ベルヌーイの公式

冪乗和の計算法

$$\sum _{k=1}^n{k}^m=1^m+2^m+3^m+...+n^m$$

を求める一般的な方法を考えます。これから$S_m=\sum _{k=1}^n{k}^m$ と書きます。

m=0

明らかに
$$S_0=\sum _{k=1}^{n}1=\underset{n}{\underbrace{1+1+1+...+1}}=n$$

m=1

$$S_1=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+...+n$$

以下の式を考えます。
$$(k+1{)}^2-k^2=2k+1$$

これの和をとると

$$\sum _{k=1}^n[(k+1{)}^2-k^2]=(n+1{)}^2-1=n^2+2n$$

なので

$$\sum _{k=1}^n(2k+1)=2\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}1=2S_1+S_0=n^2+2n$$

よって

$$\begin{array}{rcl}{S}_1& =& \frac{1}{2}(n^2+2n-S_0)\\ & =& \frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}\end{array}$$

m=2

$$(k+1{)}^3-k^3=3k^2+3k+1$$

$$\sum _{k=1}^n[(k+1{)}^3-k^3]=(n+1{)}^3-1=n^3+3n^2+3n$$

$$3S_2+3S_1+S_0=n^3+3n^2+3n$$

$$\begin{array}{rcl}{S}_2& =& \frac{1}{3}(n^3+3n^2+3n-3S_1-S_0)\\ & =& \frac{1}{3}(n^3+3n^2+3n-3(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2})-n)\\ & =& \frac{1}{3}(n^3+\frac{3n^2}{2}+\frac{n}{2})\\ & =& \frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}\end{array}$$

m=3

$$4S_3+6S_2+4S_1+S_0=n^4+4n^3+6n^2+4n$$
$$S_3=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}$$

以下同様に計算できます。この計算式はパスカルの三角形をみて作ることができます。
$$\begin{array}{rccccc}& & & & & 1\\ & & & & 1& & 1\\ & & & 1& & 2& & 1\\ & & 1& & 3& & 3& & 1\\ & 1& & 4& & 6& & 4& & 1\end{array}$$

このm番目の行から先頭を抜いた数列に$S_m,S_{m-1},S_{m-2},..$をかけて足したものがのm番目の行から最後を抜いた数列に$n^m,n^{m-1},n^{m-2},..$をかけて足したものを等しいという式です。式で書くと
$$\sum _{k=2}^m{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})}{S}_k=\sum _{k=1}^{m-1}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})}{n}^k$$
となります。

この計算で以下同様に

$$\begin{array}{rcl}{S}_4& =& \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}\\ S_5& =& \frac{n^6}{6}+\frac{n^5}{2}+\frac{5n^4}{12}-\frac{n^2}{12}\\ S_6& =& \frac{n^7}{7}+\frac{n^6}{2}+\frac{n^5}{2}-\frac{n^3}{6}+\frac{n}{42}\\ S_7& =& \frac{n^8}{8}+\frac{n^7}{2}+\frac{7n^6}{12}-\frac{7n^4}{24}+\frac{n^2}{12}\\ S_8& =& \frac{n^9}{9}+\frac{n^8}{2}+\frac{2n^7}{3}-\frac{7n^5}{15}+\frac{2n^3}{9}-\frac{n}{30}\\ S_9& =& \frac{n^{10}}{10}+\frac{n^9}{2}+\frac{3n^8}{4}-\frac{7n^6}{10}+\frac{n^4}{2}-\frac{3n^2}{20}\\ S_{10}& =& \frac{n^{11}}{11}+\frac{n^{10}}{2}+\frac{5n^9}{6}-n^7+n^5-\frac{n^3}{2}-\frac{5n}{66}\end{array}$$

実はこの係数には規則性があり、$S_{m+1}$の係数は最後を除いて$S_m$の係数から求められます。それは$S_m$の係数に左から順に$\frac{m+1}{m+2},1,\frac{m+1}{m},\frac{m+1}{m-2},\frac{m+1}{m-4},\frac{m+1}{m-6},...$とかけていくことで、$S_{m+1}$の係数が求まります。

最後の係数はすべての係数の和が1となるように調整することで計算できます。

ベルヌーイの公式

いまで求めた冪乗和の式の法則性はベルヌーイの公式により表されます。

些細な部分ですが、k の範囲が 0 から n - 1 になっています。なので 0 から n の場合、n^m が足されます。これは、$B_1$ を $-1/2$ から $1/2$ にするのと同等で、慣習によっては $B_1=1/2$ として n までの和の公式を表すこともあります。

