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(イ) $\langle\kp(f),f_1,f_2\rangle$を$f\colon a\to b$の核対とし，$e\colon a\to c$を$f_1,f_2$の余等化子とする((R1)により存在する)．$f\circ f_1=f\circ f_2$であるから，$f=m\circ e$なる$m\colon c\to b$が存在する．$m$がモノであることを示すため，$m$の核対が等しいことを示す．そのため引き戻しからなる図式
\begin{xy}\xymatrix{ \kp(f) \ar[r]^\beta\ar[d]_\alpha \ar `u[r] `r[rr]^{f_2} [rr] \ar `l[d] `[dd]_{f_1} [dd] &\kp(m)\times_ca \ar[r]^{\pi_2}\ar[d]_{\pi_1} &a \ar[d]^e\\ a\times_c\kp(m) \ar[r]_{\tau_2}\ar[d]_{\tau_1} &\kp(m) \ar[r]_{p_2}\ar[d]_{p_1} &c \ar[d]^m\\ a \ar[r]_e &c \ar[r]_m &b }\end{xy}
を考える．貼り合わせ原理から，左上は$\kp(f)$であり，$\pi_2\circ\beta=f_2$, $\tau_1\circ\alpha=f_1$としてよい．また(R2)により$\pi_1,\alpha,\tau_2,\beta$は正則エピであるから，$\varphi:=\pi_1\circ\beta=\tau_2\circ\alpha$はエピである．このとき
\begin{align} p_1\circ\varphi=e\circ\tau_1\circ\alpha=e\circ f_1=e\circ f_2=p_2\circ\varphi \end{align}
が成り立つ．従って$p_1=p_2$を得，$m$がモノと分かった．
(ロ) 一意性のため，別の(正則エピ，モノ)分解$f=m'\circ e'$を考える．このとき可換四角形
\begin{xy}\xymatrix{ a \ar[r]^e\ar[d]_{e'} &c \ar[d]^m\ar@{.>}[ld]^t\\ c' \ar[r]_{m'} &b }\end{xy}
を得るが，正則エピは強エピ(epis, 命題6)であるから充填$t\colon c\to c'$を得る．$m=m'\circ t$から$t$はモノであり，$e'$は極大エピであるから$t$は同型である．よって(ロ)が示された．

$f$の(正則エピ，モノ)分解を
\begin{xy}\tag{1}\label{em}\xymatrix{ a \ar[r]^e &c \ar[r]^m &b }\end{xy}
とし，別の任意の分解$a\xrightarrow{e'}c'\xrightarrow{m'}b$をとる．
\begin{xy}\xymatrix{ a \ar[r]^e\ar[d]_{e'} &c \ar[d]^m\ar@<2pt>@{.>}[ld]^t\\ c' \ar[r]_{m'}\ar@<2pt>@{.>}[ru]^s &b }\end{xy}
$m'$がモノのとき，$e$が強エピであるから充填$t\colon c\to c'$が存在し，\eqref{em}が像分解を与えることがわかる．$e'$が正則エピのとき，$m$がモノであるから充填$s\colon c'\to c$が存在して，\eqref{em}が正則余像分解を与えることがわかる．

$\C$は引き戻しを持つので，epis, 命題6により極大エピと強エピは一致する．$f$を強エピとし，その像分解$f=m\circ e$を考える．$m$はモノで$f$は極大エピであるから，$m$は同型であり，$f$は正則エピである．

(イ)，(ロ)は定理1系2とepis, 命題5により成り立つ．
(ハ)
\begin{xy}\xymatrix{ a\times b \ar[r]^{f\times b}\ar[d]_{\mathsf{pr}_1} &x\times b \ar[d]^{\mathsf{pr}_1}\\ a \ar[r]_f &x }\end{xy}
が引き戻しであり，正則エピは引き戻しで保たれる(R2)から，$f\times b$は正則エピである．同様に$x\times g$も正則エピであるから，(イ)により合成
\begin{align} f\times g=(x\times g)\circ(f\times b) \end{align}
も正則エピである．