col関数の関係式

col関数,三色関数

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この記事は col関数を前提に書きます.

上の記事の定理 $6$ の一般化について考えたので書いてみます.(一応定理 $6$ の発見者です)まずは元の定理を載せておきます.

$\sum_{k = 0}^{n - 1} {col}_{n, k}^{2} x = \sum_{k = 0}^{n - 1} e^{2 x \cos \frac{2 k π}{n}}$

これを一般化した式が以下です. $a_{k} = \frac{1}{n}$ とすると定理 $1$ が得られます.

$\sum_{k = 0}^{n - 1} {(\sum_{l = 0}^{n - 1} a_{l} ζ_{n}^{k l} e^{ζ_{n}^{l} x})}^{2} = n \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} a_{n - k} e^{2 x \cos \frac{2 k π}{n}}$
ここで ${a_{k}}$ は複素数列(複素関数でも良い)で $a_{n} = a_{0}$ とする.また $ζ_{n} = e^{\frac{2 π i}{n}}$ である.

途中で和の順番を変えることが鍵である.
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n - 1} {(\sum_{l = 0}^{n - 1} a_{l} ζ_{n}^{k l} e^{ζ_{n}^{l} x})}^{2} & = \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{i = 0}^{n - 1} \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{i} a_{j} ζ_{n}^{k (i + j)} e^{(ζ_{n}^{i} + ζ_{n}^{j}) x} \\ = \sum_{i = 0}^{n - 1} \sum_{j = 0}^{n - 1} \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{i} a_{j} ζ_{n}^{k (i + j)} e^{(ζ_{n}^{i} + ζ_{n}^{j}) x} \\ = n \sum_{i = 0}^{n - 1} \sum_{0 \leq j \leq n - 1, n | i + j} a_{i} a_{j} e^{(ζ_{n}^{i} + ζ_{n}^{j}) x} \\ = n \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} a_{n - i} e^{(ζ_{n}^{i} + ζ_{n}^{n - i}) x} \\ = n \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} a_{n - k} e^{2 x \cos \frac{2 k π}{n}} \end{aligned}$
よって示された.