WanによるLegendre多項式の双線形母関数

前の記事 で, Carlitzによる超球多項式の双線形母関数
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{n!}{(2a)_n}C_n^{(a)}(\cos\theta)C_n^{(a)}(\cos\phi)t^n\\ &=\frac 1{(1-2t\cos(\theta+\phi)+t^2)^a}\F21{a,a}{2a}{\frac{4t\sin\theta\sin\phi}{1-2t\cos(\theta+\phi)+t^2}} \end{align}
の系として, Bailey, MaximonによるLegendre多項式の双線形母関数
\begin{align} &\sum_{0\leq n}P_n(\cos\theta)P_n(\cos\phi)t^n\\ &=\frac1{\sqrt{1-2t\cos(\theta+\phi)+t^2}}\F21{\frac 12,\frac 12}{1}{\frac{4t\sin\theta\sin\phi}{1-2t\cos(\theta+\phi)+t^2}} \end{align}
を得た. この右辺の双線形母関数に関して, 別の表示
\begin{align} \sum_{0\leq n}P_n(x)P_n(y)t^n=\frac 1{\sqrt{1-2xyt+t^2}}\F21{\frac 14,\frac 34}{1}{\frac{4(1-x^2)(1-y^2)t^2}{(1-2xyt+t^2)^2}} \end{align}
が与えられている. Zudilinの論文によれば, これはWanによって2012年に得られていた公式のようである. 今回はこれについて考えていきたいと思う.

導出

Carlitzの公式
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{n!}{(2a)_n}C_n^{(a)}(\cos\theta)C_n^{(a)}(\cos\phi)t^n\\ &=\frac 1{(1-2t\cos(\theta+\phi)+t^2)^a}\F21{a,a}{2a}{\frac{4t\sin\theta\sin\phi}{1-2t\cos(\theta+\phi)+t^2}} \end{align}
の右辺に 超幾何関数の二次変換公式
\begin{align} \F21{a,b}{2b}{x}&=\left(1-\frac x2\right)^{-a}\F21{\frac a2,\frac{a+1}2}{b+\frac 12}{\left(\frac{x}{2-x}\right)^2} \end{align}
において, $b=a$とした式
\begin{align} \F21{a,a}{2a}{x}&=\left(1-\frac x2\right)^{-a}\F21{\frac a2,\frac{a+1}2}{a+\frac 12}{\left(\frac{x}{2-x}\right)^2} \end{align}
を用いると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{n!}{(2a)_n}C_n^{(a)}(\cos\theta)C_n^{(a)}(\cos\phi)t^n\\ &=\frac 1{(1-2t\cos(\theta+\phi)+t^2)^a}\left(1-\frac{2t\sin\theta\sin\phi}{1-2t\cos(\theta+\phi)+t^2}\right)^{-a}\\ &\qquad\cdot \F21{\frac a2,\frac{a+1}2}{a+\frac 12}{\left(\frac{2t\sin\theta\sin\phi}{1-2t\cos(\theta+\phi)+t^2-2t\sin\theta\sin\phi}\right)^2}\\ &=\frac 1{(1-2t\cos(\theta+\phi)+t^2-2t\sin\theta\sin\phi)^a}\\ &\qquad\cdot \F21{\frac a2,\frac{a+1}2}{a+\frac 12}{\left(\frac{2t\sin\theta\sin\phi}{1-2t\cos(\theta+\phi)+t^2-2t\sin\theta\sin\phi}\right)^2}\\ &=\frac 1{(1-2t\cos\theta\cos\phi+t^2)^a}\F21{\frac a2,\frac{a+1}2}{a+\frac 12}{\left(\frac{2t\sin\theta\sin\phi}{1-2t\cos\theta\cos\phi+t^2}\right)^2} \end{align}
ここで, $\cos\theta,\cos\phi$を$x,y$に置き換えて以下を得る.

これはWanの公式の超球多項式への一般化を与えている.

係数比較によって得られる等式

定理1の両辺の$t^n$の係数を比較することを考える. 右辺は
\begin{align} &\frac 1{(1-2xyt+t^2)^a}\F21{\frac a2,\frac{a+1}2}{a+\frac 12}{\frac{4(1-x^2)(1-y^2)t^2}{(1-2xyt+t^2)^2}}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{2k}}{k!\left(a+\frac 12\right)_k}(1-x^2)^k(1-y^2)^kt^{2k}(1-2xyt+t^2)^{-(a+2k)}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{2k}}{k!\left(a+\frac 12\right)_k}(1-x^2)^k(1-y^2)^kt^{2k}\sum_{0\leq n}C_n^{(a+2k)}(xy)t^{n}\\ &=\sum_{0\leq n}t^{n}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\frac{(a)_{2k}(1-x^2)^k(1-y^2)^k}{k!\left(a+\frac 12\right)_k}C_{n-2k}^{(a+2k)}(xy) \end{align}
と展開できることから,
\begin{align} C_n^{(a)}(x)C_n^{(a)}(y)&=\frac{(2a)_n}{n!}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\frac{(a)_{2k}(1-x^2)^k(1-y^2)^k}{k!\left(a+\frac 12\right)_k}C_{n-2k}^{(a+2k)}(xy) \end{align}
を得る. これは比較的シンプルな等式であり, より直接的な証明も与えられるかもしれない. 特に$a=\frac 12$とすると, 以下を得る.
\begin{align} P_n(x)P_n(y)&=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\frac{\left(\frac 12\right)_{2k}(1-x^2)^k(1-y^2)^k}{k!^2}C_{n-2k}^{\left(2k+\frac 12\right)}(xy) \end{align}