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行列式の因数分解

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{bs}[0]{\boldsymbol} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{c}[0]{\cdot} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\boldsymbol{e}} \newcommand{f}[0]{\hat{f}} \newcommand{F}[0]{\mathcal{F}} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{FF}[6]{{}_3F_2\left(\begin{matrix}#1,#2,#3\\#4,#5\end{matrix};#6\right)} \newcommand{G}[0]{\widehat{G}} \newcommand{g}[0]{\hat{g}} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{H}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{he}[0]{\hat{e}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{L}[0]{\Lambda} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{La}[0]{\Lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{M}[4]{\begin{pmatrix}#1& #2\\#3& #4\end{pmatrix}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{O}[0]{\Omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{x}[0]{\chi} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事ではある種の対称性を持つ行列式の因数分解公式
$$\det(f(x_i^{-1}x_j))=\prod_{\x\in\G}\l(\sum_{x\in G}f(x)\x(x)\r)$$
について簡単に解説していきます。

証明

 有限アーベル群
$$G=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$$
上の関数$f:G\to\C$に対し
$$A=\begin{pmatrix} f(1)&f(x_1^{-1}x_2)&f(x_1^{-1}x_3)&\cdots&f(x_1^{-1}x_n)\\ f(x_2^{-1}x_1)&f(1)&f(x_2^{-1}x_3)&\cdots&f(x_2^{-1}x_n)\\ f(x_3^{-1}x_1)&f(x_3^{-1}x_2)&f(1)&\cdots&f(x_3^{-1}x_n)\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f(x_n^{-1}x_1)&f(x_n^{-1}x_2)&f(x_n^{-1}x_3)&\cdots&f(1) \end{pmatrix}$$
とおくと
$$\det A=\prod_{\x\in\G}\l(\sum_{x\in G}f(x)\x(x)\r)$$
が成り立つ。ただし$\G$$G$ 指標群 とした。

 $|G|=|\G|$であることに注意すると、$A$の固有値
$$\la_\x=\sum_{x\in G}f(x)\x(x)$$
に関する固有ベクトル
\begin{align} \bs x_\x &=\sum^n_{i=1}\x(x_i)\e_i\\ &=\begin{pmatrix} \x(x_1)&\x(x_2)&\cdots&\x(x_n) \end{pmatrix}^T \end{align}
たちが線形独立であることを示せばよい。
 ただし$\e_1,\e_2,\ldots,\e_n$$\C^n$の標準基底とした。

固有ベクトルであること

\begin{align} A\bs x_\x &=\sum^n_{i=1}\x(x_i)\cdot A\e_i\\ &=\sum^n_{i=1}\x(x_i)\sum^n_{j=1}f(x_i^{-1}x_j)\e_j\\ &=\sum^n_{j=1}\x(x_j)\l(\sum^n_{i=1}\x(x_j^{-1}x_i)f(x_i^{-1}x_j)\r)\e_j\\ &=\sum^n_{j=1}\x(x_j)\l(\sum_{x\in G}\x(x)f(x)\r)\e_j\\ &=\la_\x\bs x_\x \end{align}
とわかる。

線形独立であること

  この記事 の定理5から$\x,\x'\in\G$に対し、$\bs x_\x,\bs x_{\x'}$の複素内積は
\begin{align} \langle\bs x_\x,\bs x_{\x'}\rangle &=\sum^n_{i=0}\x(x_i)\ol{\x'(x_i)}\\ &=\sum_{x\in G}(\x\x'^{-1})(x)\\ &=\l\{\begin{array}{ll} n&(\x=\x')\\0&(\x\neq\x') \end{array}\r. \end{align}
と求まるので$\bs x_\x$たちは互いに直交しており、したがって線形独立であることがわかる。

計算例

 例えば$G=\Z/n\Z$とおくと以下の公式が得られます。

 $\z=e^{2\pi i/n}$とおくと
$$\begin{vmatrix} a_0&a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}\\ a_{n-1}&a_0&a_1&\cdots&a_{n-2}\\ a_{n-2}&a_{n-1}&a_0&\cdots&a_{n-3}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1&a_2&a_3&\cdots&a_0 \end{vmatrix}=\prod^{n-1}_{k=0}\l(\sum^{n-1}_{j=0}\z^{jk}a_j\r)$$
が成り立つ。

 具体的に$n=1,2,3,4$の場合を書き下してみると以下のようになります。

 $\o=e^{2\pi i/3}$とおくと
\begin{align} |a|&=a\\ \begin{vmatrix} a&b\\ b&a \end{vmatrix} &=(a+b)(a-b)\\ \begin{vmatrix} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{vmatrix} &=(a+b+c)(a+\o b+\o^2c)(a+\o^2b+\o c)\\ \begin{vmatrix} a&b&c&d\\ d&a&b&c\\ c&d&a&b\\ b&c&d&a \end{vmatrix} &=(a+b+c+d)(a+ib-c-id)(a-b+c-d)(a-ib-c+id) \end{align}
が成り立つ。

 また例えば$G=\Z/2\Z\times\Z/2\Z$とおくと以下の公式が得られます。

$$\begin{vmatrix} a&b&c&d\\ b&a&d&c\\ c&d&a&b\\ d&c&b&a \end{vmatrix} =(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)$$

