行列式の因数分解

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はじめに

　この記事ではある種の対称性を持つ行列式の因数分解公式
$\det (f (x_{i}^{- 1} x_{j})) = \prod_{χ \in \hat{G}} (\sum_{x \in G} f (x) χ (x))$
について簡単に解説していきます。

証明

　有限アーベル群
$G = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$
上の関数 $f : G \to C$ に対し
$A = (\begin{matrix} f (1) & f (x_{1}^{- 1} x_{2}) & f (x_{1}^{- 1} x_{3}) & \dots & f (x_{1}^{- 1} x_{n}) \\ f (x_{2}^{- 1} x_{1}) & f (1) & f (x_{2}^{- 1} x_{3}) & \dots & f (x_{2}^{- 1} x_{n}) \\ f (x_{3}^{- 1} x_{1}) & f (x_{3}^{- 1} x_{2}) & f (1) & \dots & f (x_{3}^{- 1} x_{n}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ f (x_{n}^{- 1} x_{1}) & f (x_{n}^{- 1} x_{2}) & f (x_{n}^{- 1} x_{3}) & \dots & f (1) \end{matrix})$
とおくと
$\det A = \prod_{χ \in \hat{G}} (\sum_{x \in G} f (x) χ (x))$
が成り立つ。ただし $\hat{G}$ は $G$ の指標群とした。

　 $| G | = | \hat{G} |$ であることに注意すると、 $A$ の固有値
$λ_{χ} = \sum_{x \in G} f (x) χ (x)$
に関する固有ベクトル
$\begin{aligned} x_{χ} & = \sum_{i = 1}^{n} χ (x_{i}) e_{i} \\ = {(\begin{array}{c} χ (x_{1}) & χ (x_{2}) & \dots & χ (x_{n}) \end{array})}^{T} \end{aligned}$
たちが線形独立であることを示せばよい。
　ただし $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ は $C^{n}$ の標準基底とした。

固有ベクトルであること

$\begin{aligned} A x_{χ} & = \sum_{i = 1}^{n} χ (x_{i}) \cdot A e_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{n} χ (x_{i}) \sum_{j = 1}^{n} f (x_{i}^{- 1} x_{j}) e_{j} \\ = \sum_{j = 1}^{n} χ (x_{j}) (\sum_{i = 1}^{n} χ (x_{j}^{- 1} x_{i}) f (x_{i}^{- 1} x_{j})) e_{j} \\ = \sum_{j = 1}^{n} χ (x_{j}) (\sum_{x \in G} χ (x) f (x)) e_{j} \\ = λ_{χ} x_{χ} \end{aligned}$
とわかる。

線形独立であること

　この記事の定理5から $χ, χ^{'} \in \hat{G}$ に対し、 $x_{χ}, x_{χ^{'}}$ の複素内積は
$\begin{aligned} ⟨ x_{χ}, x_{χ^{'}} ⟩ & = \sum_{i = 0}^{n} χ (x_{i}) \overset{―}{χ^{'} (x_{i})} \\ = \sum_{x \in G} (χ χ^{' - 1}) (x) \\ = {\begin{cases} n & (χ = χ^{'}) \\ 0 & (χ \neq χ^{'}) \end{cases} \end{aligned}$
と求まるので $x_{χ}$ たちは互いに直交しており、したがって線形独立であることがわかる。

計算例

　例えば $G = Z / n Z$ とおくと以下の公式が得られます。

　 $ζ = e^{2 π i / n}$ とおくと
$| \begin{matrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n - 1} \\ a_{n - 1} & a_{0} & a_{1} & \dots & a_{n - 2} \\ a_{n - 2} & a_{n - 1} & a_{0} & \dots & a_{n - 3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{0} \end{matrix} | = \prod_{k = 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0}^{n - 1} ζ^{j k} a_{j})$
が成り立つ。

　具体的に $n = 1, 2, 3, 4$ の場合を書き下してみると以下のようになります。

　 $ω = e^{2 π i / 3}$ とおくと
$\begin{aligned} | a | & = a \\ | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} | & = (a + b) (a - b) \\ | \begin{array}{c} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{array} | & = (a + b + c) (a + ω b + ω^{2} c) (a + ω^{2} b + ω c) \\ | \begin{array}{c} a & b & c & d \\ d & a & b & c \\ c & d & a & b \\ b & c & d & a \end{array} | & = (a + b + c + d) (a + i b - c - i d) (a - b + c - d) (a - i b - c + i d) \end{aligned}$
が成り立つ。

　また例えば $G = Z / 2 Z \times Z / 2 Z$ とおくと以下の公式が得られます。

$| \begin{matrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{matrix} | = (a + b + c + d) (a + b - c - d) (a - b + c - d) (a - b - c + d)$

フーリエ変換との関係

　ちなみに上の公式は有限アーベル群 $G$ 上の離散フーリエ変換
$\hat{f} (χ) = \sum_{x \in G} f (x) χ (x) ⟺ f (x) = \frac{1}{| G |} \sum_{χ \in \hat{G}} \hat{f} (χ) \overset{―}{χ (x)}$
を用いることで次のような説明付けをすることもできます。

