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Abelの連続性定理のq級数への応用

$x$ を左側から $1$ に近づける極限を
$\begin{array}{r} lim_{x \to 1^{-}} \end{array}$
と書くことにする. Abelの連続性定理は収束半径 $1$ のべき級数 $\sum_{0 \leq n} a_{n} x^{n}$ に対して, $\sum_{0 \leq n} a_{n}$ が収束するならば,
$\begin{array}{r} lim_{x \to 1^{-}} \sum_{0 \leq n} a_{n} x^{n} = \sum_{0 \leq n} a_{n} \end{array}$
が成り立つという定理である. これは, $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ のとき,
$\begin{array}{r} lim_{x \to 1^{-}} (1 - x) \sum_{0 \leq n} a_{n} x^{n} = a \end{array}$
であると言い換えることができる.

Andrews(2001)

$\begin{array}{r} f (x) = \sum_{0 \leq n} a_{n} x^{n} \end{array}$
が $| x | < 1$ において解析的で,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} | a - a_{n} | < \infty \\ lim_{n \to \infty} n (a - a_{n}) = 0 \end{aligned}$
を満たすとする. このとき,
$\begin{array}{r} lim_{x \to 1^{-}} \frac{d}{d x} (1 - x) f (x) = \sum_{0 \leq n} (a - a_{n}) \end{array}$
が成り立つ.

$a_{- 1} := 0$ とする.　Abelの連続性定理より,
$\begin{aligned} lim_{x \to 1^{-}} \frac{d}{d x} (1 - x) f (x) & = lim_{x \to 1^{-}} \frac{d}{d x} \sum_{0 \leq n} (a_{n} - a_{n - 1}) x^{n} \\ = lim_{x \to 1^{-}} \sum_{0 \leq n} n (a_{n} - a_{n - 1}) x^{n - 1} \\ = lim_{x \to 1^{-}} \sum_{0 \leq n} (- n (a - a_{n}) + (n - 1) (a - a_{n - 1}) + (a - a_{n - 1})) x^{n - 1} \\ = - a + lim_{x \to 1^{-}} \sum_{0 \leq n} (a - a_{n - 1}) x^{n - 1} \\ = - a + \sum_{0 \leq n} (a - a_{n - 1}) \\ = \sum_{0 \leq n} (a - a_{n}) \end{aligned}$
となって示される. ここで, 最後から2つ目の等号は $lim_{n \to \infty} n (a - a_{n}) = 0$ によるものである.

Andrews(2001)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (\frac{(t; q)_{\infty}}{(a; q)_{\infty}} - \frac{(t; q)_{n}}{(a; q)_{n}}) \\ = \sum_{0 < n} \frac{(q / a; q)_{n}}{(q / t; q)_{n}} {(\frac{a}{t})}^{n} \\ + \frac{(t; q)_{\infty}}{(a; q)_{\infty}} (\sum_{0 < n} \frac{q^{n}}{1 - q^{n}} + \sum_{0 < n} \frac{t^{- 1} q^{n}}{1 - t^{- 1} q^{n}} - \sum_{0 \leq n} \frac{t q^{n}}{1 - t q^{n}} - \sum_{0 \leq n} \frac{a t^{- 1} q^{n}}{1 - a t^{- 1} q^{n}}) \end{aligned}$

定理1と Ramanujanの $_{1} ψ_{1}$ 和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (\frac{(t; q)_{\infty}}{(a; q)_{\infty}} - \frac{(t; q)_{n}}{(a; q)_{n}}) \\ = lim_{x \to 1^{-}} \frac{d}{d x} (1 - x) \sum_{0 \leq n} \frac{(t; q)_{n}}{(a; q)_{n}} x^{n} \\ = lim_{x \to 1^{-}} (\sum_{n \in Z} \frac{(t; q)_{n}}{(a; q)_{n}} x^{n} - \sum_{0 < n} \frac{(q / a; q)_{n}}{(q / t; q)_{n}} {(\frac{a}{t z})}^{n}) \\ = lim_{x \to 1^{-}} \frac{d}{d x} (1 - x) \frac{(q, a / t, t x, q / t x; q)_{\infty}}{(a, q / t, x, a / t x; q)_{\infty}} + \sum_{0 < n} \frac{(q / a; q)_{n}}{(q / t; q)_{n}} {(\frac{a}{t})}^{n} \\ = \frac{(q, a / t; q)_{\infty}}{(a, q / t; q)_{\infty}} {\frac{d}{d x} \frac{(t x, q / t x; q)_{\infty}}{(x q, a / t x; q)_{\infty}} |}_{x = 1} + \sum_{0 < n} \frac{(q / a; q)_{n}}{(q / t; q)_{n}} {(\frac{a}{t})}^{n} \\ = \frac{(t; q)_{\infty}}{(a; q)_{\infty}} (\sum_{0 < n} \frac{q^{n}}{1 - q^{n}} + \sum_{0 < n} \frac{t^{- 1} q^{n}}{1 - t^{- 1} q^{n}} - \sum_{0 \leq n} \frac{t q^{n}}{1 - t q^{n}} - \sum_{0 \leq n} \frac{a t^{- 1} q^{n}}{1 - a t^{- 1} q^{n}}) \\ + \sum_{0 < n} \frac{(q / a; q)_{n}}{(q / t; q)_{n}} {(\frac{a}{t})}^{n} \end{aligned}$
となって示される.

Andrews(2001)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (\frac{(a, b; q)_{\infty}}{(c, q; q)_{\infty}} - \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}}) \\ = \frac{(a, b; q)_{\infty}}{(c, q; q)_{\infty}} (\sum_{0 < n} \frac{q^{n}}{1 - q^{n}} - \sum_{0 < n} \frac{a q^{n}}{1 - a q^{n}} - \sum_{0 < n} \frac{(c / b; q)_{n} b^{n}}{(a; q)_{n} (1 - q^{n})}) \end{aligned}$

定理1と Heineの変換公式より,
$\begin{aligned} lim_{x \to 1^{-}} \frac{d}{d x} (1 - x) \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} x^{n} \\ = lim_{x \to 1^{-}} \frac{d}{d x} \frac{(b, a x; q)_{\infty}}{(c, x q; q)_{\infty}} (1 + \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b, x; q)_{n}}{(a x, q; q)_{n}} b^{n}) \\ = \frac{(a, b; q)_{\infty}}{(c, q; q)_{\infty}} (\sum_{0 < n} \frac{q^{n}}{1 - q^{n}} - \sum_{0 < n} \frac{a q^{n}}{1 - a q^{n}} - \sum_{0 < n} \frac{(c / b; q)_{n} b^{n}}{(a; q)_{n} (1 - q^{n})}) \end{aligned}$
となって示される.