オイラーの和公式

ベルヌーイの公式は、和を積分によって求める オイラーの和公式 の特別な場合と言えます。オイラーの和公式は和を積分と微分で求める方法です。差分と微分を関係づける式はテイラー展開から以下のように分かります。

$$f(k+1)-f(k)=f^{\prime }(k)+f^{″}(k)/2+f^{‴}(k)/6+...$$

この式の $k=0$から$k=n-1$までの総和をとります。

$$\sum _{k=0}^{n-1}(f(k+1)-f(k))=f(n)-f(0)=\sum _{k=0}^{n-1}{f}^{\prime }(k)+\sum _{k=0}^{n-1}{f}^{″}(k)/2+\sum _{k=0}^{n-1}{f}^{‴}(k)/6+...$$

これから以下のような省略記法を使います。
$\sum _{k=0}^{n-1}f(k),\sum _{k=0}^{n-1}{f}^{\prime }(k),\sum _{k=0}^{n-1}{f}^{″}(k)$ を省略して $Sf,S{f}^{\prime },S{f}^{″}$ のように書きます。また$f(n)-f(0),f^{\prime }(n)-f^{\prime }(0),..$ を$f,f^{\prime }$と書きます。また特別に$${\int }_0^{n}f(k)dk=\int f$$ と書きます。

この記法でまず以下が成り立ちます。
$$f=S{f}^{\prime }+S{f}^{″}/2+S{f}^{‴}/6+..$$

この式は、$f$ を$f^{\prime }$ と置き換えることで全体が微分された形になります。関数は任意の形をとれるので、この式全体を微分、または積分しても同じ式が成り立ちます。よって
$$\begin{array}{rclrclrclrc}\int f& =& Sf& +& S{f}^{\prime }/2& +& S{f}^{″}/6& +& S{f}^{(3)}/24& +& ..\\ f& =& S{f}^{\prime }& +& S{f}^{″}/2& +& S{f}^{(3)}/6& +& S{f}^{(4)}/24& +& ..\\ f^{\prime }& =& S{f}^{″}& +& S{f}^{(3)}/2& +& S{f}^{(4)}/6& +& S{f}^{(5)}/24& +& ..\\ ..\end{array}$$

ここで少し形を変えて以下のようにします。
$$\begin{array}{rclrclrclrc}Sf& =& \int f& -& S{f}^{\prime }/2& -& S{f}^{″}/6& -& S{f}^{(3)}/24& -& ..\\ S{f}^{\prime }& =& f& -& S{f}^{″}/2& -& S{f}^{(3)}/6& -& S{f}^{(4)}/24& -& ..\\ S{f}^{″}& =& f^{\prime }& -& S{f}^{(3)}/2& -& S{f}^{(4)}/6& -& S{f}^{(5)}/24& -& ..\\ ..\end{array}$$

求めたいのは$Sf$です。$Sf$ は$\int f$ と$S{f}^{\prime },S{f}^{″},...$ に依存します。しかし$S{f}^{\prime },S{f}^{″},...$に対する依存性は二行目以下の式を代入して取り除くことができ、これを続けることで$Sf$を$f$の積分と微分 $\int f,f,f^{\prime },f^{″}...$により表すことができます。ただし、$f$を微分し続けるといつかゼロになるか、項を増やすごとにある値に漸近していくという条件がなければ、この操作は終わりなく続いてしまいます。

この操作が完了したときに$Sf$は以下のような形になっているはずです。

$Sf=\int f+af+b{f}^{\prime }+c{f}^{″}+d{f}^{(3)}+..$

この係数は以下のようにして求めることができます。この式を使って$S{f}^{\prime },S{f}^{″},..$を同様に表し、これに$1/2,1/6,1/24,...$をかけて並べます。
$$\begin{array}{rclrclrclrc}Sf& =& \int f& +& af& +& b{f}^{\prime }& +& c{f}^{″}& +& ..\\ S{f}^{\prime }/2& =& f/2& +& a{f}^{\prime }/2& +& b{f}^{″}/2& +& c{f}^{(3)}/2& +& ..\\ S{f}^{″}/6& =& f^{\prime }/6& +& a{f}^{″}/6& +& b{f}^{(3)}/6& +& c{f}^{(4)}/6& +& ..\\ S{f}^{(3)}/24& =& f^{″}/24& +& a{f}^{(3)}/24& +& b{f}^{(4)}/24& +& c{f}^{(5)}/24& +& ..\\ ..\end{array}$$

左辺をすべて足すと$\int f$ なので、右辺の$f,f^{\prime },f^{″},..$ の係数から

$$\begin{array}{rcl}a+1/2& =& 0\\ b+a/2+1/6& =& 0\\ c+b/2+a/6+1/24& =& 0\\ ..\end{array}$$

