k+Ml}(x)
\end{align}
が成り立つ.
まず,
\begin{align}
\col_{M,k}(x)&=\sum_{0\leq m}\frac{x^{Mm+k}}{(Mm+k)!}\\
&=\sum_{l=0}^{N-1}\sum_{0\leq m}\frac{x^{M(Nm+l)+k}}{(M(Nm+l)+k)!}\\
&=\sum_{l=0}^{N-1}\col_{MN,k+Ml}(x)
\end{align}
である.
命題2において, $x\mapsto \zeta_{MN}x$とすると
\begin{align}
\col_{M,k}(\zeta_{MN}^nx)&=\sum_{l=0}^{N-1}\zeta_{MN}^{nk}\col_{MN,k+Ml}(x)
\end{align}
を得る. 特に$M=1$とすると以下の系を得る.
\begin{align} \exp(\zeta_N^nx)&=\sum_{k=0}^{N-1}\zeta_N^{nk}\col_{N,k}(x) \end{align}
微分方程式
$\col$関数の微分は
\begin{align}
\frac{d}{dx}\col_{N,k}(x)&=\frac{d}{dx}\sum_{\substack{0\leq n\\n\equiv k\,\mathrm{mod}\,N}}\frac{x^n}{n!}\\
&=\sum_{\substack{1\leq n\\n\equiv k\,\mathrm{mod}\,N}}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\\
&=\sum_{\substack{0\leq n\\n\equiv k-1\,\mathrm{mod}\,N}}\frac{x^{n}}{n!}\\
&=\col_{N,k-1}(x)
\end{align}
となる. よって, $N$回微分すると
\begin{align}
\left(\frac{d}{dx}\right)^N\col_{N,k}(x)&=\col_{N,k-N}(x)=\col_{N,k}(x)
\end{align}
となる. つまり$\col_{N,k}(x)$は微分方程式
\begin{align}
\left(\frac{d}{dx}\right)^Nf=f
\end{align}
の解であり, $\col_{N,0}(x),\dots,\col_{N,N-1}(x)$は定義から$\CC$上線形独立であるからこれらがこの微分方程式の基本解を与える.
加法定理
次に, 加法定理を示す. それは以下のようなもので, なしゃ氏 によって最初に示されたらしい.
\begin{align} \col_{N,k}(x+y)&=\sum_{j=0}^{N-1}\col_{N,j}(x)\col_{N,k-j}(y) \end{align}
まず, $\col_{N,k}(x+y)$は微分方程式
\begin{align}
\left(\frac{d}{dx}\right)^Nf=f
\end{align}
の解である. よって, $x$によらない$c_0(y),\dots,c_{N-1}(y)$があって
\begin{align}
\col_{N,k}(x+y)&=\sum_{j=0}^{N-1}c_j(y)\col_{N,j}(x)
\end{align}
と表される. 両辺を$l$階微分してから$x=0$とすると,
\begin{align}
\col_{N,k-l}(y)&=c_l(y)
\end{align}
を得る.
二項定理より,
\begin{align}
\col_{N,k}(x+y)&=\sum_{\substack{0\leq m\\m\equiv k\,\mathrm{mod}\, N}}\frac{(x+y)^m}{m!}\\
&=\sum_{\substack{0\leq a,b\\a+b\equiv k\,\mathrm{mod}\,N}}\frac{x^ay^b}{a!b!}\\
&=\sum_{j=0}^{N-1}\sum_{\substack{0\leq a,b\\a\equiv j\,\mathrm{mod} \,N\\b\equiv k-j\,\mathrm{mod} N}}\frac{x^ay^b}{a!b!}\\
&=\sum_{j=0}^{N-1}\col_{N,j}(x)\col_{N,k-j}(y)
\end{align}
と示される.
