束と加群

部分環の族$(A_i)_{i \in I} \subset S(R)$を取ると、
$\bigcap_{i \in I}A_i$は$(A_i)_{i \in I}$の下限
$(A_i)_{i \in I}$をすべて含む部分環全体の共通部分を取れば、それは$\bigvee_{i \in I}A_i$
となる。

よって、$S(R)$は完備束。

$K(R)$についても全く同様の事が言える。

$R,T$:環
$f:R→T$:環準同型
$(A_i)_{i \in I} \subset S(R)$

[示すこと：$f(\bigvee_{i \in I}A_i) = \bigvee_{i \in I}f(A_i)$]

全ての$i \in I$について、$\bigvee_{i \in I}A_i \supset A_i$だから、$f(\bigvee_{i \in I}A_i) \supset f(A_i)$
よって、$f(\bigvee_{i \in I}A_i)$は$(f(A_i))_{i \in I}$の上界

$(f(A_i))_{i \in I}$の上界$S'$を取ると、全ての$i \in I$について、$f(A_i) \subset S'$
即ち、$A_i \subset f^{-1}(S')$
$f^{-1}(S')$は$R$の部分環であり、$\bigvee_{i \in I}A_i$は$(A_i)_{i \in I}$の上限だから、$\bigvee_{i \in I}A_i \subset f^{-1}(S')$
ゆえに、$f(\bigvee_{i \in I}A_i) \subset f(f^{-1}(S')) \subset S'$
従って、$f(\bigvee_{i \in I}A_i)$は$(f(A_i))_{i \in I}$の上限。

($S$について)

部分環の準同型像は部分環だから、$S(f)$はwell-defined

[射を射に送る?]
$(A_i)_{i \in I} \subset S(R)$に対し、
$S(f)(\bigvee_{i \in I}A_i) = f(\bigvee_{i \in I}A_i) \overset{補題}{=} \bigvee_{i \in I}f(A_i) = \bigvee_{i \in I}S(f)(A_i)$

[idと合成]
$S(\id_R) = \id_{S(R)}$

$S(f \circ g)(A) = (f \circ g)(A) = f(g(A)) = S(f)(S(g)(A)) = (S(f) \circ S(g))(A)$

($K$について)

イデアルの準同型による逆像はイデアルだから、$K(f)$はwell-defined

[射を射に送る?]
$(I_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \subset K(T)$に対し、
$K(f)(\bigcap_{\lambda \in \Lambda}I_\lambda) = f^{-1}(\bigcap_{\lambda \in \Lambda}I_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(I_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K(f)(I_\lambda)$

[idと合成]
$K(\id_R) = \id_{K(R)}$

$K(f \circ g)(I) = (f \circ g)^{-1}(I) = g^{-1}(f^{-1}(I)) = K(g)(K(f)(I)) = (K(g) \circ K(f))(I)$

$A,B,C \in K(M)$とする。
$A \le C$とする。

[$A+(B \cap C) = (A+B)\cap C$]
[$\subset$]
$x \in A+(B \cap C)$をとる。
$x = a + y$と表せる。($a \in A \subset C, y \in B \cap C$)
よって、$x \in C$であり、$x$は$A$の元と$B$の元の和で表される。
従って、$x \in (A+B)\cap C$

[$\supset$]
$x \in (A+B)\cap C$をとる。
$x = a + b$と表せる。($a \in A \subset C, b\in B$)
$x,a \in C$であり、$b = x-a$だから、$b \in C$
よって、$x$は$A$の元と$B \cap C$の元の和で表される。
従って、$x \in A+(B \cap C)$

[$(\sum_{i \in I}A_i)/N = \sum_{i \in I} (A_i/N)$]
[$\subset$]
$m+N \in (\sum_{i \in I}A_i)/N$を取る。

$m = \sum_{j=1}^na_j$と表せる。($a_j \in \bigcup_{i \in I}A_i$)

よって、
$m+N = (\sum_{j=1}^na_j) + N = \sum_{j=1}^n(a_j + N)$

$a_j+N \in \bigcup_{i \in I}(A_i/N)$だから、
$m+N \in \sum_{i \in I}(A_i/N)$

[$\supset$]
$u \in \sum_{i \in I}(A_i/N)$を取る。

$u = \sum_{j=1}^n(a_j+N)$と表せる。($a_j +N \in \bigcup_{i \in I}(A_i/N)$)

