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大学数学基礎解説
積分・級数botを解く integral 1-2
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積分を解く
今週も級数・積分botに記載されている積分を解きたいと思います。
解く積分
integral 1-2
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx=\frac{\pi}{2} $$
ディリクレ積分という名前のついた有名な積分です。
複素積分として解く方法や、ラプラス変換で解く方法など、
様々な解法が知られている積分です。
解く
今回は、比較的スムーズに解ける
「フーリエ変換を用いた方法」で求めていこうと思います。
フーリエ変換
$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt $$
※$F(\omega)$は積分が絶対可積分であれば存在するのですが、
今回の積分は絶対可積分なので、気にせず計算を進めることができます。
フーリエ変換
矩形関数$\mathrm{rect}(t)$を次で定義します。$$ \mathrm{rect}(t)\coloneqq \begin{cases} 1 & \lvert t\rvert\leq1 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} $$
※この定義は、一般的な矩形関数の定義とは異なるので注意しましょう。
この関数をフーリエ変換すると、
$$\begin{align} \mathcal{F}[\mathrm{rect}(t)](\omega) &=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{rect}(t)e^{-i\omega t}dt\\[5pt] &=\int_{-1}^{1}e^{-i\omega t}dt\\[5pt] &=\left\lbrack\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\right\rbrack_{-1}^{1}\\[5pt] &=2\frac{e^{i\omega}-e^{-i\omega}}{2i\omega}\\[5pt] &=2\frac{\sin{\omega}}{\omega} \end{align}$$
フーリエ逆変換
$F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)](\omega)$とすると、
$$
\mathcal{F}^{-1}[F(w)](t)\coloneqq
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega
$$
これを使って式変形していきます。
フーリエ逆変換
$$\begin{align}\mathrm{rect}(t) &=\mathcal{F}^{-1}\left\lbrack2\frac{\sin{\omega}}{\omega}\right\rbrack(t)\\[5pt] &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}2\frac{\sin\omega}{\omega}e^{i\omega t}d\omega\\[5pt] &=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}e^{i\omega t}d\omega\end{align}$$ここで$t=0$として、両辺に$\pi$を掛けると、
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}d\omega =\pi\mathrm{rect}(0)=\pi $$
$\sin\omega/\omega$は偶関数であることと、積分変数を$\omega\mapsto x$に変えると、
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2} $$
となって、求めたい積分が解けました。
今回の積分は、矩形関数のフーリエ変換の結果を知っていないと難しいですが、
知っていればとても簡単に求まることが分かりますね。
（知らない場合は、留数定理などでゴリゴリ計算しても出来ます。）
ドジコジさん が様々な方法でこの積分を計算しているので、リンクを貼っておきます。
今回の記事も一部参考にさせてもらいました。
今回も面白い積分でしたね！
それではまた。
投稿日：10月6日
更新日：10月17日
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