【Spin幾何】スピン接続

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　スピン接続の定義を解説します。一言でいうとスピン接続はLie環の同型 $so (p, q) ≃ spin (p, q)$ を利用して、リーマン接続を引き戻して（スピン構造の）主スピン束の接続としたもののことです。

$so (p, q) ≃ spin (p, q)$

　擬Euclid空間 $(E^{(p, q)}, g)$ の正規直交基底を ${e_{a}}$ とします。線形写像
$e_{a} \land e_{b} : E^{(p, q)} \to E^{(p, q)}$
を
$(e_{c} \land e_{b}) e_{a} := g (e_{c}, e_{a}) e_{b} - g (e_{b}, e_{a}) e_{c}$
で定義すると、 ${e_{a} \land e_{b}}$ は $so (p, q)$ の基底となります。

　例えば、 $E^{(1, 2)}$ の正規直交基底を ${e_{0}, e_{1}, e_{2}}$ とすると、
$\begin{aligned} e_{0} \land e_{1} & = (\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ e_{1} \land e_{2} & = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}) \end{aligned}$
となります。

　次に $spin (p, q) = {S p a n}_{R} {v w \in C l_{(p, q)}; v, w \in R^{p + q}}$ なので同型 $A d : spin (p, q) \to so (p, q)$ が
$A d (v w) x := [v w, x], v, w, x \in E^{(p, q)}$
と定義されたことを思い出してください。 $[v w, x]$ を詳しく計算すると
$\begin{aligned} [v w, x] & = v w x - x v w = v (- x w - 2 g (w, x)) - x v w \\ = - (- x v - 2 g (x, v)) w - 2 g (w, x) v - x v w \\ = (x v + 2 g (x, v)) w - 2 g (w, x) v - x v w = 2 g (x, v) w - 2 g (w, x) v \\ = 2 (v \land w) x \end{aligned}$
となります。よって

Lie環の同型 $A d : spin (p, q) \to so (p, q)$ は
$A d (\frac{1}{2} v w) = v \land w$
で与えられる。

となります。

接ベクトルのスピノルへのClifford積

　Spin多様体上の接ベクトルはスピノルへClifford積として作用します。これは以下のように定義されます。

　正規直交基底を ${e_{a}}$ とし、 $C l_{(p, q)} (T_{p} M)$ の既約表現の生成子を ${γ^{a}}$ とします(いわゆるGamma行列)。このとき、Clifford積を
$e_{a} \cdot ψ := η_{a b} γ^{b} ψ$
と定義します。つまり $γ^{a} = η^{a b} e_{b}$ という関係だと覚えておけばよいです。

スピン接続

　スピン接続を定義します。リーマン接続 $\nabla$ は接続形式 $ω_{b}^{a}$ により
$\nabla e_{a} = e_{b} ω_{a}^{b}$
で与えらえます。 $ω_{b}^{a}$ は（局所的には） $so (p, q)$ に値を持つ１形式です。そのことを明確にするように書き直すと次のようになります。

$\nabla e_{λ} = \frac{1}{2} η^{μ ρ} η^{ν σ} g (\nabla e_{μ}, e_{ν}) (e_{ρ} \land e_{σ}) e_{λ}$

$\begin{aligned} \frac{1}{2} η^{μ ρ} η^{ν σ} g (\nabla e_{μ}, e_{ν}) (e_{ρ} \land e_{σ}) e_{λ} \\ = \frac{1}{2} | | e_{μ} | |^{2} | | e_{ν} | |^{2} g (\nabla e_{μ}, e_{ν}) (e_{μ} \land e_{ν}) e_{λ} \\ = \frac{1}{2} | | e_{ρ} | |^{2} ω_{ρ}^{σ} (e_{ρ} \land e_{σ}) e_{λ} \\ = \frac{1}{2} | | e_{ρ} | |^{2} ω_{ρ}^{σ} (η_{ρ λ} e_{σ} - η_{σ λ} e_{ρ}) \\ = \frac{1}{2} (ω_{λ}^{σ} e_{σ} - | | e_{ρ} | |^{2} | | e_{λ} | |^{2} ω_{ρ}^{λ} e_{ρ}) = \frac{1}{2} (ω_{λ}^{σ} e_{σ} + ω_{λ}^{σ} e_{σ}) = ω_{λ}^{σ} e_{σ} \end{aligned}$

公式１より
$A d (\frac{1}{4} η^{μ ρ} η^{ν σ} g (\nabla e_{μ}, e_{ν}) e_{ρ} e_{σ}) = \frac{1}{2} η^{μ ρ} η^{ν σ} g (\nabla e_{μ}, e_{ν}) (e_{ρ} \land e_{σ})$
なので、リーマン接続の接続形式を $A d$ で引き戻して定義される $spin (p, q)$ に値を持つ１形式は
$\frac{1}{4} η^{μ ρ} η^{ν σ} g (\nabla e_{μ}, e_{ν}) e_{ρ} e_{σ} = \frac{1}{4} g (\nabla e_{μ}, e_{ν}) γ^{μ} γ^{ν}$
となります。これよりスピン接続は以下のように定義されます。

スピン接続

擬リーマンSpin多様体において、リーマン接続を $\nabla$ 、正規直交基底を ${e_{μ}}$ 、 $C l_{(p, q)}$ の既約表現の生成子を ${γ^{μ}}$ とするとき、スピン構造のスピノル束にはリーマン接続からスピン接続が一意的に定義され、局所的に以下で与えられる。
$\nabla ψ = d ψ + \frac{1}{4} g (\nabla e_{μ}, e_{ν}) γ^{μ} γ^{ν} ψ$