命題論理 ⑤

Prop & Proof

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
$\bot$ は常に偽であり、$\top$ は常に真である。したがって、$\neg$ の定義より $\bot$ が偽であるとき $\neg\bot$ は真である。
ゆえに $\neg\bot$ は常に真であり、$\top$ と同じ真理値をとる。したがって、次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \bot & \neg\bot & \top & (\neg\bot)\Leftrightarrow\top \\ \hline F & T & T & T \\ \hline \end{array} $$
表より $(\neg\bot)\Leftrightarrow\top$ は常に真である。
従って任意の真偽値割当 $v$ とその拡張 $\hat v$ において $\neg\bot$ と $\top$ は同じ真偽値をとるので
$$ \neg \bot\ \equiv\ \top $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
$\top$ は常に真であり、$\bot$ は常に偽である。したがって、$\neg$ の定義より $\top$ が真であるとき $\neg\top$ は偽である。
ゆえに $\neg\top$ は常に偽であり、$\bot$ と同じ真理値をとる。したがって、次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \top & \neg\top & \bot & (\neg\top)\Leftrightarrow\bot \\ \hline T & F & F & T \\ \hline \end{array} $$
表より $(\neg\top)\Leftrightarrow\bot$ は常に真である。
従って任意の真偽値割当 $v$ とその拡張 $\hat v$ において $\neg\top$ と $\bot$ は同じ真偽値をとるので
$$ \neg \top\ \equiv\ \bot $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
$P$ の真偽は $T,F$ の$2$通りである。また $\top$ は常に真であるから、定義より、任意の評価 $\hat{v}$ に対して $\hat v(\top)=T$ である。
$\lor,\Leftrightarrow$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & \top & P\lor \top & (P\lor \top)\Leftrightarrow \top \\ \hline T & T & T & T \\ \hline F & T & T & T \\ \hline \end{array} $$
表より、全ての場合に $(P\lor \top)\Leftrightarrow \top$ は真である。
従って任意の真偽値割当 $v$ とその拡張 $\hat v$ において $P\lor \top$ と $\top$ は同じ真偽値をとるので、
$$ P\lor \top\ \equiv\ \top $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
$P$ の真偽は $T,F$ の$2$通りである。また $\bot$ は常に偽であるから、定義より、任意の評価 $\hat v$ に対して $\hat v(\bot)=F$ である。
$\lor,\Leftrightarrow$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & \bot & P\lor \bot & (P\lor \bot)\Leftrightarrow P \\ \hline T & F & T & T \\ \hline F & F & F & T \\ \hline \end{array} $$
表より、全ての場合に $(P\lor \bot)\Leftrightarrow P$ は真である。
従って任意の真偽値割当 $v$ とその拡張 $\hat v$ において $P\lor \bot$ と $P$ は同じ真偽値をとるので、
$$ P\lor \bot \ \equiv\ P $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
$P$ の真偽は $T,F$ の$2$通りである。また $\bot$ は常に偽であるから、定義より、任意の評価 $\hat v$ に対して $\hat v(\bot)=F$ である。
$\land,\Leftrightarrow$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & \bot & P\land \bot & (P\land \bot)\Leftrightarrow \bot \\ \hline T & F & F & T \\ \hline F & F & F & T \\ \hline \end{array} $$
表より、全ての場合に $(P\land \bot)\Leftrightarrow \bot$ は真である。
従って任意の真偽値割当 $v$ とその拡張 $\hat v$ において $P\land \bot$ と $\bot$ は同じ真偽値をとるので、
$$ P\land \bot \ \equiv\ \bot $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当 $v$ をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
$P$ の真偽は $T,F$ の$2$通りである。また $\top$ は常に真であるから、定義より、任意の評価 $\hat v$ に対して $\hat v(\top)=T$ である。
$\land,\Leftrightarrow$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & \top & P\land \top & (P\land \top)\Leftrightarrow P \\ \hline T & T & T & T \\ \hline F & T & F & T \\ \hline \end{array} $$
表より、全ての場合に $(P\land \top)\Leftrightarrow P$ は真である。
従って任意の真偽値割当 $v$ とその拡張 $\hat v$ において $P\land \top$ と $P$ は同じ真偽値をとるので、
$$ P\land \top\ \equiv\ P $$
が成り立つ。
$$ \Box$$