p進Lerch transcendent2
前回の記事 の記法を引き続き用いる. $\lambda\in\CC_p$を$|\lambda-1|_p\geq 1$となるものとする. $\chi$は法$p$の指標とする.
Taylor展開
$x-a\in p\ZZ_p$のとき,
\begin{align}
\Phi_p(\lambda,s,x;\chi)=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(s)_n}{n!}\Phi_p(\lambda,s+n,a;\chi\omega^{-n})(x-a)^n
\end{align}
が成り立つ.
$h=x-a$とすると,
\begin{align}
\Phi_p(\lambda,s,x;\chi)&=\int_{\ZZ_p}\chi(a+h+t)\langle a+h+t\rangle^{-s}\,d\mu_{\lambda}(t)\\
&=\int_{\ZZ_p}\chi(a+t)\langle a+t\rangle^{-s}\left(1+\frac{h}{a+t}\right)^{-s}\,d\mu_{\lambda}(t)\\
&=\int_{\ZZ_p}\chi(a+t)\langle a+t\rangle^{-s}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(s)_n}{n!}(a+t)^{-n}h^n\,d\mu_{\lambda}(t)\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(s)_n}{n!}h^n\int_{\ZZ_p}(\chi\omega^{-n})(a+t)\langle a+t\rangle^{-s-n}\,d\mu_{\lambda}(t)\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(s)_n}{n!}\Phi_p(\lambda,s+n,a;\chi\omega^{-n})h^n
\end{align}
と示される.
有限和の表示
前回の記事
の命題2
\begin{align}
\lambda\Phi_p(\lambda,s,x+1;\chi)-\Phi_p(\lambda,s,x;\chi)=-\chi(x)\langle x\rangle^{-s}
\end{align}
において$x\mapsto x+n$として両辺に$\lambda^n$を掛けて$n=0$から$N-1$まで足し合わせると以下を得る.
$s,x\in\ZZ_p$とする. このとき,
\begin{align}
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\chi(n+x)\lambda^n}{\langle n+x\rangle^{s}}=\Phi_p(\lambda,s,x;\chi)-\lambda^N\Phi_p(\lambda,s,N+x;\chi)
\end{align}
が成り立つ. 特に$\omega$をTeichmüller指標として, $s=k\in\ZZ, \chi=\omega^{-k}$とすると
\begin{align}
\sum_{\substack{0\leq n< N\\p\nmid (n+x)}}\frac{\lambda^n}{( n+x)^k}=\Phi_p(\lambda,k,x;\omega^{-k})-\lambda^N\Phi_p(\lambda,k,N+x;\omega^{-k})
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\Li_k^{(p)}(\lambda):=\Phi_p(\lambda,k,0;\omega^{-k})
\end{align}
とする. $x\in\ZZ_p$に対し, $\langle-x\rangle_p$を
\begin{align}
0\leq \langle-x\rangle_p< p,\qquad x+\langle-x\rangle_p\equiv 0\pmod p
\end{align}
を満たすものとして定め, $\displaystyle x':=\frac{x+\langle-x\rangle_p}p$とする. 命題2の後半の式において, $x=0$とすると,
\begin{align}
\sum_{\substack{0< n< N\\p\nmid n}}\frac{\lambda^n}{n^k}=\Li_k^{(p)}(\lambda)-\lambda^N\Phi_p(\lambda,k,N;\omega^{-k})
\end{align}
を得る. さらに$N=1+\langle -x\rangle_p$として命題1を用いて展開すると,
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\langle -x\rangle_p}\frac{\lambda^n}{n^k}&=\Li_k^{(p)}(\lambda)-\lambda^{1+\langle -x\rangle_p}\Phi_p(\lambda,k,1+\langle-x\rangle_p;\omega^{-k})\\
&=\Li_k^{(p)}(\lambda)-\lambda^{1+\langle -x\rangle_p}\Phi_p(\lambda,k,1-x+px';\omega^{-k})\\
&=\Li_k^{(p)}(\lambda)-\lambda^{1+\langle -x\rangle_p}\sum_{0\leq j}(-1)^j\binom{j+k-1}j\Phi_p(\lambda,j+k,1-x;\omega^{-j-k})(px')^j
\end{align}
となる. つまり以下を得る.
$k\in\ZZ, x\in\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\langle -x\rangle_p}\frac{\lambda^n}{n^k}&=\Li_k^{(p)}(\lambda)-\lambda^{1+\langle -x\rangle_p}\sum_{0\leq j}(-1)^j\binom{j+k-1}j\Phi_p(\lambda,j+k,1-x;\omega^{-j-k})(px')^j
\end{align}
が成り立つ. 特に$x=1$のとき
\begin{align}
\sum_{n=1}^{p-1}\frac{\lambda^n}{n^k}&=\Li_k^{(p)}(\lambda)-\lambda^p\sum_{0\leq j}(-1)^j\binom{j+k-1}j\Li_{j+k}^{(p)}(\lambda)p^j
\end{align}
が成り立つ.
$\lambda=1$の場合
次に, 前の記事(
p進Hurwitzゼータ関数
)の命題1
\begin{align}
\zeta_p(\chi,s,x+1)-\zeta_p(\chi,s,x)=-(\chi\omega^{-1})(x)\langle x\rangle^{-s}
\end{align}
において, $\chi\mapsto \chi\omega$として命題2と同様に以下が得られる.
$s\in\ZZ_p\setminus\{1\}, x\in\ZZ_p$とする. このとき,
\begin{align}
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\chi(n+x)}{\langle n+x\rangle^{s}}&=\zeta_p(\chi\omega,s,x)-\zeta_p(\chi\omega,s,N+x)
\end{align}
が成り立つ. $s=k\in\ZZ, \chi=\omega^{-k}$とすると
\begin{align}
\sum_{\substack{0\leq n< N\\p\nmid (n+x)}}\frac{1}{( n+x)^k}=\zeta_p(\omega^{1-k},k,x)-\zeta_p(\omega^{1-k},k,N+x)
\end{align}
が成り立つ.
$p$進Hurwitzゼータ関数についても$x-a\in p\ZZ_p$のとき,
\begin{align}
\zeta_p(\chi,s,x)=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(s)_n}{n!}\zeta_p(\chi\omega^{-n},s+n,a)(x-a)^n
\end{align}
が成り立つことが命題1と全く同様に分かる. $p$進$L$関数を$L_p(\chi,s):=\zeta_p(\chi,s,0)$とすると, 命題3の類似として以下が得られる.
$k\geq 2, x\in\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\langle -x\rangle_p}\frac{1}{n^k}&=L_p(\omega^{1-k},k)-\sum_{0\leq j}(-1)^j\binom{j+k-1}j\zeta_p(\omega^{1-j-k},j+k,1-x)(px')^j
\end{align}
が成り立つ. 特に$x=1$のとき
\begin{align}
\sum_{n=1}^{p-1}\frac{1}{n^k}&=-\sum_{1\leq j}(-1)^j\binom{j+k-1}jL_p(\omega^{1-j-k},j+k)p^j
\end{align}
が成り立つ.
命題5の後半の式は, Washingtonの公式
\begin{align}
\sum_{\substack{0< n< Np\\p\nmid n}}\frac{1}{n^k}&=-\sum_{1\leq j}(-1)^j\binom{j+k-1}jL_p(\omega^{1-j-k},j+k)(Np)^j
\end{align}
の$N=1$の場合である. このWashingtonの公式も命題4において$x=0, N\mapsto Np$とすれば従う.