$\sum_{j=1}^n(a_j+N) = \sum_{j=1}^na_j + N$ ($a_j \in \bigcup_{i \in I}A_i$)

よって、$u \in (\sum_{i \in I}A_i)/N$

[$(\bigcap_{i \in I}A_i)/N = \bigcap_{i \in I} (A_i/N)$]
[$\subset$]
$m+N \in (\bigcap_{i \in I}A_i)/N$を取る。
$\forall i \in I, m \in A_i$だから、$\forall i \in I, m+N \in A_i/N$
従って、$\bigcap_{i \in I} (A_i/N)$

[$\supset$]
$u \in \bigcap_{i \in I}(A_i/N)$を取る。
$u \in M/N$であるから、$u = m+N$と表せる。($m \in M$)

$i \in I$を取る。
$m+N \in A_i/N$であるから、$m+N = a_i+N$なる$a_i \in A_i$が存在する。
よって、$m-a_i \in N$
$N \subset A_i$より、$m = (m-a_i)+a_i \in A_i$

従って、$m \in \bigcap_{i \in I}A_i$
ゆえに、$m+N \in (\bigcap_{i \in I}A_i)/N$

$X = ↑^{K(M)}N$
$Y = K(M/N)$と置く。

[$f:X→Y;\ L↦L/N$は完備束同型]

[全単射]

[$f$は結びと交わりを保つ]
$(A_i)_{i \in I} \subset X$を取る。

$f(\sum_{i \in I}A_i) = (\sum_{i \in I}A_i)/N \overset{補題}{=} \sum_{i \in I} (A_i/N) = \sum_{i \in I} f(A_i)$

$f(\bigcap_{i \in I}A_i) = (\bigcap_{i \in I}A_i)/N \overset{補題}{=} \bigcap_{i \in I} (A_i/N) = \bigcap_{i \in I} f(A_i)$

$M \simeq N$とすると、$K(M) \simeq_{\mathrm{CLat}} K(N)$
よって、$K(M) \simeq_{\mathrm{Ord}} K(N)$
順序同型でACC/DCCは引き継がれる。
よって、$M$がNoetherなら、$K(M)$がACCとなり、$K(N)$がACCとなり、$N$がNoetherとなる。

Artinも同様。

$K(M)$はモジュラー束であるから、

$K(M)$がACCを満たす ⇔ $↑^{K(M)}N$と$↓^{K(M)}N$がACCを満たす
$K(M)$がDCCを満たす ⇔ $↑^{K(M)}N$と$↓^{K(M)}N$がDCCを満たす

[1]の57ページとか

$M = M_1 \oplus \bigoplus_{i=2}^n \{0_{M_i}\}$と置く。
$M \simeq M_1$である。

$(\bigoplus_{i=1}^nM_i)/M \simeq \bigoplus_{i=2}^nM_i$であるから、
$\bigoplus_{i=1}^nM_i$がNoether ⇔ $M_1$と$\bigoplus_{i=2}^nM_i$がNoether
これを繰り返し使うと、
$\bigoplus_{i=1}^nM_i$がNoether ⇔ 各$M_i$がNoether

[⇒]
$N = \sum_{i \in I}N_i$と表せたとする。($N_i \le N$)

$N$の有限生成系を$X$とする。

この時、各$x \in X$に対し、$x \in \sum_{i \in I}N_i$だから、
$x = \sum_{j=1}^nn_j$と表せる。($n_j \in \bigcup_{i \in I}N_i$)
各$j$に対し、$n_j \in N_i$なる$i \in I$を取り、$i_j$と表す。
$I_x = \{i_j\ |\ 1\le j \le n \}$と置く。
この時、$x \in \sum_{i \in I_x}N_i$

