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大学数学基礎解説
文献あり

『新訂版における超関数の定義について』の誤りと訂正

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ごあいさつ

こんにちは!はっぴーたーんです!

この記事では、こちらのページ Ohrui に画像で投稿されている説明内の数々の誤りと、正しい証明について解説していきたいと思います〜

ちなみに、Ohrui はとある本 Kitada のAmazonレビュー reviewer_amzn_m として投稿されていた画像の一部になっていたもので、このAmazonレビューは Ohrui の投稿者が『序文の人』と自称するきっかけになった由緒あるレビューとなっております〜(Kitada の著者の先生が、この誤りだらけのレビューを見て、新訂版の序文に皮肉を書いた、という経緯になります)

それでは、やっていきましょ〜

本文の文字起こし

419頁(旧版と新訂版第1刷)[D(Ω)=limDK(Ω)が集合としてはC0(Ω)に一致することの証明] 2017.1.20 1.25 改増
まず409頁から410頁にかけて述べられている位相空間の帰納系{Sα}αAの帰納的極限の定義において, Sαの和S=αASαは直和でなくても問題ない(直和としなくても定義可能であり後に直和である仮定は使われていない)ので, 以下から帰納的極限の定義ではSが直和であることを仮定しない. それを利用して証明する.
Kを添え字とする位相空間の帰納系{DK(Ω)}KAを有向集合(順序集合)A={KP(Rn)KΩに含まれるΩのコンパクトな部分集合,[K1K2:⇔K1K2]}として定義する.φDK1(Ω),ψDK2(Ω),K3A,K3K1,K3K2,fK3K1(φ)=fK3K2(ψ)DK3(Ω).
φψの台はΩでコンパクトだからφψΩで解析的ではない. そこで連続写像fK3K1,fK3K2を, φψの台をK3であるように拡げてφDK3(Ω),ψDK3(Ω)とするものとみなすと, fK3K1(φ)=fK3K2(ψ)よりφ=ψ in K3と解釈することができる.()
ゆえにD(Ω)=limDK(Ω)[φ]={ψC0(Ω)KA,φ=ψ in K}={φ}であるからD(Ω)={{φ}φC0(Ω)}となる.()
φ,ψC0(Ω),φψ{φ}={ψ},かつa,bC,a{φ}+b{ψ}={aφ+bψ}と定義するとD(Ω)は線型空間になるから{φ}φを同一視して集合としての等式(線型空間としての同型)D(Ω)=C0(Ω)を得る.()
() 解析的であれば多変数正則関数に対して成り立つ一致の定理によりK1K2より台を拡げられない.(K1K2が連結な場合)
() Ωに含まれる任意のコンパクト集合で値が等しいから.
() {0}が零ベクトル,に対してが逆ベクトル.


「新訂版 数理解析学概論」( https://www.amazon.co.jp/dp/476870462X/ref=cm_sw_r_cp_api_glt_i_P7RK86VMMZSND9BBWJAP?_encoding=UTF8&psc=1)では , 試験関数の成す線型位相空間D(Ω)(DK)(Ω)=D(K)の帰納的極限として定義している. そうするとD(Ω)が集合としてはC0(Ω)に一致することは自明ではない. 正確な証明ではないが,「直観的な証明」を掲げておく. 一般には直和という仮定は普遍射の存在証明に使われる.
(Amazonに掲載できなくなったので移動)

問題点の解説

元記事の議論には数多くの誤りがあるので、これからそれを解説していきたいと思います〜

帰納極限の定義に関して

Ohrui では、帰納(的)極限の定義に関して次のような説明が行われています。

まず409頁から410頁にかけて述べられている位相空間の帰納系{Sα}αAの帰納的極限の定義において, Sαの和S=αASαは直和でなくても問題ない(直和としなくても定義可能であり後に直和である仮定は使われていない)ので, 以下から帰納的極限の定義ではSが直和であることを仮定しない. それを利用して証明する.

一般には直和という仮定は普遍射の存在証明に使われる.

しかし、実際にはS=αASα直和でないと問題がある(従って、直和でないことを利用したその後の証明は全て的外れである)ので、まずはそのことについて説明していきたいと思います〜

集合と位相空間の帰納極限の定義

帰納極限についてはレビュー元の書籍 Kitada にも説明があるのですが、ここではイチから解説しておこうと思います〜

有向集合

集合Aとその上の二項関係が次の条件を満たすとき, 有向集合 という:

  • (反射律): aA,aa,
  • (推移律): a,b,cA,(abbcac),
  • (有向性): a,vA,cA,(acbc).
帰納系

有向集合(A,)に関する(集合の)帰納系 とは, 集合族(Sa)aAと関数族(fb,a:SaSb)baの組であって, 次の条件を満たすもののことをいう:

  • fa,a=idSa (aA),
  • fc,a=fc,bfb,a (cba).

(つまり, (A,)を前順序集合として小圏Aと見なしたときの関手ASetのことである)

さらに, 各Saが位相空間であり, fb,aが連続写像となっているとき, 位相空間の帰納系 という. (これは関手ATopに相当している)

帰納極限

S=((Sa)aA,(fb,a:SaSb)ba)を(有向集合(A,)に関する, 集合あるいは位相空間の)帰納系とする.

