【スピン幾何】Clifford代数の存在と普遍性

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　スピン群やスピン表現を導入するために必要なClifford代数を定義し、その基本的な性質を述べます。

Clifford代数

$(V = E^{(s, t)}, g)$ を擬Euclidベクトル空間とする。
$T (V) = ⨁_{n} V^{\otimes n}$
を $V$ のテンソル代数とし、集合
${v \otimes v + g (v, v); v \in V}$
が生成する両側イデアルを $I (V)$ とする。このとき、
$C l_{s, t} := T (V) / I (V)$
を $(s, t)$ 次Clifford代数と呼ぶ。 $C l_{s, t}$ の代わりに $C l (V)$ と書くこともある。

$v, w \in V$ とすると、 $v w + w v = - 2 g (v, w)$ を満たす。特に ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ を $V$ の正規直交基底とすると、
$e_{i} e_{j} = - e_{j} e_{i}, e_{i}^{2} = - g_{i j} = \pm 1$
となります。よって $C l_{s, t}$ は ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ がこのような関係を満たす生成子であるような $R$ 上の結合代数です。 $C l_{s, t}$ の $R$ 上の基底は ${e_{1}^{i_{1}} \dots e_{n}^{i_{n}}, i_{k} \in {\pm 1}}$ なので、 ${d i m}_{R} C l_{s, t} = 2^{n}$ となります。

　Clifford代数を実現させるときに便利なのが次の普遍性です。

Clifford代数の普遍性

$A$ を1をもつ $R$ 上の代数とする。さらに線形準同型 $f : V \to A$ があり、 $f (v) f (v) = - g (v, v), v \in V$ を満たすとする。このとき代数準同型 $F : C l (V) \to A$ がただ一つ存在し、 $F |_{V} = f$ となる。

　この普遍性を利用すると、この定理の条件を満たす線形準同型写像 $f$ を作り、 $F (C l (V)) \subset A$ の $R$ 上の次元が $2^{n}$ であることを確認すれば、代数同型 $F (C l (V)) ≃ C l (V)$ が分かるので便利です。

投稿日：2023年7月8日

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Submersion

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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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