こんにちは!はっぴーたーんです!
この記事では、こちらのページ Ohrui に画像で投稿されている説明内の数々の誤りと、正しい証明について解説していきたいと思います〜
ちなみに、Ohrui はとある本 Kitada のAmazonレビュー reviewer_amzn_m として投稿されていた画像の一部になっていたもので、このAmazonレビューは Ohrui の投稿者が『序文の人』と自称するきっかけになった由緒あるレビューとなっております〜(Kitada の著者の先生が、この誤りだらけのレビューを見て、新訂版の序文に皮肉を書いた、という経緯になります)
それでは、やっていきましょ〜
419頁(旧版と新訂版第1刷)[
が集合としては に一致することの証明] 2017.1.20 1.25 改増
まず409頁から410頁にかけて述べられている位相空間の帰納系の帰納的極限の定義において, の和 は直和でなくても問題ない(直和としなくても定義可能であり後に直和である仮定は使われていない)ので, 以下から帰納的極限の定義では が直和であることを仮定しない. それを利用して証明する. を添え字とする位相空間の帰納系 を有向集合(順序集合) として定義する. と の台は でコンパクトだから と は で解析的ではない. そこで連続写像 を, と の台を であるように拡げて とするものとみなすと, より と解釈することができる.
ゆえにであるから となる. かつ と定義すると は線型空間になるから と を同一視して集合としての等式(線型空間としての同型) を得る. 解析的であれば多変数正則関数に対して成り立つ一致の定理により より台を拡げられない.( が連結な場合) に含まれる任意のコンパクト集合で値が等しいから. が零ベクトル,に対してが逆ベクトル.
「新訂版 数理解析学概論」( https://www.amazon.co.jp/dp/476870462X/ref=cm_sw_r_cp_api_glt_i_P7RK86VMMZSND9BBWJAP?_encoding=UTF8&psc=1)では , 試験関数の成す線型位相空間を の帰納的極限として定義している. そうすると が集合としては に一致することは自明ではない. 正確な証明ではないが,「直観的な証明」を掲げておく. 一般には直和という仮定は普遍射の存在証明に使われる.
(Amazonに掲載できなくなったので移動)
元記事の議論には数多くの誤りがあるので、これからそれを解説していきたいと思います〜
Ohrui では、帰納(的)極限の定義に関して次のような説明が行われています。
まず409頁から410頁にかけて述べられている位相空間の帰納系
の帰納的極限の定義において, の和 は直和でなくても問題ない(直和としなくても定義可能であり後に直和である仮定は使われていない)ので, 以下から帰納的極限の定義では が直和であることを仮定しない. それを利用して証明する.
一般には直和という仮定は普遍射の存在証明に使われる.
しかし、実際には
帰納極限についてはレビュー元の書籍 Kitada にも説明があるのですが、ここではイチから解説しておこうと思います〜
集合
有向集合
(つまり,
さらに, 各
このとき,
この帰納極限
以上が(集合及び位相空間の)帰納極限の定義になります!
本当は、帰納極限は 普遍性 と呼ばれる性質によって(圏論的に)定義される概念なのですが、この説明を始めてしまうと話が脱線してしまうので、ここでは省略します〜
Ohrui によると、この帰納極限の定義において
しかし、実際には直和にしないと定義内の二項関係
まず、そもそも
と定める. このとき,
このとき,
このように、本来は構成すら正当化出来ていない状況なのに、Ohrui では普遍射の存在証明のみ直和にしないと正当化出来ないかのような説明が行われていることから、帰納極限の定義に関して二重に嘘を述べていることが分かります〜
Ohrui の投稿者は一度でもちゃんと帰納極限の定義の正当性や普遍性の証明を追った上で書いているのでしょうか?
帰納極限の定義に関する誤解は、(実は)レビュー元の書籍 Kitada ではこの部分の証明が省略されているので、行間を埋めたフリをしたんだな〜とまだ推測することが出来ます。
しかし、その後の
まず、
台がコンパクト集合になる滑らかな関数全体のことを
この定義から分かるように、台は定義域のことではありません。なので、元記事に書かれているような『台を拡げる』などといった操作は考えられません。元記事の投稿者は台のことを定義域だと思い込んでいたんですかね?
それでは、
定義から明らかに『
ちなみに、本当は
によって局所凸位相 lcs_wiki を定めます〜この記事では
以上の設定から分かるように、Ohrui の以下の部分の議論は次のように簡潔に説明することが出来ます〜
と の台は でコンパクトだから と は で解析的ではない. そこで連続写像 を, と の台を であるように拡げて とするものとみなすと, より と解釈することができる.
となるとき,
ここまでの話を読んできた人であれば容易に想像がつくと思いますが、Kitada における集合としての一致とは線型空間としての同型のことではありません〜(もちろん、後から線型空間の構造を定めて同型だと思うこと自体は可能ですが)
位相空間の帰納極限は集合の帰納極限に適切に位相を定めた空間のことでした。ここで、現在の設定を思い出すと
そもそも台がコンパクトな解析関数は存在しない(本文にもそう書いています)訳ですから何だって成り立ちますけど、この部分は何が言いたいんでしょうね?
それでは、正しい証明を確認していきましょう!
(実は)元画像では主張が明確に述べられていないのですが、証明したいのは次の主張になります〜
このとき,
Kitada (の序文)にも書かれていますように、
それでは、この命題を示していきたいのですが、実はこの主張は次のような一般的な設定で証明することが出来ます!
各
(ここで,
それでは、この命題を示していきましょ〜
先ほど具体的に構成した帰納極限を
このとき, 各
あとは, この
(証明終)
いかがでしたか?みなさんも、巷に転がっている怪しい証明にはくれぐれもご注意下さい!
それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