『新訂版における超関数の定義について』の誤りと訂正

ごあいさつ

こんにちは！はっぴーたーんです！

この記事では、こちらのページ [1] に画像で投稿されている説明内の数々の誤りと、正しい証明について解説していきたいと思います〜

ちなみに、[1] はとある本 [2] のAmazonレビュー [3] として投稿されていた画像の一部になっていたもので、このAmazonレビューは [1] の投稿者が『序文の人』と自称するきっかけになった由緒あるレビューとなっております〜（[2] の著者の先生が、この誤りだらけのレビューを見て、新訂版の序文に皮肉を書いた、という経緯になります）

それでは、やっていきましょ〜

本文の文字起こし

419頁（旧版と新訂版第1刷）[$\mathcal{D}(\mathrm{\Omega })=\underrightarrow{\lim }{\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })$が集合としては$C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$に一致することの証明] 2017.1.20 1.25 改増
まず409頁から410頁にかけて述べられている位相空間の帰納系$\{S_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$の帰納的極限の定義において, $S_{\alpha }$の和$S=\bigcup _{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$は直和でなくても問題ない（直和としなくても定義可能であり後に直和である仮定は使われていない）ので, 以下から帰納的極限の定義では$S$が直和であることを仮定しない. それを利用して証明する.
$K$を添え字とする位相空間の帰納系$\{{\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega }){\}}_{K\in A}$を有向集合（順序集合）$A=\{K\in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\mid K\text{は}\mathrm{\Omega }\text{に含まれる}\mathrm{\Omega }\text{のコンパクトな部分集合},[K_1\le K_2:\iff K_1\subseteq K_2]\}$として定義する．$\mathrm{\forall }\phi \in {\mathcal{D}}_{K_1}(\mathrm{\Omega }),\mathrm{\forall }\psi \in {\mathcal{D}}_{K_2}(\mathrm{\Omega }),\mathrm{\exists }{K}_3\in A,K_3\supseteq K_1,K_3\supseteq K_2,f_{K_3{K}_1}(\phi )=f_{K_3{K}_2}(\psi )\in {\mathcal{D}}_{K_3}(\mathrm{\Omega }).$
$\phi$と$\psi$の台は$\mathrm{\Omega }$でコンパクトだから$\phi$と$\psi$は$\mathrm{\Omega }$で解析的ではない. そこで連続写像$f_{K_3{K}_1},f_{K_3{K}_2}$を, $\phi$と$\psi$の台を$\subseteq K_3$であるように拡げて$\phi \in {\mathcal{D}}_{K_3}(\mathrm{\Omega }),\psi \in {\mathcal{D}}_{K_3}(\mathrm{\Omega })$とするものとみなすと, $f_{K_3{K}_1}(\phi )=f_{K_3{K}_2}(\psi )$より$\phi =\psi \mathrm{in}{K}_3$と解釈することができる.${}^{(\ast )}$
ゆえに$\mathcal{D}(\mathrm{\Omega })=\underrightarrow{\lim }{\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })\ni [\phi ]=\{\psi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\mid \mathrm{\forall }K\in A,\phi =\psi \mathrm{in}K\}=\{\phi \}$であるから$\mathcal{D}(\mathrm{\Omega })=\{\{\phi \}\mid \phi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\}$となる.${}^{(\ast \ast )}$
$\mathrm{\forall }\phi ,\psi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }),\phi \ne \psi \iff \{\phi \}=\{\psi \},$かつ$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{C},a\{\phi \}+b\{\psi \}=\{a\phi +b\psi \}$と定義すると$\mathcal{D}(\mathrm{\Omega })$は線型空間になるから$\{\phi \}$と$\phi$を同一視して集合としての等式（線型空間としての同型）$\mathcal{D}(\mathrm{\Omega })=C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$を得る.${}^{(\ast \ast \ast )}$
$(\ast )$ 解析的であれば多変数正則関数に対して成り立つ一致の定理により$K_1^{\circ }\cap K_2^{\circ }$より台を拡げられない.（$K_1^{\circ }\cap K_2^{\circ }$が連結な場合）
$(\ast \ast )$ $\mathrm{\Omega }$に含まれる任意のコンパクト集合で値が等しいから.
$(\ast \ast \ast )$ $\{0\}$が零ベクトル，に対してが逆ベクトル.