$J = \bigcup_{x \in X} I_x$と置くと、$J$は有限集合で、$X \subset \sum_{i \in J}N_i$

$\sum_{i \in J}N_i$は加群であり、$N$の生成系$X$を含むから、$\sum_{i \in J}N_i=N$

[⇐]
$N = \sum_{x \in N}Rx$である。
$N$はコンパクトだから、ある$X \underset{fin}{\subset}N$があって、$N = \sum_{x \in X}Rx$

$M$がNoether ⇔ $K(M)$がACC ⇔ $K(M)$の任意の元がコンパクト ⇔ $M$の任意の部分加群が有限生成

$M\not=\{0\}$がNoether加群の時、$K(M)$はACCを満たすから、任意の空でない部分集合が極大元を持つ。よって、$K(M)\setminus\{M\}$が極大元を持つ。

Artinも同様。

[⇒]
$S \le T \le M$なる$T$を取ると、$\{0\} \le T/S \le M/S$
$M/S$は単純加群だから、$T/S = \{0\}$または$T/S=M/S$
従って、$T=S$または$T=M$

[⇐]
$M/S$の部分加群と$M$の$S$を含む部分加群は一対一に対応する。
$S \prec M$であるから、$M$の$S$を含む部分加群は$S$と$M$だけである。
従って、$M/S$の部分加群は$\{0\}$と$M/S$だけである。

$K(M)$はモジュラー束であるから、

$M$が組成列を持つ ⇔ $K(M)$が有限極大鎖を持つ ⇔ $K(M)$がACCとDCCを満たす ⇔ $M$がNoetherかつArtin

組成列を持つ加群$M$は有限長モジュラー束であるから、全ての有限極大鎖(組成列)の濃度は等しい。

$f: N_0 → (N_0 + N_1)/N_1$
$n ↦ n + N_1$
と定める。

$f$は全射準同型で、$\ker(f) = N_0 \cap N_1$

よって、準同型定理より、$N_0/(N_0 \cap N_1) \simeq (N_0 + N_1)/N_1$

[$(M_1,M_0) \sim (N_1,N_0) ⇒ M_0/M_1 \simeq N_0/N_1$]
ダイヤモンド同型定理より、$M_0/(M_0 \cap N_1) \simeq (M_0+N_1)/N_1$

$(M_1,M_0) \sim (N_1,N_0)$より、
$M_1 = M_0 \wedge N_1$かつ$N_0 = M_0 \vee N_1$であるから、

$M_0/M_1 \simeq N_0/N_1$

[$(N_1,N_0) \sim (M_1,M_0) ⇒ M_0/M_1 \simeq N_0/N_1$]
同様に、$N_0/N_1 \simeq M_0/M_1$

従って、$(N_1,N_0) \sim' (M_1,M_0) ⇒ M_0/M_1 \simeq N_0/N_1$

$(M_1,M_0) \sim^* (N_1,N_0)$ということは、有限個の$\sim'$を乗り継いで関係を持つということであり、$\simeq$は推移律を満たすから、

$(N_1,N_0) \sim^* (M_1,M_0) ⇒ M_0/M_1 \simeq N_0/N_1$

$K(M)$は有限長モジュラー束であるから、Jordan-Hölderの定理より、ある置換$\sigma$が存在して、
$(M_{i+1},M_i) \sim^* (N_{\sigma(i)+1},N_\sigma(i))$

従って、$M_i/M_{i+1} \simeq N_{\sigma(i)}/N_{\sigma(i)+1}$

$c(M) = \rho(K(M))$
$c(N) = \rho(K(N)) = \rho(↓^{K(M)}N)$
$c(M/N) = \rho(K(M/N)) = \rho(↑^{K(M)}N)$

よって、$c(M) = c(N) + c(M/N)$

$M = M_0 \oplus \bigoplus_{i=1}^{n-1}\{0\}$と置く。
$M \simeq M_0$である。

$\bigoplus_{i=0}^{n-1}M_i/M \simeq \bigoplus_{i=1}^{n-1}M_i$だから、

$c(\bigoplus_{i=0}^{n-1}M_i) = c(M_0) + c(\bigoplus_{i=1}^{n-1}M_i)$

これを繰り返し使って、

$c(\bigoplus_{i=0}^{n-1}M_i) = \sum_{i=0}^{n-1}c(M_i)$