複素数で幾何学

これは普通に解いて答えを知った後に見つけた解法です。
３つの複素数$s,t,u$についてヤコビの恒等式$(s \times t) u + (t \times u)s + (u \times s)t = 0$ が成り立つことが以下の式からわかります。
$$ (\overline{s} t - s \overline{t}) u + (\overline{t} u - t \overline{u}) s + (\overline{u} s - u \overline{s}) t = 0 $$
解くべき方程式は
\begin{eqnarray} a - c + b t_1 - d t_2 &=& 0 \end{eqnarray}
です。この式とヤコビの恒等式を見比べると$s=b,t=-d$ と置けばいいことがわかります。すると
$(b \times - d) u + (-d \times u) b + (u \times b) (-d) = 0$
となります。
ここで$a - c = (b \times - d) u$ と置けば、$s,t,u$ すべてが置き換えられます。このとき
$$ u = \frac{c-a}{b \times d} $$
なので
$$ t_0 = (-d \times u) = \left(-d \times \frac{c-a}{b \times d}\right) $$
求める交点は
$$ z = a + b \frac{(a-c) \times d}{b \times d} = \frac{a (b \times d) - (a \times d - c \times d)b}{b \times d} $$
ここで再びヤコビの恒等式より$b,d,a$について
$(b \times d) a + (d \times a)b + (a \times b)d = 0$
が成り立つので
$$ z = \frac{a (b \times d) - (a \times d - c \times d)b}{b \times d} = \frac{(c \times d)b - (a \times b) d}{b \times d} $$
となります。

図1の紫の点$z$が求める交点です。$b$と$d$がなす斜交座標系における、$z$の座標を$(k,l)$とします。このとき$z = k b + l d$です。
ここで$b$と$d$の成す角を$\theta$とします。すると原点と直線$z=a+bt_1$の距離は$l|d| \sin \theta$です。また同じ距離は$c,d$を用いて$\frac{a \times b}{|b|}$ とも表せます。よって
$$ l|d| \sin \theta = \frac{a \times b}{|b|} $$
同様に
$$ k|b| \sin \theta = - \frac{c \times d}{|d|} $$
ここでマイナスの符号が必要なのですが「図をみるとそうなってる」ということで手打ちにして頂きたいです。
$$ d \times b = |b||d| \sin \theta $$
なので
\begin{eqnarray} l &=& - \frac{a \times b}{b \times d} \\ k &=& \frac{c \times d}{b \times d} \end{eqnarray}
よって
$$ z = \frac{(c \times d)b - (a \times b) d}{b \times d} $$

$$ a + b t = r e^{i \theta} $$
の絶対値をとります。
\begin{eqnarray} r^2 &=& (a+b t) (\overline{a} + \overline{b} t) \\ &=& |a|^2 + |b|^2 t^2 + 2 (a \cdot b) t \end{eqnarray}
これを$t$について解くと
\begin{eqnarray} t = - \frac{a \cdot b}{|b|^2} \pm \sqrt{(a \cdot b)^2 - |a|^2 + r^2} \end{eqnarray}
です。よって
$$ z = a + b t = a - \frac{a \cdot b}{|b|^2} b \pm \frac{\sqrt{(a \cdot b)^2 + |b|^2 (r^2 - |a|^2)}}{|b|^2} b $$
これは
\begin{eqnarray} h &=& \frac{a \times b}{|b|} \\ s &=& \sqrt{r^2 - h^2} \end{eqnarray}
とおくとうまく整理できて
$$ z = \frac{b}{|b|} (-i h \pm s) $$
となります。