加法定理において, $x\mapsto \exp\left(\frac{2\pi in}N\right)x,\quad y\mapsto x$とすると,
\begin{align}
\col_{N,k}\left(\left(1+\exp\left(\frac{2\pi in}N\right)\right)x\right)&=\sum_{j=0}^{N-1}\exp\left(\frac{2\pi inj}{N}\right)\col_{N,j}(x)\col_{N,k-j}\left(x\right)
\end{align}
を得る. これは双曲線関数の場合などにおける倍角公式の一般化である. $n=2m$が偶数のとき, 上の式はさらに
\begin{align}
\col_{N,k}\left(\left(2\cos\frac{2\pi m}{N}\right)x\right)&=\sum_{j=0}^{N-1}\exp\left(\frac{2\pi im(2j-k)}{N}\right)\col_{N,j}(x)\col_{N,k-j}\left(x\right)
\end{align}
となる. 右辺を$j\mapsto k-j$としたものと足し合わせて2で割ると以下を得る.
$m$を整数とするとき,
\begin{align}
\col_{N,k}\left(\left(2\cos\frac{2\pi m}{N}\right)x\right)&=\sum_{j=0}^{N-1}\cos\left(\frac{2\pi m(2j-k)}{N}\right)\col_{N,j}(x)\col_{N,k-j}\left(x\right)
\end{align}
が成り立つ.
$n$が奇数の場合についても同じような公式を与えるために次のような関数を用意しておくと便利である.
\begin{align}
\col_{N,k}^*(x):=\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nx^{Nn+k}}{(Nn+k)!}
\end{align}
ただし, 負の整数$n$に対しては$\frac 1{n!}=0$と約束する.
これは三角関数の類似であり, $\col$関数を用いて
\begin{align}
\col_{N,k}^*(x)&=\col_{2N,k}(x)-\col_{2N,N+k}(x)
\end{align}
と書くことができる. このとき,
\begin{align}
\col_{N,k}(e^{\frac{\pi i}{N}}x)&=e^{\frac{\pi ik}N}\col_{N,k}^*(x)
\end{align}
が成り立つことが分かる. よって,
\begin{align}
\col_{N,k}\left(\left(1+\exp\left(\frac{2\pi in}N\right)\right)x\right)&=\sum_{j=0}^{N-1}\exp\left(\frac{2\pi inj}{N}\right)\col_{N,j}(x)\col_{N,k-j}\left(x\right)
\end{align}
において, $n=2m+1$のとき, 上と同様に以下を得る.
$m$を整数とするとき,
\begin{align}
\col_{N,k}^*\left(\left(2\cos\frac{\pi(2m+1)}N\right)x\right)&=\sum_{j=0}^{N-1}\cos\left(\frac{\pi(2m+1)(2j-k)}{N}\right)\col_{N,j}(x)\col_{N,k-j}\left(x\right)
\end{align}
が成り立つ.
積和の公式
\begin{align} \col_{N,k}(x)\col_{N,l}(y)&=\frac 1N\sum_{n=0}^{N-1}\zeta_N^{-kn}\col_{N,k+l}(\zeta_N^nx+y) \end{align}
加法定理において, $k\mapsto k+l,\quad x\mapsto \zeta_N^nx$として,
\begin{align}
\col_{N,k+l}(\zeta_N^nx+y)&=\sum_{j=0}^{N-1}\zeta_N^{nj}\col_{N,j}(x)\col_{N,k+l-j}(y)
\end{align}
これより,
\begin{align}
\frac 1N\sum_{n=0}^{N-1}\zeta_N^{-kn}\col_{N,k+l}(\zeta_N^nx+y)&=\sum_{j=0}^{N-1}\col_{N,j}(x)\col_{N,k+l-j}(y)\frac 1N\sum_{n=0}^{N-1}\zeta_N^{n(j-k)}\\
&=\col_{N,k}(x)\col_{N,l}(y)
\end{align}
を得る.
じゅんにー氏の記事 で$\col$関数の関係式が示されているが, 上の定理4を用いればさらに拡張できるかもしれない.
和積の公式の方はあるのかどうかがよくわからない.