このとき, S帰納極限 とは, 次で定まる集合(あるいは位相空間)Sと(連続)写像の族fa:SaS (aA)の組のことをいう:

  • S:=aASa=aA{a}×Saとし, S上の同値関係を次で定める.
  • (a,x)(b,y):⇔cA,(ca,bfc,a(x)=fc,b(y)).
  • そこで, S:=S/とし, fa(x):=[(a,x)] (xSa)と定める.

Sが位相空間の帰納系のときは, Sに直和位相 direct_sum_top_wiki と商位相 quotient_top_wiki によって位相を定める.(このとき, 各faは直和位相と商位相の普遍性によって連続写像になる)

この帰納極限(S,(fa:SaS)aA)のことlimSaと表す.

以上が(集合及び位相空間の)帰納極限の定義になります!

本当は、帰納極限は 普遍性 と呼ばれる性質によって(圏論的に)定義される概念なのですが、この説明を始めてしまうと話が脱線してしまうので、ここでは省略します〜

和集合にすると何が起こるのか

Ohrui によると、この帰納極限の定義においてSとして(Sa)aAの直和aASaではなく(通常の)和集合aASaを考えても問題ないかのような説明が行われています〜(その後の補足でも、Sを直和にする理由は普遍射の存在証明の為だけかのように書かれています〜)

しかし、実際には直和にしないと定義内の二項関係が同値関係にすらならないです!ということで、が同値関係にならないことを反例によって見ていきたい思います〜

まず、そもそもの定義には添字の情報が必要なので、Sを和集合にしてしまうと、そのままでは二項関係を定義することすら出来ないです。なので、ここでは次のように二項関係の定義を解釈することにします〜

xy:⇔a,bA,ca,b s.t. xSaySbfc,a(x)=fc,b(y)(x,yaASa).

反例

A:={1,2,2,3,}とし, A上の二項関係

ab:⇔a=bb=(a,bA)

と定める. このとき, Sa:={a} (a{1,2,3}),S2:={2},S:={1,3}とし, 写像f,a:SaS (a{1,2,2,3})を次で定める:

  • f,a(a):=a (a=1,3),
  • f,2(2):=1,
  • f,2(2):=3.

このとき, 12かつ23だが13ではない.

このように、本来は構成すら正当化出来ていない状況なのに、Ohrui では普遍射の存在証明のみ直和にしないと正当化出来ないかのような説明が行われていることから、帰納極限の定義に関して二重に嘘を述べていることが分かります〜

Ohrui の投稿者は一度でもちゃんと帰納極限の定義の正当性や普遍性の証明を追った上で書いているのでしょうか?

DK(Ω)fK,Kの定義に関して

帰納極限の定義に関する誤解は、(実は)レビュー元の書籍 Kitada ではこの部分の証明が省略されているので、行間を埋めたフリをしたんだな〜とまだ推測することが出来ます。

しかし、その後のDK(Ω)fK,Kに関する説明は、議論以前の大きな誤りがいくつも述べられています。ということで、次はそれを見ていきましょ〜

関数の台と定義域に関する誤解

まず、DK(Ω)を定義する際に必要になる関数の台(support)という概念について説明したいと思います〜

(関数の)台

Ωをユークリッド空間Rn上の開集合(あるいは一般の位相空間)とする. このとき, Ω上の(実数値)関数u:ΩRの台とはuの非零点集合の閉包, つまり次で定義される集合のことである:

supp(u):={xΩ:u(x)0}in Ω.

台がコンパクト集合になる滑らかな関数全体のことをC0(Ω)と表します。OhruiKitada では、このC0(Ω)が(これから定義するDK(Ω)を用いて定義される)帰納極限D(Ω)に『集合として等しくなる』ことを述べている訳ですね〜

この定義から分かるように、台は定義域のことではありません。なので、元記事に書かれているような『台を拡げる』などといった操作は考えられません。元記事の投稿者は台のことを定義域だと思い込んでいたんですかね?

DK(Ω)fK,Kの定義

それでは、DK(Ω)の定義を見ていきましょ〜

DK(Ω)

KΩ上のコンパクト集合とする. このとき, DK(Ω)C0(Ω)の部分集合であって, 台がKに含まれるもの全体, つまり次の集合として定める:

DK(Ω):={uC0(Ω):supp(u)K}.

