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(イ) $⟨\mathsf{Eq}(f),f_1,f_2⟩$を$f:a\to b$の核対とし，$e:a\to c$を$f_1,f_2$の余等化子とする((R1)により存在する)．$f\circ f_1=f\circ f_2$であるから，$f=m\circ e$なる$m:c\to b$が存在する．$m$がモノであることを示すため，$m$の核対が等しいことを示す．そのため引き戻しからなる図式
$$\mathsf{Eq}(f)\beta \alpha f_2{f}_1\mathsf{Eq}(m){\times }_{c}a{\pi }_2{\pi }_{1}aea{\times }_c\mathsf{Eq}(m){\tau }_2{\tau }_1\mathsf{Eq}(m)p_2{p}_{1}cmaecmb$$
を考える．貼り合わせ原理から，左上は$\mathsf{Eq}(f)$であり，${\pi }_2\circ \beta =f_2$, ${\tau }_1\circ \alpha =f_1$としてよい．また(R2)により${\pi }_1,\alpha ,{\tau }_2,\beta$は正則エピであるから，$\phi :={\pi }_1\circ \beta ={\tau }_2\circ \alpha$はエピである．このとき
$$\begin{array}{r}{p}_1\circ \phi =e\circ {\tau }_1\circ \alpha =e\circ f_1=e\circ f_2=p_2\circ \phi \end{array}$$
が成り立つ．従って$p_1=p_2$を得，$m$がモノと分かった．
(ロ) 一意性のため，別の(正則エピ，モノ)分解$f=m^{\prime }\circ e^{\prime }$を考える．このとき可換四角形
$$ae{e}^{\prime }cmt{c}^{\prime }{m}^{\prime }b$$
を得るが，正則エピは強エピ(epis, 命題6)であるから充填$t:c\to c^{\prime }$を得る．$m=m^{\prime }\circ t$から$t$はモノであり，$e^{\prime }$は極大エピであるから$t$は同型である．よって(ロ)が示された．

$f$の(正則エピ，モノ)分解を
$$\begin{array}{}\text{(1)}& aecmb\end{array}$$
とし，別の任意の分解$a\stackrel{e^{\prime }}{\to }{c}^{\prime }\stackrel{m^{\prime }}{\to }b$をとる．
$$ae{e}^{\prime }cmt{c}^{\prime }{m}^{\prime }sb$$
$m^{\prime }$がモノのとき，$e$が強エピであるから充填$t:c\to c^{\prime }$が存在し，$\text{(1)}$が像分解を与えることがわかる．$e^{\prime }$が正則エピのとき，$m$がモノであるから充填$s:c^{\prime }\to c$が存在して，$\text{(1)}$が正則余像分解を与えることがわかる．

$\mathsf{C}$は引き戻しを持つので，epis, 命題6により極大エピと強エピは一致する．$f$を強エピとし，その像分解$f=m\circ e$を考える．$m$はモノで$f$は極大エピであるから，$m$は同型であり，$f$は正則エピである．

(イ)，(ロ)は定理1系2とepis, 命題5により成り立つ．
(ハ)
$$a\times bf\times b{\mathsf{pr}}_{1}x\times b{\mathsf{pr}}_{1}afx$$
が引き戻しであり，正則エピは引き戻しで保たれる(R2)から，$f\times b$は正則エピである．同様に$x\times g$も正則エピであるから，(イ)により合成
$$\begin{array}{r}f\times g=(x\times g)\circ (f\times b)\end{array}$$
も正則エピである．