複素数で幾何学

これは普通に解いて答えを知った後に見つけた解法です。
３つの複素数$s,t,u$についてヤコビの恒等式$(s\times t)u+(t\times u)s+(u\times s)t=0$ が成り立つことが以下の式からわかります。
$$(\bar{s}t-s\bar{t})u+(\bar{t}u-t\bar{u})s+(\bar{u}s-u\bar{s})t=0$$
解くべき方程式は
$$\begin{array}{rcl}a-c+b{t}_1-d{t}_2& =& 0\end{array}$$
です。この式とヤコビの恒等式を見比べると$s=b,t=-d$ と置けばいいことがわかります。すると
$(b\times -d)u+(-d\times u)b+(u\times b)(-d)=0$
となります。
ここで$a-c=(b\times -d)u$ と置けば、$s,t,u$ すべてが置き換えられます。このとき
$$u=\frac{c-a}{b\times d}$$
なので
$$t_0=(-d\times u)=(-d\times \frac{c-a}{b\times d})$$
求める交点は
$$z=a+b\frac{(a-c)\times d}{b\times d}=\frac{a(b\times d)-(a\times d-c\times d)b}{b\times d}$$
ここで再びヤコビの恒等式より$b,d,a$について
$(b\times d)a+(d\times a)b+(a\times b)d=0$
が成り立つので
$$z=\frac{a(b\times d)-(a\times d-c\times d)b}{b\times d}=\frac{(c\times d)b-(a\times b)d}{b\times d}$$
となります。

図1の紫の点$z$が求める交点です。$b$と$d$がなす斜交座標系における、$z$の座標を$(k,l)$とします。このとき$z=kb+ld$です。
ここで$b$と$d$の成す角を$\theta$とします。すると原点と直線$z=a+b{t}_1$の距離は$l|d|\sin \theta$です。また同じ距離は$c,d$を用いて$\frac{a\times b}{|b|}$ とも表せます。よって
$$l|d|\sin \theta =\frac{a\times b}{|b|}$$
同様に
$$k|b|\sin \theta =-\frac{c\times d}{|d|}$$
ここでマイナスの符号が必要なのですが「図をみるとそうなってる」ということで手打ちにして頂きたいです。
$$d\times b=|b||d|\sin \theta$$
なので
$$\begin{array}{rcl}l& =& -\frac{a\times b}{b\times d}\\ k& =& \frac{c\times d}{b\times d}\end{array}$$
よって
$$z=\frac{(c\times d)b-(a\times b)d}{b\times d}$$

$$a+bt=r{e}^{i\theta }$$
の絶対値をとります。
$$\begin{array}{rcl}{r}^2& =& (a+bt)(\bar{a}+\bar{b}t)\\ & =& |a{|}^2+|b{|}^2{t}^2+2(a\cdot b)t\end{array}$$
これを$t$について解くと
$$\begin{array}{r}t=-\frac{a\cdot b}{|b{|}^2}\pm \sqrt{(a\cdot b{)}^2-|a{|}^2+r^2}\end{array}$$
です。よって
$$z=a+bt=a-\frac{a\cdot b}{|b{|}^2}b\pm \frac{\sqrt{(a\cdot b{)}^2+|b{|}^2(r^2-|a{|}^2)}}{|b{|}^2}b$$
これは
$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{a\times b}{|b|}\\ s& =& \sqrt{r^2-h^2}\end{array}$$
とおくとうまく整理できて
$$z=\frac{b}{|b|}(-ih\pm s)$$
となります。