$n$倍角の公式
加法定理を繰り返し使うことによって, $n$倍角の公式は存在することが分かるが, それが明示的にどのように書けるのかは難しい問題かもしれない. 系1の式
\begin{align}
\col_{N,k}(x)&=\frac 1N\sum_{j=0}^{N-1}\zeta^{-jk}_N\exp(\zeta^j_Nx)
\end{align}
において$x\mapsto nx$として$n$に関して母関数を考えると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\col_{N,k}(nx)t^n&=\frac 1N\sum_{j=0}^{N-1}\frac{\zeta_{N}^{-jk}}{1-t\exp(\zeta_N^jx)}
\end{align}
という形の有理関数を得る. これを通分すると, 分母には
\begin{align}
\prod_{j=0}^{N-1}\left(1-t\exp(\zeta_N^jx)\right)
\end{align}
という形の多項式が現れるのでこの係数の$\col$関数による明示式を求めるという問題に帰着する. 一方, 一般の場合に通分したときの分子をどのように求めるのかについては今のところアイデアがない.
加法定理より, $\col$関数の場合, $n$倍角だけでなく一般に$\sum_{j=0}^{N-1}n_j\zeta^j_N$倍角の公式も存在することが分かるが, $N$が小さい場合などでその明示式を探ってみるというのは面白い問題かもしれない.
巡回行列式
よく知られているように, 巡回行列式は以下のような因数分解を持つ.
\begin{align}
\left|\begin{matrix}x_0 &x_1&\cdots &x_{N-1}\\x_{N-1}&x_0&\cdots &x_{N-2}\\\vdots &\vdots&&\vdots\\x_1&x_2&\cdots &x_0\end{matrix}\right|=\prod_{j=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}\zeta_N^{jk}x_k
\end{align}
ここに$x_k=\col_{N,k}(x)$として系2を用いると, 右辺が
\begin{align}
\prod_{j=0}^{N-1}\exp(\zeta_N^jx)=1
\end{align}
となり, 以下を得る.
\begin{align} \left|\begin{matrix}\col_{N,0}(x) &\col_{N,1}(x)&\cdots &\col_{N,N-1}(x)\\\col_{N,N-1}(x)&\col_{N,0}(x)&\cdots &\col_{N,N-2}(x)\\\vdots &\vdots&&\vdots\\\col_{N,1}(x)&\col_{N,2}(x)&\cdots &\col_{N,0}(x)\end{matrix}\right|=1 \end{align}
これは双曲線関数の場合における
\begin{align}
\cosh^2x-\sinh^2x=1
\end{align}
の一般化である.
代数関係式の個数
相異なる$a_1,\dots,a_k$に対し$e^{a_1x},\dots,e^{a_kx}$は線形独立であるから, それらの本質的な代数関係式の個数は
\begin{align}
n_1a_1+\cdots+n_ka_k=0
\end{align}
となるような$(n_1,\dots,n_k)$が本質的にいくつあるか, つまり$a_1,\dots,a_k$が$\QQ$上何次元のベクトル空間であるかを見ることによって理解できる. $\col$関数の間の代数関係式が本質的にいくつかあるかは$e^{\zeta_n^kx}$の間の代数関係式が本質的にいくつあるかを考えればよく, $\QQ(\zeta_N)$の$\QQ$上の次元はEulerの$\varphi$関数を用いて$\varphi(N)$と表されることが知られている. これの意味するところは$\col_{N,0}(x),\dots,\col_{N,N-1}(x)$の$\QQ$上の超越次数が$\varphi(N)$であるということである. $N$が素数の場合は$\varphi(N)=N-1$であるから定理5が$\col_{N,0}(x),\dots,\col_{N,N-1}(x)$の間の本質的に唯一の代数関係式であるが, 例えば$N=6$の場合, $\varphi(N)=2$であるから, 本質的に$4$つの代数関係式があることになる.
一方がもう一方の約数になっている場合など, 異なる$N$に関する$\col$関数の間の代数関係式についても考えてみると面白いかもしれない.
