col関数の関係式
この記事は col関数 を前提に書きます.
上の記事の定理$6$の一般化について考えたので書いてみます.(一応定理$6$の発見者です)まずは元の定理を載せておきます.
$$\sum_{k=0}^{n-1}\mathrm{col}_{n,k}^2x=\sum_{k=0}^{n-1}e^{2x\cos\frac{2k\pi}{n}}$$
これを一般化した式が以下です.$a_k=\displaystyle\frac1n$とすると定理$1$が得られます.
$$\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sum_{l=0}^{n-1}a_l\zeta_n^{kl}e^{\zeta_n^lx}\right)^2=n\sum_{k=0}^{n-1}a_ka_{n-k}e^{2x\cos\frac{2k\pi}{n}}$$
ここで$\{a_k\}$は複素数列(複素関数でも良い)で$a_n=a_0$とする.また$\zeta_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$である.
途中で和の順番を変えることが鍵である.
$\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sum_{l=0}^{n-1}a_l\zeta_n^{kl}e^{\zeta_n^lx}\right)^2&=\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_ia_j\zeta_n^{k(i+j)}e^{(\zeta_n^i+\zeta_n^j)x}\\
&=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}a_ia_j\zeta_n^{k(i+j)}e^{(\zeta_n^i+\zeta_n^j)x}\\
&=n\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{0\leq j\leq n-1,\ n|i+j}a_ia_je^{(\zeta_n^i+\zeta_n^j)x}\\
&=n\sum_{i=0}^{n-1}a_ia_{n-i}e^{(\zeta_n^i+\zeta_n^{n-i})x}\\
&=n\sum_{k=0}^{n-1}a_ka_{n-k}e^{2x\cos\frac{2k\pi}{n}}
\end{align}$
よって示された.
$\mathrm{col}$関数の表現論的考察が出来たら楽しそうですね.僕はガロア理論を適用しようとして失敗したので気になります.