「新訂版 数理解析学概論」( https://www.amazon.co.jp/dp/476870462X/ref=cm_sw_r_cp_api_glt_i_P7RK86VMMZSND9BBWJAP?_encoding=UTF8&psc=1)では , 試験関数の成す線型位相空間$\mathcal{D}(\mathrm{\Omega })$を$({\mathcal{D}}_K)(\mathrm{\Omega })=\mathcal{D}(K)$の帰納的極限として定義している. そうすると$\mathcal{D}(\mathrm{\Omega })$が集合としては$C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$に一致することは自明ではない. 正確な証明ではないが,「直観的な証明」を掲げておく. 一般には直和という仮定は普遍射の存在証明に使われる.
(Amazonに掲載できなくなったので移動)

問題点の解説

元記事の議論には数多くの誤りがあるので、これからそれを解説していきたいと思います〜

帰納極限の定義に関して

[1] では、帰納（的）極限の定義に関して次のような説明が行われています。

まず409頁から410頁にかけて述べられている位相空間の帰納系$\{S_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$の帰納的極限の定義において, $S_{\alpha }$の和$S=\bigcup _{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$は直和でなくても問題ない（直和としなくても定義可能であり後に直和である仮定は使われていない）ので, 以下から帰納的極限の定義では$S$が直和であることを仮定しない. それを利用して証明する.

一般には直和という仮定は普遍射の存在証明に使われる.

しかし、実際には$S=\bigcup _{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$は 直和でないと問題がある（従って、直和でないことを利用したその後の証明は全て的外れである）ので、まずはそのことについて説明していきたいと思います〜

集合と位相空間の帰納極限の定義

帰納極限についてはレビュー元の書籍 [2] にも説明があるのですが、ここではイチから解説しておこうと思います〜

以上が（集合及び位相空間の）帰納極限の定義になります！

本当は、帰納極限は 普遍性 と呼ばれる性質によって（圏論的に）定義される概念なのですが、この説明を始めてしまうと話が脱線してしまうので、ここでは省略します〜

和集合にすると何が起こるのか

[1] によると、この帰納極限の定義において$S^{\prime }$として$(S_a{)}_{a\in A}$の直和$\underset{a\in A}{⨆}{S}_a$ではなく（通常の）和集合$\bigcup _{a\in A}{S}_a$を考えても問題ないかのような説明が行われています〜（その後の補足でも、$S^{\prime }$を直和にする理由は普遍射の存在証明の為だけかのように書かれています〜）

しかし、実際には直和にしないと定義内の二項関係$\sim$が同値関係にすらならないです！ということで、$\sim$が同値関係にならないことを反例によって見ていきたい思います〜

まず、そもそも$\sim$の定義には添字の情報が必要なので、$S^{\prime }$を和集合にしてしまうと、そのままでは二項関係を定義することすら出来ないです。なので、ここでは次のように二項関係$\sim$の定義を解釈することにします〜

$x\sim y:\iff \mathrm{\exists }a,b\in A,\mathrm{\exists }c\ge a,b\text{s.t.}x\in S_a\wedge y\in S_b\wedge f_{c,a}(x)=f_{c,b}(y)(x,y\in \bigcup _{a\in A}{S}_a).$

このように、本来は構成すら正当化出来ていない状況なのに、[1] では普遍射の存在証明のみ直和にしないと正当化出来ないかのような説明が行われていることから、帰納極限の定義に関して二重に嘘を述べていることが分かります〜

[1] の投稿者は一度でもちゃんと帰納極限の定義の正当性や普遍性の証明を追った上で書いているのでしょうか？

${\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })$と$f_{K,K^{\prime }}$の定義に関して

帰納極限の定義に関する誤解は、（実は）レビュー元の書籍 [2] ではこの部分の証明が省略されているので、行間を埋めたフリをしたんだな〜とまだ推測することが出来ます。

しかし、その後の${\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })$や$f_{K,K^{\prime }}$に関する説明は、議論以前の大きな誤りがいくつも述べられています。ということで、次はそれを見ていきましょ〜

関数の台と定義域に関する誤解

まず、${\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })$を定義する際に必要になる関数の台（support）という概念について説明したいと思います〜

台がコンパクト集合になる滑らかな関数全体のことを$C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$と表します。[1] や [2] では、この$C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$が（これから定義する${\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })$を用いて定義される）帰納極限$\mathcal{D}(\mathrm{\Omega })$に『集合として等しくなる』ことを述べている訳ですね〜

