ℤ₂-係数のコホモロジーの双対境界作用素の像について考えたい
概要
文献 EH を見ていくと、$\mathbb{Z}_2$-係数のホモロジーの話が出て来る*1。これとコホモロジーについて考えたい。特にコホモロジーの双対境界作用素の像について計算してみたい。
ホモロジーとコホモロジー関連の用語
$p$-鎖群と $p$-双対鎖群
$K$ を単体複体とし、$p$ を次元とする。$p$-鎖群を
$$
\begin{align*}\hspace{5em}
C_p = C_p (K) = \left\{\sum a_i \sigma_i;\ a_i \in \mathbb{Z}_2,\ \sigma_i: p\text{-simplices}\right\}
\end{align*}
$$
とする。$\mathbb{Z}_2$ は（標数 2 の）体であり、$C_p$ は基底を $\{\sigma_i\}$ とするようなベクトル空間でもある。
$p$-双対鎖群は $C^p = C^p (K) = \operatorname{Hom} (C_p, \mathbb{Z}_2)$ で定義される。$\{\sigma^j\} \subset C^p$ を $\{\sigma_i\}$ の双対基底、従って $\sigma^j (\sigma_i) = \delta_{ij}$ となるようにとることで、これを基底として $C^p$ も $\mathbb{Z}_2$-係数のベクトル空間になる。また、ベクトル空間としては $C^p = C_p^*$ という形で共役空間になっている。
境界作用素と双対境界作用素
準同型写像 $\partial_p: C_p \to C_{p-1}$ を単体 $\sigma = [u_0, u_1, \ldots, u_p]$ に対し
$$
\begin{align*}\hspace{5em}
\partial_p \sigma = \sum_{j=0}^p [u_0, \ldots, u_{j-1}, u_{j+1}, \ldots, u_p]
\end{align*}
$$
で定め、これを境界作用素と呼ぶ。$C_p$ をベクトル空間と見る時には線型写像と呼んでも良いだろう。
$\sigma \in C_p$ と $\varphi \in C^p$ に対し $\varphi (\sigma) = \langle \sigma, \varphi \rangle$ と書くものとして、準同型写像 $\delta: C^{p-1} \to C^p$ を
$$
\begin{align*}\hspace{5em}
\langle \partial \sigma, \varphi \rangle = \langle \sigma, \delta \varphi \rangle, \quad \sigma \ \in C_p,\ \varphi \in C^p
\end{align*}
$$
で定義する。
準備はこの程度とする。
内積空間としての $p$-鎖群
$\{\sigma_i\} \subset C_p$ と $\{\sigma^j\} \subset C^p$ という 2 つのベクトル空間の基底を考えた。これらの基底を結びつける $\iota: C_p \to C^p$ として、
$$ \begin{align*}\hspace{5em} \iota: \sigma_i \mapsto \sigma^i \end{align*} $$
を考えると、$\iota$ のもとで $C_p$ と $C^p$ は自然にベクトル空間として同型になる。さらに、
$$ \begin{align*}\hspace{5em} (\sigma, \sigma^\prime)_p := \langle \sigma, \iota (\sigma^\prime) \rangle, \quad \sigma, \sigma^\prime \in C_p \end{align*} $$
によって、$C_p$ に内積 $(\cdot, \cdot)$ を導入できる。また、$\sigma_i \in C_p$ と $\sigma^j \in C_p$ をとると
$$ \begin{align*}\hspace{5em} (\sigma_i, \sigma_j) = \langle \sigma_i, \iota (\sigma_j) \rangle = \langle \sigma_i, \sigma^j \rangle = \delta_{ij} \end{align*} $$
となるので、$\{\sigma_i\}$ は $C_p$ の “正規直交基底” になっていることが分かる。次に、$\sigma \in C_p,\ \sigma^\prime \in C_{p-1}$ に対して $\tilde{\delta} = \iota^{-1} \circ \delta \circ \iota$ と置くと、