関数空間 $V_{G} = Map (G, C)$

　 $G$ から $C$ への写像全体のなす $C$ -線形空間 $V_{G}$ は
$e_{i} (x_{j}) = {\begin{cases} 1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases}$
なる関数 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ を標準基底に持つ。
　すなわち任意の $f \in V_{G}$ に対し
$f = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) e_{i} = [\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix}] (\begin{matrix} f (x_{1}) \\ f (x_{2}) \\ ⋮ \\ f (x_{n}) \end{matrix})$
が成り立つ。

畳み込み

　関数 $f, g \in V_{G}$ に対し、その畳み込み $f * g$ を
$(f * g) (x) = \sum_{y \in G} f (x y^{- 1}) g (y)$
によって定める。このとき線形写像
$T_{f} : V_{G} \to V_{G}, g \mapsto f * g$
の標準基底に関する表現行列は $A = (f (x_{i} x_{j}^{- 1}))_{i, j}$ となる。
　すなわち
$f * g = [\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n} \end{matrix}] A (\begin{matrix} g (x_{1}) \\ g (x_{2}) \\ ⋮ \\ g (x_{n}) \end{matrix})$
が成り立つ。

フーリエ変換

　関数 $f \in V_{G}$ のフーリエ変換 $\hat{f} \in V_{\hat{G}}$ を
$\hat{f} (\hat{G}) = \sum_{x \in G} f (x) χ (x)$
によって定めると、簡単な計算により
$\hat{f * g} = \hat{f} \cdot \hat{g}$
が成り立つ。
　特に線形写像
$F : V_{G} \to V_{\hat{G}}, f \mapsto \hat{f}$
を考えると、上の式は
$(F T_{f}) g = \hat{f} \cdot (F g)$
と表せるので、 $V_{\hat{G}}$ の標準基底
${\hat{e}}_{1}, {\hat{e}}_{2}, \dots, {\hat{e}}_{n}$
に関する両辺の表現行列を考えることで
$F A = (\begin{matrix} \hat{f} (χ_{1}) \\ \hat{f} (χ_{2}) \\ ⋱ \\ \hat{f} (χ_{n}) \end{matrix}) F$
を得る。ただし $F$ は $F$ の表現行列
$F = (\begin{matrix} χ_{1} (x_{1}) & χ_{1} (x_{2}) & \dots & χ_{1} (x_{n}) \\ χ_{2} (x_{1}) & χ_{2} (x_{2}) & \dots & χ_{2} (x_{n}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ χ_{n} (x_{1}) & χ_{n} (x_{2}) & \dots & χ_{n} (x_{n}) \end{matrix})$
とした。

結論

　特にフーリエ変換は可逆であることから
$A = F^{- 1} (\begin{matrix} \hat{f} (χ_{1}) \\ \hat{f} (χ_{2}) \\ ⋱ \\ \hat{f} (χ_{n}) \end{matrix}) F$
と対角化されることとなる。
　なるほどなあ。

おまけ

　ちなみに上の計算例から
$| \begin{matrix} a & b & 0 & \dots & 0 & c \\ c & a & b & \dots & 0 & 0 \\ 0 & c & a & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & b \\ b & 0 & 0 & \dots & c & a \end{matrix} | = \prod_{k = 1}^{n} (a + ζ^{k} b + ζ^{- k} c)$
が成り立っていましたが、これと似て非なる行列式として次のような公式も知られています。

$| \begin{matrix} a & b & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c & a & b & \dots & 0 & 0 \\ 0 & c & a & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & b \\ 0 & 0 & 0 & \dots & c & a \end{matrix} | = \prod_{k = 1}^{n} (a - 2 \sqrt{b c} \cos \frac{π k}{n + 1})$

　左辺の行列を $A$ とおく。 $b c = 0$ のときは明らかなので $b c \neq 0$ としてよい。
　このとき $\sqrt{b c}$ の枝の取り方に応じて $\sqrt{c / b}$ の枝を
$\sqrt{\frac{c}{b}} = \frac{\sqrt{b c}}{b} = \frac{c}{\sqrt{b c}}$
となるように取り、縦ベクトル $x_{j} = (x_{i, j})_{1 \leq i \leq n}$ を
$x_{i, j} = (- \sqrt{\frac{c}{b}})^{i} \sin \frac{π i j}{n + 1}$
によって定めたとき、 $i = 0, n + 1$ において $x_{i, j} = 0$ となることに注意すると
$\begin{aligned} A x_{j} & = (c x_{i - 1, j} + a x_{i, j} + b x_{i + 1, j})_{i} \\ = (a - 2 \sqrt{b c} \cos \frac{π j}{n + 1}) \cdot (x_{i, j})_{i} \end{aligned}$
が成り立つので
$a - 2 \sqrt{b c} \cos \frac{π j}{n + 1} (j = 1, 2, \dots, n)$
は(相違なる) $A$ の固有値となり、したがってその積が $A$ の行列式となる。

投稿日：22日前

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子葉

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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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