この定義から分かるように、台は定義域のことではありません。なので、元記事に書かれているような『台を拡げる』などといった操作は考えられません。元記事の投稿者は台のことを定義域だと思い込んでいたんですかね？

${\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })$と$f_{K,K^{\prime }}$の定義

それでは、${\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })$の定義を見ていきましょ〜

定義から明らかに『$K\subseteq K^{\prime }$ならば${\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })\subseteq {\mathcal{D}}_{K^{\prime }}(\mathrm{\Omega })$』となっています。なので、写像$f_{K,K^{\prime }}$は『台を拡げる写像』などという奇怪なものではなく、普通に包含写像を考えれば良い訳ですね〜レビュー元の書籍 [2] でも、$f_{K,K^{\prime }}$ことはちゃんと『埋め込み』と書かれています。

ちなみに、本当は${\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })$を位相空間と見なして位相空間の帰納極限として$\mathcal{D}(\mathrm{\Omega })$を定義するのですが、その際${\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })$には可算個のセミノルム

$$p_{K,\ell }(u):=\underset{x\in K,|\alpha |\le \ell }{sup}|{\partial }^{\alpha }u(x)|(\ell \in \mathbb{N})$$

によって局所凸位相 [6] を定めます〜この記事では${\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })$の位相に関してはこれ以上詳しくは触れませんので、もし気になる人は包含写像$f_{K,K^{\prime }}$が連続写像になっていることだけ事実として認めて読み進めて下さい〜

正しい説明

以上の設定から分かるように、[1] の以下の部分の議論は次のように簡潔に説明することが出来ます〜

$\mathrm{\forall }\phi \in {\mathcal{D}}_{K_1}(\mathrm{\Omega }),\mathrm{\forall }\psi \in {\mathcal{D}}_{K_2}(\mathrm{\Omega }),\mathrm{\exists }{K}_3\in A,K_3\supseteq K_1,K_3\supseteq K_2,f_{K_3{K}_1}(\phi )=f_{K_3{K}_2}(\psi )\in {\mathcal{D}}_{K_3}(\mathrm{\Omega }).$
$\phi$と$\psi$の台は$\mathrm{\Omega }$でコンパクトだから$\phi$と$\psi$は$\mathrm{\Omega }$で解析的ではない. そこで連続写像$f_{K_3{K}_1},f_{K_3{K}_2}$を, $\phi$と$\psi$の台を$\subseteq K_3$であるように拡げて$\phi \in {\mathcal{D}}_{K_3}(\mathrm{\Omega }),\psi \in {\mathcal{D}}_{K_3}(\mathrm{\Omega })$とするものとみなすと, $f_{K_3{K}_1}(\phi )=f_{K_3{K}_2}(\psi )$より$\phi =\psi \mathrm{in}{K}_3$と解釈することができる.

『集合としての等式（線型空間としての同型）』について

ここまでの話を読んできた人であれば容易に想像がつくと思いますが、[2] における集合としての一致とは線型空間としての同型のことではありません〜（もちろん、後から線型空間の構造を定めて同型だと思うこと自体は可能ですが）

位相空間の帰納極限は集合の帰納極限に適切に位相を定めた空間のことでした。ここで、現在の設定を思い出すと$C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$は台がコンパクトな滑らかな関数全体という「集合」として定義しており、その上の位相については特に考えていませんでした。そこで、$\mathcal{D}(\mathrm{\Omega })=\underrightarrow{\lim }{\mathcal{D}}_K(\mathrm{\Omega })$を集合の帰納極限だと思うと$C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$と（埋め込みを可換にする）全単射が（一意に）存在するので、それを用いて$C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$上の位相を$\mathcal{D}(\mathrm{\Omega })$の位相によって定義する、という話が本来の [2] における文脈となっています〜

$(\ast )$について

そもそも台がコンパクトな解析関数は存在しない（本文にもそう書いています）訳ですから何だって成り立ちますけど、この部分は何が言いたいんでしょうね？

正しい証明

それでは、正しい証明を確認していきましょう！

（実は）元画像では主張が明確に述べられていないのですが、証明したいのは次の主張になります〜

[2] （の序文）にも書かれていますように、$A$は包含関係に関して有向集合にっています。

それでは、この命題を示していきたいのですが、実はこの主張は次のような一般的な設定で証明することが出来ます！

それでは、この命題を示していきましょ〜

おわりに

いかがでしたか？みなさんも、巷に転がっている怪しい証明にはくれぐれもご注意下さい！

それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