図2の緑点が求める交点です。まず円から直線に引いた垂線の長さhは
$$h=\frac{a\times b}{|b|}$$
です。垂線ベクトルとしては$b$に垂直で反時計方向にいるので
$$-ih\frac{b}{|b|}$$
です。$h$から直線上にそって２つの交点に向かうベクトルsの長さは
$$s=\sqrt{r^2-h^2}$$
です。よって
$$z=\frac{b}{|b|}(-ih\pm s)$$

$$r_1^{i{\theta }_1}=r_2^{i{\theta }_2}+a$$
が解くべき式です。まず
$$\begin{array}{rcl}{r}_{+}& =& r_1+r_2\\ r_{-}& =& r_1-r_2\end{array}$$
とおきます。すると
$$r_{+}(e^{i{\theta }_1}-e^{i{\theta }_2})+r_{-}(e^{i{\theta }_1}+e^{i{\theta }_2})=2a$$
となります。ここで
$$\begin{array}{rcl}2\theta & =& {\theta }_1+{\theta }_2\\ 2\varphi & =& {\theta }_1-{\theta }_2\end{array}$$
とおきます。すると
$$\begin{array}{rcl}{r}_{+}{e}^{i\theta }(e^{i\varphi }-e^{-i\varphi })+r_{-}{e}^{i\theta }(e^{i\varphi }+e^{-i\varphi })& =& a\\ e^{i\theta }(i{r}_{+}\sin \varphi +r_{-}\cos \varphi )& =& a\end{array}$$
となります。この絶対値をとると
$$\begin{array}{rcl}|a{|}^2& =& r_{+}^2{\sin }^2\varphi +r_{-}^2{\cos }^2\varphi \\ & =& r_{+}^2+(r_{-}^2-r_{+}^2){\cos }^2\varphi \end{array}$$
となります。これから
$$\begin{array}{rcl}{\cos }^2\varphi & =& \frac{|a{|}^2-r_{+}^2}{r_{-}^2-r_{+}^2}\\ {\sin }^2\varphi & =& \frac{r_{+}^2-|a{|}^2}{r_{-}^2-r_{+}^2}\end{array}$$
です。これから$z$を求めます。
$$\begin{array}{rcl}{e}^{i\theta }& =& \frac{a}{i{r}_{+}\sin \varphi +r_{-}\cos \varphi }\end{array}$$
よって
$$\begin{array}{rcl}z& =& r_1{e}^{i{\theta }_1}=r_1{e}^{i(\theta +\varphi )}\\ & =& \frac{r_{1}a{e}^{i\varphi }}{i{r}_{+}\sin \varphi +r_{-}\cos \varphi }\\ & =& \frac{r_{1}a}{|a{|}^2}{e}^{i\varphi }(-i{r}_{+}\sin \varphi +r_{-}\cos \varphi )\\ & =& \frac{r_{1}a}{|a{|}^2}(r_{-}{\cos }^2\varphi +r_{+}{\sin }^2\varphi +i\cos \varphi \sin \varphi (r_{-}-r_{+}))\\ & =& \frac{r_{1}a}{|a{|}^2}(r_{+}(r_{-}-r_{+}){\cos }^2\varphi +i\cos \varphi \sin \varphi (r_{-}-r_{+}))\\ & =& \frac{a}{2|a{|}^2}(r_{+}(r_{+}+r_{-})+(r_{-}^2-r_{+}^2)({\cos }^2\varphi +i\cos \varphi \sin \varphi ))\end{array}$$
先程求めた$\cos \varphi ,\sin \varphi$を代入し、また
$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}(|a|+\frac{r_{+}{r}_{-}}{|a|})\\ s& =& \frac{i}{2}\sqrt{(|a|-\frac{r_{+}^2}{|a|})(|a|-\frac{r_{-}^2}{|a|})}\end{array}$$
という変数を使うとキレイになり
$$P_{\pm }=\frac{a}{|a|}(h\pm is)$$
となります。

図3の緑点が求める交点です。まず原点から２つ円を通る直線への垂線の長さ$h$を求めます。
$$r_1^2-h^2=r_2^2-(|a|-h{)}^2$$
$$h=\frac{1}{2}(|a|+\frac{r_{+}{r}_{-}}{|a|})$$
です。ベクトルとしては、$a$方向なので
$$\frac{a}{|a|}h$$
です。$h$から直線上にそって２つの交点に向かうベクトルの長さsは
$$s=\sqrt{r_1^2-h^2}=\frac{i}{2}\sqrt{(|a|-\frac{r_{+}^2}{|a|})(|a|-\frac{r_{-}^2}{|a|})}$$
です。よって
$$z=\frac{a}{|a|}(h\pm is)$$
となります。