フーリエ変換との関係

 ちなみに上の公式は有限アーベル群$G$上の離散フーリエ変換
$$\f(\x)=\sum_{x\in G}f(x)\x(x)\quad\iff\quad f(x)=\frac1{|G|}\sum_{\x\in\G}\f(\x)\ol{\x(x)}$$
を用いることで次のような説明付けをすることもできます。

関数空間$V_G=\operatorname{Map}(G,\C)$

 $G$から$\C$への写像全体のなす$\C$-線形空間$V_G$
$$e_i(x_j)=\l\{\begin{array}{ll} 1&(i=j)\\0&(i\neq j) \end{array}\r.$$
なる関数$e_1,e_2,\ldots,e_n$を標準基底に持つ。
 すなわち任意の$f\in V_G$に対し
$$f=\sum^n_{i=1}f(x_i)e_i=\begin{bmatrix} e_1&e_2&\cdots&e_n \end{bmatrix}\begin{pmatrix} f(x_1)\\f(x_2)\\\vdots\\f(x_n) \end{pmatrix}$$
が成り立つ。

畳み込み

 関数$f,g\in V_G$に対し、その畳み込み$f*g$
$$(f*g)(x)=\sum_{y\in G}f(xy^{-1})g(y)$$
によって定める。このとき線形写像
$$T_f:V_G\to V_G,\quad g\mapsto f*g$$
の標準基底に関する表現行列は$A=(f(x_ix_j^{-1}))_{i,j}$となる。
 すなわち
$$f*g=\begin{bmatrix} e_1&e_2&\cdots&e_n \end{bmatrix}A\begin{pmatrix} g(x_1)\\g(x_2)\\\vdots\\g(x_n) \end{pmatrix}$$
が成り立つ。

フーリエ変換

 関数$f\in V_G$のフーリエ変換$\f\in V_\G$
$$\f(\G)=\sum_{x\in G}f(x)\x(x)$$
によって定めると、簡単な計算により
$$\widehat{f*g}=\f\c\g$$
が成り立つ。
 特に線形写像
$$\F:V_G\to V_\G,\quad f\mapsto\f$$
を考えると、上の式は
$$(\F T_f)g=\f\c(\F g)$$
と表せるので、$V_\G$の標準基底
$$\he_1,\he_2,\ldots,\he_n$$
に関する両辺の表現行列を考えることで
$$F A=\begin{pmatrix} \f(\x_1)\\ &\f(\x_2)\\ &&\ddots\\ &&&\f(\x_n) \end{pmatrix}F$$
を得る。ただし$F$$\F$の表現行列
$$F=\begin{pmatrix} \x_1(x_1)&\x_1(x_2)&\cdots&\x_1(x_n)\\ \x_2(x_1)&\x_2(x_2)&\cdots&\x_2(x_n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\ \x_n(x_1)&\x_n(x_2)&\cdots&\x_n(x_n)\\ \end{pmatrix}$$
とした。

結論

 特にフーリエ変換は可逆であることから
$$A=F^{-1}\begin{pmatrix} \f(\x_1)\\ &\f(\x_2)\\ &&\ddots\\ &&&\f(\x_n) \end{pmatrix}F$$
と対角化されることとなる。
 なるほどなあ。

おまけ

 ちなみに上の計算例から
$$\begin{vmatrix} a&b&0&\cdots&0&c\\ c&a&b&\cdots&0&0\\ 0&c&a&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a&b\\ b&0&0&\cdots&c&a \end{vmatrix}=\prod^n_{k=1}\l(a+\z^kb+\z^{-k}c\r)$$
が成り立っていましたが、これと似て非なる行列式として次のような公式も知られています。

$$\begin{vmatrix} a&b&0&\cdots&0&0\\ c&a&b&\cdots&0&0\\ 0&c&a&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a&b\\ 0&0&0&\cdots&c&a \end{vmatrix}=\prod^n_{k=1}\l(a-2\sqrt{bc}\cos\frac{\pi k}{n+1}\r)$$

 左辺の行列を$A$とおく。$bc=0$のときは明らかなので$bc\neq0$としてよい。
 このとき$\sqrt{bc}$の枝の取り方に応じて$\sqrt{c/b}$の枝を
$$\sqrt{\frac cb}=\frac{\sqrt{bc}}b=\frac{c}{\sqrt{bc}}$$
となるように取り、縦ベクトル$\bs x_j=(x_{i,j})_{1\leq i\leq n}$
$$x_{i,j}=\bigg(-\sqrt{\frac cb}\bigg)^i\sin\frac{\pi ij}{n+1}$$
によって定めたとき、$i=0,n+1$において$x_{i,j}=0$となることに注意すると
\begin{align} A\bs x_j &=(cx_{i-1,j}+ax_{i,j}+bx_{i+1,j})_i\\ &=\l(a-2\sqrt{bc}\cos\frac{\pi j}{n+1}\r)\cdot(x_{i,j})_i \end{align}
が成り立つので
$$a-2\sqrt{bc}\cos\frac{\pi j}{n+1}\qquad(j=1,2,\ldots,n)$$
は(相違なる)$A$の固有値となり、したがってその積が$A$の行列式となる。

投稿日:17日前
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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