Abelの連続性定理のq級数への応用
$x$を左側から$1$に近づける極限を
\begin{align}
\lim_{x\to 1^{-}}
\end{align}
と書くことにする. Abelの連続性定理は収束半径$1$のべき級数$\sum_{0\leq n}a_nx^n$に対して, $\sum_{0\leq n}a_n$が収束するならば,
\begin{align}
\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{0\leq n}a_nx^n=\sum_{0\leq n}a_n
\end{align}
が成り立つという定理である. これは, $\lim_{n\to \infty}a_n=a$のとき,
\begin{align}
\lim_{x\to 1^{-}}(1-x)\sum_{0\leq n}a_nx^n
=a
\end{align}
であると言い換えることができる.
\begin{align}
f(x)=\sum_{0\leq n}a_nx^n
\end{align}
が$|x|<1$において解析的で,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}|a-a_n|<\infty\\
&\lim_{n\to\infty}n(a-a_n)=0
\end{align}
を満たすとする. このとき,
\begin{align}
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{d}{dx}(1-x)f(x)=\sum_{0\leq n}(a-a_n)
\end{align}
が成り立つ.
$a_{-1}:=0$とする. Abelの連続性定理より,
\begin{align}
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{d}{dx}(1-x)f(x)&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{d}{dx}\sum_{0\leq n}(a_n-a_{n-1})x^n\\
&=\lim_{x\to 1^{-}}\sum_{0\leq n}n(a_n-a_{n-1})x^{n-1}\\
&=\lim_{x\to 1^-}\sum_{0\leq n}(-n(a-a_n)+(n-1)(a-a_{n-1})+(a-a_{n-1}))x^{n-1}\\
&=-a+\lim_{x\to 1^-}\sum_{0\leq n}(a-a_{n-1})x^{n-1}\\
&=-a+\sum_{0\leq n}(a-a_{n-1})\\
&=\sum_{0\leq n}(a-a_{n})\\
\end{align}
となって示される. ここで, 最後から2つ目の等号は$\lim_{n\to \infty}n(a-a_n)=0$によるものである.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\left(\frac{(t;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}-\frac{(t;q)_n}{(a;q)_n}\right)\\ &=\sum_{0< n}\frac{(q/a;q)_n}{(q/t;q)_n}\left(\frac at\right)^n\\ &\qquad+\frac{(t;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}\left(\sum_{0< n}\frac{q^n}{1-q^n}+\sum_{0< n}\frac{t^{-1}q^n}{1-t^{-1}q^n}-\sum_{0\leq n}\frac{tq^n}{1-tq^n}-\sum_{0\leq n}\frac{at^{-1}q^n}{1-at^{-1}q^n}\right) \end{align}
定理1と
Ramanujanの${}_1\psi_1$和公式
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left(\frac{(t;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}-\frac{(t;q)_n}{(a;q)_n}\right)\\
&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{d}{dx}(1-x)\sum_{0\leq n}\frac{(t;q)_n}{(a;q)_n}x^n\\
&=\lim_{x\to 1^{-}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(t;q)_n}{(a;q)_n}x^n-\sum_{0< n}\frac{(q/a;q)_n}{(q/t;q)_n}\left(\frac{a}{tz}\right)^n\right)\\
&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{d}{dx}(1-x)\frac{(q,a/t,tx,q/tx;q)_{\infty}}{(a,q/t,x,a/tx;q)_{\infty}}+\sum_{0< n}\frac{(q/a;q)_n}{(q/t;q)_n}\left(\frac at\right)^n\\
&=\frac{(q,a/t;q)_{\infty}}{(a,q/t;q)_{\infty}}\left.\frac{d}{dx}\frac{(tx,q/tx;q)_{\infty}}{(xq,a/tx;q)_{\infty}}\right|_{x=1}+\sum_{0< n}\frac{(q/a;q)_n}{(q/t;q)_n}\left(\frac at\right)^n\\
&=\frac{(t;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}\left(\sum_{0< n}\frac{q^n}{1-q^n}+\sum_{0< n}\frac{t^{-1}q^n}{1-t^{-1}q^n}-\sum_{0\leq n}\frac{tq^n}{1-tq^n}-\sum_{0\leq n}\frac{at^{-1}q^n}{1-at^{-1}q^n}\right)\\
&\qquad+\sum_{0< n}\frac{(q/a;q)_n}{(q/t;q)_n}\left(\frac at\right)^n
\end{align}
となって示される.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\left(\frac{(a,b;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}-\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\right)\\ &=\frac{(a,b;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\left(\sum_{0< n}\frac{q^n}{1-q^n}-\sum_{0< n}\frac{aq^n}{1-aq^n}-\sum_{0< n}\frac{(c/b;q)_nb^n}{(a;q)_n(1-q^n)}\right) \end{align}
定理1と
Heineの変換公式
より,
\begin{align}
&\lim_{x\to 1^{-}}\frac{d}{dx}(1-x)\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}x^n\\
&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{d}{dx}\frac{(b,ax;q)_{\infty}}{(c,xq;q)_{\infty}}\left(1+\sum_{0\leq n}\frac{(c/b,x;q)_n}{(ax,q;q)_n}b^n\right)\\
&=\frac{(a,b;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\left(\sum_{0< n}\frac{q^n}{1-q^n}-\sum_{0< n}\frac{aq^n}{1-aq^n}-\sum_{0< n}\frac{(c/b;q)_nb^n}{(a;q)_n(1-q^n)}\right)
\end{align}
となって示される.