定義から明らかに『KKならばDK(Ω)DK(Ω)』となっています。なので、写像fK,Kは『台を拡げる写像』などという奇怪なものではなく、普通に包含写像を考えれば良い訳ですね〜レビュー元の書籍 Kitada でも、fK,Kことはちゃんと『埋め込み』と書かれています。

ちなみに、本当はDK(Ω)を位相空間と見なして位相空間の帰納極限としてD(Ω)を定義するのですが、その際DK(Ω)には可算個のセミノルム

pK,(u):=supxK,|α||αu(x)|(N)

によって局所凸位相 lcs_wiki を定めます〜この記事ではDK(Ω)の位相に関してはこれ以上詳しくは触れませんので、もし気になる人は包含写像fK,Kが連続写像になっていることだけ事実として認めて読み進めて下さい〜

正しい説明

以上の設定から分かるように、Ohrui の以下の部分の議論は次のように簡潔に説明することが出来ます〜

φDK1(Ω),ψDK2(Ω),K3A,K3K1,K3K2,fK3K1(φ)=fK3K2(ψ)DK3(Ω).
φψの台はΩでコンパクトだからφψΩで解析的ではない. そこで連続写像fK3K1,fK3K2を, φψの台をK3であるように拡げてφDK3(Ω),ψDK3(Ω)とするものとみなすと, fK3K1(φ)=fK3K2(ψ)よりφ=ψ in K3と解釈することができる.

正しい説明

φDK1(Ω)ψDK2(Ω)があるK3K1,K2について

fK3,K1(φ)=fK3,K2(ψ)

となるとき, fK3,K1,fK3,K2は包含写像なのでφ=ψ in Ωである.

『集合としての等式(線型空間としての同型)』について

ここまでの話を読んできた人であれば容易に想像がつくと思いますが、Kitada における集合としての一致とは線型空間としての同型のことではありません〜(もちろん、後から線型空間の構造を定めて同型だと思うこと自体は可能ですが)

位相空間の帰納極限は集合の帰納極限に適切に位相を定めた空間のことでした。ここで、現在の設定を思い出すとC0(Ω)は台がコンパクトな滑らかな関数全体という「集合」として定義しており、その上の位相については特に考えていませんでした。そこで、D(Ω)=limDK(Ω)を集合の帰納極限だと思うとC0(Ω)と(埋め込みを可換にする)全単射が(一意に)存在するので、それを用いてC0(Ω)上の位相をD(Ω)の位相によって定義する、という話が本来の Kitada における文脈となっています〜

()について

そもそも台がコンパクトな解析関数は存在しない(本文にもそう書いています)訳ですから何だって成り立ちますけど、この部分は何が言いたいんでしょうね?

正しい証明

それでは、正しい証明を確認していきましょう!

(実は)元画像では主張が明確に述べられていないのですが、証明したいのは次の主張になります〜

ΩRn上の(空でない)開集合とし, AΩ上のコンパクト部分集合全体とする.

このとき, fK,K:DK(Ω)DK(Ω) (KK)を包含写像とする集合の帰納系((DK(Ω))KA,(fK,K)KK)の(集合の)帰納極限はC0(Ω)との間に全単射をもつ.

Kitada (の序文)にも書かれていますように、Aは包含関係に関して有向集合にっています。

それでは、この命題を示していきたいのですが、実はこの主張は次のような一般的な設定で証明することが出来ます!

fb,a:SaSb (ba)を包含写像とする集合の帰納系S=((Sa)aA,(fb,a:SaSb)ba)を考える.
(ここで, abならばSaSbを仮定していることに注意する)このとき, Sの帰納極限は(通常の)和集合aASaとの間に全単射をもつ.

それでは、この命題を示していきましょ〜

先ほど具体的に構成した帰納極限をS¯とし, S~=aASaとおく.

このとき, 各fa,bは包含写像なので, 任意の(a,x),(b,y)aASaについて, (a,x)(b,y)ならばx=yが成り立つ. 従って, 次で定義される写像F:S¯S~はwell-definedである.

F:S¯S~;[(a,x)]x([(a,x)]S¯)

あとは, このFが全単射であることを確かめれば良い. 全射性はSSaの和集合としていたことから直ちに分かる. 単射性を示す. [(a,x)],[(b,y)]S¯x=F([(a,x)])=F([(b,y)])=yを満たしているとする. このとき, このとき, Aの有向性からca,bなるcAを取ると, fc,a,fc,bは包含写像であったことからfc,a(x)=x=y=fc,b(y)となる. よって, (a,x)(b,y)即ち[(a,x)]=[(b,y)]であることが得られた.

(証明終)

おわりに

いかがでしたか?みなさんも、巷に転がっている怪しい証明にはくれぐれもご注意下さい!

それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜

参考文献

投稿日:20231026
更新日:20231221
OptHub AI Competition

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投稿者

北田均・現代数学社『数理解析学概論』新訂版序文の「ほぼ独学と思われる熱心な読者」(通称「序文と初等的弱解の人」「序文の人」)こと、大類昌俊 (おおるい まさとし, Masatoshi OHRUI) さんと彼のサイト「序文とあとがきの人のブログ」に関する話題をメインに記事を投稿しています! 誹謗中傷や低評価による嫌がらせはお止め下さい。 🧞‍♂️類憐憫令

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  1. ごあいさつ
  2. 本文の文字起こし
  3. 問題点の解説
  4. 帰納極限の定義に関して
  5. DK(Ω)fK,Kの定義に関して
  6. 『集合としての等式(線型空間としての同型)』について
  7. ()について
  8. 正しい証明
  9. おわりに
  10. 参考文献