これから

$$\begin{array}{rcl}a& =& -1/2\\ b& =& 1/12\\ c& =& 0\\ ..\end{array}$$

と求めることができます。これと同じ計算を以下のような関数$V$について考えます。

$$V=1+ax+b{x}^2+c{x}^3+d{x}^4+..$$

$$\begin{array}{rclrclrclrc}V& =& 1& +& ax& +& b{x}^2& +& c{x}^3& +& ..\\ Vx/2& =& x/2& +& a{x}^2/2& +& b{x}^3/2& +& c{x}^4/2& +& ..\\ V{x}^2/6& =& x^2/6& +& a{x}^3/6& +& x^4/6& +& c{x}^5/6& +& ..\\ S{x}^3/24& =& x^3/24& +& a{x}^4/24& +& b{x}^5/24& +& c{x}^6/24& +& ..\\ ..\end{array}$$

これらを足したものが$1$になるので
$$\begin{array}{rcl}V(1+x/2+x^2/6+x^3/24+...)& =& 1\\ V& =& \frac{x}{e^x-1}\end{array}$$

つまり$a,b,c,..$は$x/(e^x-1)$の展開係数です。ベルヌーイ数はこの係数にk!をかけたものとして定義されています。

$$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k}{k!}{x}^k$$

これより$Sf$ が $\int f,f,f^{\prime },f^{″}...$ と　ベルヌーイ数を使って以下のように表されることが分かります。

$$Sf=\int f+B_{1}f+B_2{f}^{\prime }/2+B_3{f}^{″}/6+..$$

これがオイラーの和公式です。

ベルヌーイの公式

$f(k)=k^m$ の場合を考えます。このとき $\int f,f,f^{\prime },f^{″}$ はそれぞれ$n^{m+1}/(m+1),n^m,m{n}^{m-1},m(m-1)n^{m-2}...$となります。また $f^{(m)}(k)$以降の微分はゼロになります。
これを和公式に代入すると

$$\begin{array}{rcl}Sf& =& \frac{n^{m+1}}{m+1}+B_1{n}^m+B_2\frac{m}{2}{n}^{m-1}+B_3\frac{m(m-1)}{6}{n}^{m-2}+..\\ & =& \frac{1}{m+1}(B_0{n}^{m+1}+B_1(m+1)n^m+B_2\frac{(m+1)m}{2}{n}^{m-1}+B_3\frac{(m+1)m(m-1)}{6}{n}^{m-2}+..)\\ & =& \frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})}{B}_k{n}^{m-k+1}\end{array}$$

となりベルヌーイの和公式が導けました。

微分作用素と演算子

これまでの計算で微分の階数をxの次数に読み替えることで和公式の係数と$x/(e^x-1)$の展開係数との結びつきを見出しました。この考えかたは
このページ で紹介されているように微分作用素を使い、微分という操作をDという文字で表し、Dの代数を考えることで直接的に分かります。

まず差分を微分作用素で表すと
$$\begin{array}{rcl}f(k+1)-f(k)& =& f^{\prime }(k)+f^{″}(k)/2+f^{‴}(k)/6+..\\ & =& (D+D^2/2+D^3/6+..)f\\ & =& (e^D-1)f(k)\end{array}$$

微分だけでなく差分や1進む演算を使うといろいろと面白いです。

差分演算子$\mathrm{\Delta }$を以下のように定義します。
$$\mathrm{\Delta }f(k)=f(k+1)-f(k)$$

並進演算子$T$を以下のように定義します。
$$Tf(k)=f(k+1)$$

これらに以下のような関係があります。
$$T=e^D=\mathrm{\Delta }+1$$

また和分演算子$S$を以下のように定義します。
$$Sf(k)=\sum _{k=0}^{n-1}f(k)$$

すると差分の和は以下のような式になります。
$$S\mathrm{\Delta }f(k)=f(n)-f(0)$$

関数の中を省略する記法で

$$S\mathrm{\Delta }f=f$$

よって

$$S=1/\mathrm{\Delta }$$

とも言えます。

この演算子軍団を使ってオイラーの和公式を表してみます。
まず
$$\mathrm{\Delta }=e^D-1$$
です。両辺を和分して

$$S\mathrm{\Delta }=1=S(e^D-1)$$

$$S=\frac{1}{e^D-1}$$

$$e^D-1=D+\frac{D^2}{2}+\frac{D^3}{6}+..$$

は$D$でくくれるので

$$S=\frac{1}{D}\frac{D}{e^D-1}$$

とし
$$\frac{D}{e^D-1}$$

を級数展開します。すると

$$S=\frac{1}{D}\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k{D}^k}{k!}\right)$$

これが一応オイラーの和公式を演算子で表現したものになります。はじめの項だけ$1/D$が残りますが、$1/D$は積分と考えます。

演算子法まとめ

並進は
$$T=e^D$$

差分は
$$\mathrm{\Delta }=T-1=e^D-1$$

和分は
$$S=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{e^D-1}=\frac{1}{D}\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k{D}^k}{k!}\right)$$