大学数学基礎解説

積分・級数botを解く integral 1-2

フーリエ変換,積分,ディリクレ積分

積分を解く

今週も級数・積分botに記載されている積分を解きたいと思います。

解く積分

integral 1-2

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x = \frac{π}{2}$

ディリクレ積分という名前のついた有名な積分です。
複素積分として解く方法や、ラプラス変換で解く方法など、
様々な解法が知られている積分です。

解く

今回は、比較的スムーズに解ける
「フーリエ変換を用いた方法」で求めていこうと思います。

フーリエ変換

$F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t$

※ $F (ω)$ は積分が絶対可積分であれば存在するのですが、
今回の積分は絶対可積分なので、気にせず計算を進めることができます。

フーリエ変換

矩形関数

rect (t)

を次で定義します。

rect (t) : = {\begin{cases} 1 & | t | \leq 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

※この定義は、一般的な矩形関数の定義とは異なるので注意しましょう。
この関数をフーリエ変換すると、

\begin{aligned} F [rect (t)] (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} rect (t) e^{- i ω t} d t \\ = \int_{- 1}^{1} e^{- i ω t} d t \\ = {[\frac{e^{- i ω t}}{- i ω}]}_{- 1}^{1} \\ = 2 \frac{e^{i ω} - e^{- i ω}}{2 i ω} \\ = 2 \frac{\sin ω}{ω} \end{aligned}

ここで、フーリエ逆変換の式を思い出すと

フーリエ逆変換

$F (ω) = F [f (t)] (ω)$ とすると、
$F^{- 1} [F (w)] (t) : = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) e^{i ω t} d ω$

これを使って式変形していきます。

フーリエ逆変換

\begin{aligned} rect (t) & = F^{- 1} [2 \frac{\sin ω}{ω}] (t) \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} 2 \frac{\sin ω}{ω} e^{i ω t} d ω \\ = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin ω}{ω} e^{i ω t} d ω \end{aligned}

ここで

t = 0

として、両辺に

π

を掛けると、

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin ω}{ω} d ω = π rect (0) = π

\sin ω / ω

は偶関数であることと、積分変数を

ω \mapsto x

に変えると、

\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x = \frac{π}{2}

となって、求めたい積分が解けました。

このようにしていい感じに求まりました。
今回の積分は、矩形関数のフーリエ変換の結果を知っていないと難しいですが、
知っていればとても簡単に求まることが分かりますね。
（知らない場合は、留数定理などでゴリゴリ計算しても出来ます。）
ドジコジさんが様々な方法でこの積分を計算しているので、リンクを貼っておきます。
今回の記事も一部参考にさせてもらいました。

今回も面白い積分でしたね！
それではまた。

投稿日：2024年10月6日

更新日：2024年10月17日