$$ \begin{align*}\hspace{5em} (\partial \sigma, \sigma^\prime)_{p-1} &= \langle \partial \sigma, \iota (\sigma^\prime) \rangle \\ &= \langle \sigma, (\delta \circ \iota) (\sigma^\prime) \rangle \\ &= \langle \sigma, \iota ((\iota^{-1} \circ \delta \circ \iota) (\sigma^\prime)) \rangle = (\sigma, \tilde{\delta} \sigma^\prime)_p \end{align*} $$
または、$\iota$ を省略し、$\tilde{\delta}$ を $\delta$ と混同することで、単に
$$ \begin{align*}\hspace{5em} (\partial \sigma, \sigma^\prime)_{p-1} = (\sigma, \delta \sigma^\prime)_p \end{align*} $$
と書ける。これによって、$\delta = \partial^*$ という記号がしっくり来るようになる。またこの時 $\delta: C_{p-1} \to C_p$ と考えることができる。
双対境界作用素 $\delta$ の像
単体 $\sigma = [u_1, u_2, \ldots, u_p] \in C_p$ の $\delta$ による像を考えたい。少なくともこれは $C_{p+1}$ に入るので、$C_{p+1}$ の $(p+1)$-単体からなる基底を $\{\tau_i\}$ として、
$$
\begin{align*}\hspace{5em}
\delta \sigma = \sum b_i \tau_i
\end{align*}
$$
と書ける。ここで $\{\tau_i\}$ は $C_{p+1}$ の正規直交基底であるので、$b_i = (\tau_i, \delta \sigma)_{p+1}$ であることが分かる。すなわち、
$$
\begin{align*}\hspace{5em}
\delta \sigma = \sum (\tau_i, \delta \sigma)_{p+1} \tau_i
\end{align*}
$$
という展開を得る。
ここで興味があるのは $(\tau_i, \delta \sigma)_{p+1} \in \mathbb{Z}_2$ が消えない場合である。つまり $(\tau_i, \delta \sigma)_{p+1} = 1$ の場合である。従って、
$$
\begin{align*}\hspace{5em}
1 = (\tau_i, \delta \sigma)_{p+1} = (\partial \tau_i, \sigma)_p
\end{align*}
$$
である。$\tau_i = [v_1, \ldots, v_{p+1}]$ と置くと、$\partial \tau_i = \sum_k [v_1, \ldots, v_{k-1}, v_{k+1}, \ldots, v_{p+1}]$ であった。$\{\sigma_i\}$ を $C_p$ の正規直交基底として、各 $k$ に対して相異なる $[v_1, \ldots, v_{k-1}, v_{k+1}, \ldots, v_{p+1}] \in \{\sigma_i\}$ であり、$\sigma \in \{\sigma_i\}$ でもある。したがって、ある $k$ に対して $[v_1, \ldots, v_{k-1}, v_{k+1}, \ldots, v_{p+1}] = \sigma$ となることが $(\tau_i, \delta \sigma)_{p+1} = 1$ の必要十分条件である。
よって以下の定理を得た。
単体 $\sigma \in C_p$ の $\delta$ による像は、$(p+1)$-鎖であってその境界に $\sigma$ を含むような単体からなるものである。
まとめ
それはそうだろうなという結果を得ることができた。きっと色々と文献を漁ればでてくる程度の話であろうが、Hilbert 空間論の Riesz の表現定理にインスパイアされる形のストーリーと記述で導出してみた。
余談
特に陽にはホモロジーやコホモロジーの言葉は出していないが、文献 KFM pp.68-72 辺りの反復符号や表面符号の話で出て来る $\partial$ と $\delta$ は境界作用素と双対境界作用素を強く意識している気がする。これを含め量子誤り訂正符号の文脈でホモロジー代数を活用しているものに文献 D や F があるようだ。
*1: 原文では module 2 coefficients という書き方ではある。
