束と加群 #0

部分環の族$(A_i)_{i \in I} \subset S(R)$を取ると、
$\bigcap_{i \in I}A_i$は$(A_i)_{i \in I}$の下限
$(A_i)_{i \in I}$をすべて含む部分環全体の共通部分を取れば、それは$\bigvee_{i \in I}A_i$
となる。

よって、$S(R)$は完備束。

$K(R)$についても全く同様の事が言える。

$R,T$:環
$f:R→T$:環準同型
$(A_i)_{i \in I} \subset S(R)$

[示すこと：$f(\bigvee_{i \in I}A_i) = \bigvee_{i \in I}f(A_i)$]

全ての$i \in I$について、$\bigvee_{i \in I}A_i \supset A_i$だから、$f(\bigvee_{i \in I}A_i) \supset f(A_i)$
よって、$f(\bigvee_{i \in I}A_i)$は$(f(A_i))_{i \in I}$の上界

$(f(A_i))_{i \in I}$の上界$S'$を取ると、全ての$i \in I$について、$f(A_i) \subset S'$
即ち、$A_i \subset f^{-1}(S')$
$f^{-1}(S')$は$R$の部分環であり、$\bigvee_{i \in I}A_i$は$(A_i)_{i \in I}$の上限だから、$\bigvee_{i \in I}A_i \subset f^{-1}(S')$
ゆえに、$f(\bigvee_{i \in I}A_i) \subset f(f^{-1}(S')) \subset S'$
従って、$f(\bigvee_{i \in I}A_i)$は$(f(A_i))_{i \in I}$の上限。

($S$について)

部分環の準同型像は部分環だから、$S(f)$はwell-defined

[射を射に送る?]
$(A_i)_{i \in I} \subset S(R)$に対し、
$S(f)(\bigvee_{i \in I}A_i) = f(\bigvee_{i \in I}A_i) \overset{補題}{=} \bigvee_{i \in I}f(A_i) = \bigvee_{i \in I}S(f)(A_i)$

[idと合成]
$S(\id_R) = \id_{S(R)}$

$S(f \circ g)(A) = (f \circ g)(A) = f(g(A)) = S(f)(S(g)(A)) = (S(f) \circ S(g))(A)$

($K$について)

イデアルの準同型による逆像はイデアルだから、$K(f)$はwell-defined

[射を射に送る?]
$(I_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \subset K(T)$に対し、
$K(f)(\bigcap_{\lambda \in \Lambda}I_\lambda) = f^{-1}(\bigcap_{\lambda \in \Lambda}I_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(I_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K(f)(I_\lambda)$

[idと合成]
$K(\id_R) = \id_{K(R)}$

$K(f \circ g)(I) = (f \circ g)^{-1}(I) = g^{-1}(f^{-1}(I)) = K(g)(K(f)(I)) = (K(g) \circ K(f))(I)$

$A,B,C \in K(M)$とする。
$A \le C$とする。

[$A+(B \cap C) = (A+B)\cap C$]
[$\subset$]
$x \in A+(B \cap C)$をとる。
$x = a + y$と表せる。($a \in A \subset C, y \in B \cap C$)
よって、$x \in C$であり、$x$は$A$の元と$B$の元の和で表される。
従って、$x \in (A+B)\cap C$

[$\supset$]
$x \in (A+B)\cap C$をとる。
$x = a + b$と表せる。($a \in A \subset C, b\in B$)
$x,a \in C$であり、$b = x-a$だから、$b \in C$
よって、$x$は$A$の元と$B \cap C$の元の和で表される。
従って、$x \in A+(B \cap C)$

[$(\sum_{i \in I}A_i)/N = \sum_{i \in I} (A_i/N)$]
[$\subset$]
$m+N \in (\sum_{i \in I}A_i)/N$を取る。

$m = \sum_{j=1}^na_j$と表せる。($a_j \in \bigcup_{i \in I}A_i$)

よって、
$m+N = (\sum_{j=1}^na_j) + N = \sum_{j=1}^n(a_j + N)$

$a_j+N \in \bigcup_{i \in I}(A_i/N)$だから、
$m+N \in \sum_{i \in I}(A_i/N)$

[$\supset$]
$u \in \sum_{i \in I}(A_i/N)$を取る。

$u = \sum_{j=1}^n(a_j+N)$と表せる。($a_j +N \in \bigcup_{i \in I}(A_i/N)$)

$\sum_{j=1}^n(a_j+N) = \sum_{j=1}^na_j + N$ ($a_j \in \bigcup_{i \in I}A_i$)

よって、$u \in (\sum_{i \in I}A_i)/N$

[$(\bigcap_{i \in I}A_i)/N = \bigcap_{i \in I} (A_i/N)$]
[$\subset$]
$m+N \in (\bigcap_{i \in I}A_i)/N$を取る。
$\forall i \in I, m \in A_i$だから、$\forall i \in I, m+N \in A_i/N$
従って、$\bigcap_{i \in I} (A_i/N)$

[$\supset$]
$u \in \bigcap_{i \in I}(A_i/N)$を取る。
$u \in M/N$であるから、$u = m+N$と表せる。($m \in M$)

$i \in I$を取る。
$m+N \in A_i/N$であるから、$m+N = a_i+N$なる$a_i \in A_i$が存在する。
よって、$m-a_i \in N$
$N \subset A_i$より、$m = (m-a_i)+a_i \in A_i$

従って、$m \in \bigcap_{i \in I}A_i$
ゆえに、$m+N \in (\bigcap_{i \in I}A_i)/N$

$X = ↑^{K(M)}N$
$Y = K(M/N)$と置く。

[$f:X→Y;\ L↦L/N$は完備束同型]

[全単射]
$\i$$g:Y→X$
$\i$$U↦\{x \in M\ |\ x+N \in U\}$
$\i$と置くと、これは$f$の逆写像

$\i$[$f \circ g = \id_{Y}$]
$\ii$$U \in Y$を取る。

$\ii$[$(f \circ g)(U) = \id_{Y}(U)$]
$\ii$[i.e. $\{x \in M\ |\ x+N \in U\}/N = U$]
$\iii$[$\subset$]
$\iiii$$x + N \in \{x \in M\ |\ x+N \in U\}/N$を取ると、$x + N \in U$

$\iii$[$\supset$]
$\iiii$$x + N \in U$を取ると、$x \in \{x \in M\ |\ x+N \in U\}$
$\iiii$従って、$x + N \in \{x \in M\ |\ x+N \in U\}/N$

$\i$[$g \circ f = \id_{X}$]
$\ii$$L \in X$を取る。

$\ii$[$(g \circ f)(L) = \id_{X}(L)$]
$\ii$[i.e. $\{x \in M\ |\ x+N \in L/N\} = L$]
$\iii$[$\subset$]
$\iiii$$x \in \{x \in M\ |\ x+N \in L/N\}$を取ると、$x \in L$

$\iii$[$\supset$]
$\iiii$$x \in L$を取ると、$x+N \in L/N$だから、$x \in \{x \in M\ |\ x+N \in L/N\}$

[$f$は結びと交わりを保つ]
$\i$$(A_i)_{i \in I} \subset X$を取る。

$\i$$f(\sum_{i \in I}A_i) = (\sum_{i \in I}A_i)/N \overset{補題}{=} \sum_{i \in I} (A_i/N) = \sum_{i \in I} f(A_i)$

$\i$$f(\bigcap_{i \in I}A_i) = (\bigcap_{i \in I}A_i)/N \overset{補題}{=} \bigcap_{i \in I} (A_i/N) = \bigcap_{i \in I} f(A_i)$