図2の緑点が求める交点です。まず円から直線に引いた垂線の長さhは
$$ h = \frac{a \times b}{|b|} $$
です。垂線ベクトルとしては$b$に垂直で反時計方向にいるので
$$ -i h \frac{b}{|b|} $$
です。$h$から直線上にそって２つの交点に向かうベクトルsの長さは
$$ s = \sqrt{r^2 - h^2} $$
です。よって
$$ z = \frac{b}{|b|} (-i h \pm s) $$

$$ r_1^{i \theta_1} =r_2^{i \theta_2} + a $$
が解くべき式です。まず
\begin{eqnarray} r_+ &=& r_1 + r_2 \\ r_- &=& r_1 - r_2 \end{eqnarray}
とおきます。すると
$$ r_+ (e^{i \theta_1} - e^{i \theta_2}) + r_- (e^{i \theta_1} + e^{i \theta_2}) = 2 a $$
となります。ここで
\begin{eqnarray} 2\theta &=& \theta_1 + \theta_2 \\ 2\phi &=& \theta_1 - \theta_2 \end{eqnarray}
とおきます。すると
\begin{eqnarray} r_+ e^{i \theta} (e^{i \phi} - e^{-i \phi}) + r_- e^{i \theta} (e^{i \phi} + e^{-i \phi}) &=& a \\ e^{i \theta} (i r_+ \sin \phi + r_- \cos \phi ) &=& a \end{eqnarray}
となります。この絶対値をとると
\begin{eqnarray} |a|^2 &=& r_+^2 \sin^2 \phi + r_-^2 \cos^2 \phi \\ &=& r_+^2 + (r_-^2 - r_+^2) \cos^2 \phi \end{eqnarray}
となります。これから
\begin{eqnarray} \cos^2 \phi &=& \frac{|a|^2 - r_+^2}{r_-^2 - r_+^2} \\ \sin^2 \phi &=& \frac{r_+^2 - |a|^2}{r_-^2 - r_+^2} \end{eqnarray}
です。これから$z$を求めます。
\begin{eqnarray} e^{i \theta} &=& \frac{a}{i r_+ \sin \phi + r_- \cos \phi } \end{eqnarray}
よって
\begin{eqnarray} z &=& r_1 e^{i \theta_1} = r_1 e^{i (\theta + \phi)} \\ &=& \frac{r_1 a e^{i \phi}}{i r_+ \sin \phi + r_- \cos \phi } \\ &=& \frac{r_1 a}{|a|^2}e^{i\phi} (-i r_+ \sin \phi + r_- \cos \phi) \\ &=& \frac{r_1 a}{|a|^2} (r_- \cos^2 \phi + r_+ \sin^2 \phi + i \cos \phi \sin \phi (r_- - r_+)) \\ &=& \frac{r_1 a}{|a|^2} (r_+ (r_- - r_+) \cos^2 \phi + i \cos \phi \sin \phi (r_- - r_+)) \\ &=& \frac{a}{2 |a|^2} \left(r_+ (r_+ + r_-) + (r_-^2 - r_+^2) (\cos^2 \phi + i \cos \phi \sin \phi)\right) \end{eqnarray}
先程求めた$\cos \phi, \sin \phi$を代入し、また
\begin{eqnarray} h &=& \frac{1}{2}\left(|a| + \frac{r_+ r_-}{|a|}\right) \\ s &=& \frac{i}{2}\sqrt{\left(|a| - \frac{r_+^2}{|a|}\right)\left(|a| - \frac{r_-^2}{|a|}\right)} \end{eqnarray}
という変数を使うとキレイになり
$$ P_{\pm} = \frac{a}{|a|} (h \pm is) $$
となります。

図3の緑点が求める交点です。まず原点から２つ円を通る直線への垂線の長さ$h$を求めます。
$$ r_1^2 -h^2 = r_2^2 - (|a|-h)^2 $$
$$ h = \frac{1}{2}\left(|a| + \frac{r_+ r_-}{|a|}\right) $$
です。ベクトルとしては、$a$方向なので
$$ \frac{a}{|a|} h $$
です。$h$から直線上にそって２つの交点に向かうベクトルの長さsは
$$ s = \sqrt{r_1^2 - h^2} = \frac{i}{2}\sqrt{\left(|a| - \frac{r_+^2}{|a|}\right)\left(|a| - \frac{r_-^2}{|a|}\right)} $$
です。よって
$$ z = \frac{a}{|a|} (h \pm i s) $$
となります。