通常の超幾何関数に対応するものは恐らくありません。
[ロジャース＝ラマヌジャン連分数](https://ja.wikipedia.org/wiki/ロジャース＝ラマヌジャン恒等式#ロジャース＝ラマヌジャン連分数)を系に含みます。

#定義
&&&def
|||
|:-|:-|
|$\hygeo r\phi s{\bm a}{\bm b}z$|[q超幾何級数](https://ja.wikipedia.org/wiki/Q超幾何級数)|
|$\displaystyle \Kfrac_{n=0}^\infty\frac{a_n}{b_n}$ |[連分数](http://www.kk62526.server-shared.com/pi/ContFrac.html)|
&&&

#定理
&&&thm
$|q|<1$
$\beginend{align}{
    f(z) \acoloneqq \hygeo2\phi1{a,b}0{q,z} \\
    \frac{f(qz)}{f(z)} &=
        \frac{1-z}{1-(a+b)z +
            \kfrac_{n=1}^\infty
                \frac{abq^{n-1}z\qty(1-q^nz)}{1-(a+b)q^nz}} \\&=
        \cfrac{1-z}
            {1-(a+b)z+\cfrac{abz(1-qz)}
            {1-(a+b)qz+\cfrac{abqz\qty(1-q^2z)}
            {1-(a+b)q^2z+\ddots}}}
}$
&&&

&&&prf
$\beginend{align}{
    f(z)-f(qz) &=
        \sum_{n=1}^\infty\frac{(a,b;q)_n}{(q;q)_n}(1-q^n)z^n =
        \sum_{n=1}^\infty\frac{(a,b;q)_n}{(q;q)_{n-1}}z^n \\&=
        \sum_{n=1}^\infty\frac{(a,b;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}\qty[1-(a+b)q^{n-1}+abq^{2n-2}]z^n \\&=
        z{\qty[f(z)-(a+b)f(qz)+abf{\qty(q^2z)}]} \\
    (1-z)f(z) &= [1-(a+b)z]f(qz)+abzf{\qty(q^2z)}
        \quad\cdots(1) \\
    (1-z)\frac{f(z)}{f(qz)} &= 1-(a+b)z+abz\frac{f{\qty(q^2z)}}{f(qz)} \\
    \frac{f(z)}{f(qz)} &= \frac{1-(a+b)z+abz\frac{f{\qty(q^2z)}}{f(qz)}}{1-z} \\
    \color{red}\frac{f(qz)}{f(z)} &= \frac{1-z}{1-(a+b)z+abz\color{red}\frac{f{\qty(q^2z)}}{f(qz)}} \\
	\asupplement{-5.6em}{{\color{red}強調}部分の再帰的代入。} \\&=
        \frac{1-z}{1-(a+b)z +
            \kfrac_{n=1}^\infty\frac{abq^{n-1}z\qty(1-q^nz)}{1-(a+b)q^nz}}
}$
&&&

これ自体はグラフの比較により成り立つことが確認できます。
実際$\displaystyle \lim_{n\to\infty} q^n=0, f(0)=1$であることを考慮すれば
$\displaystyle \lim_{N\to\infty} \frac{1-z}{1-(a+b)z +
    \kfrac_{n=1}^N
        \frac{abq^{n-1}z\qty(1-q^nz)}{1-(a+b)q^nz}} =
    \frac{f(qz)}{f(z)}$
は厳密に正しいことが証明できます。
関数方程式$(1)$は$f(z) \coloneqq \hygeo2\phi1{a,b}c{q,z}$に一般化でき、
$(1-z)f(z) = \qty[1+\dfrac cq-(a+b)z]f(qz)+\qty(abz-\dfrac cq)f{\qty(q^2z)}$
となり$c=0$で$(1)$に一致します。
グラフの比較によると、関数方程式は成り立つにも関わらず、
それに基づいた連分数は$c\neq0$で$\dfrac{f(qz)}{f(z)}$と一致しません。
また、この場合上記の厳密な証明も使えません。

&&&cor [ロジャース＝ラマヌジャン連分数](https://ja.wikipedia.org/wiki/ロジャース＝ラマヌジャン恒等式#ロジャース＝ラマヌジャン連分数) 定理1
$\beginend{align}{
    f(z) \acoloneqq
        \hygeo0\phi1{}0{q,z} =
        \sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n(n-1)}z^n}{(q;q)_n} \\
    \frac{f(qz)}{f(z)} &=
        \frac{1}{1 +
            \kfrac_{n=0}^\infty
                \frac{q^nz}1} \\&=
        \cfrac1
            {1+\cfrac z
            {1+\cfrac{qz}
            {1+\cfrac{q^2z}
            {1+\small\ddots}}}}
}$
&&&
&&&prf
$\displaystyle f(z)=
	\lim_{a\to\infty}\hygeo2\phi1{a,a}0{q,a^{-2}z}$
&&&





q超幾何関数固有の連分数展開

定義

定理

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$_{r} ϕ_{s} [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}; z]$	q超幾何級数
$K_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$	連分数