Verma-Jainの二次変換公式から得られる四次変換公式, 六次変換公式

\begin{align} W(a;b_1,\dots,b_r;q;x):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{q;x} \end{align}
とする. 前の記事 の系1は以下のような変換公式である.

ここで, 今回はこの公式の系として, 四次変換公式, 六次変換公式を導出したいと思う.

四次変換公式

定理1において$q\mapsto q^2$としてから, $y=q^{1-2N}$とすると,
\begin{align} &W\left(a;b,x,xq^2,q^{-2N},q^{1-2N},q^{2-2N},q^{3-2N};q^4;\frac{a^2q^{8N+4}}{bx^2}\right)\\ &=\frac{(aq^2,aq^{2N+1}/x;q^2)_N}{(aq^2/x,aq^{2N+1};q^2)_N}\Q54{x,q^{-2N},q^{1-2N},\sqrt{aq^2/b},-\sqrt{aq^2/b}}{xq^{1-4N}/a,aq^2/b,\sqrt{aq^2},-\sqrt{aq^2}}{q^2;q^2}\\ &=\frac{(aq;q)_{2N}(aq/x;q^2)_{2N}}{(aq;q^2)_{2N}(aq/x;q)_{2N}}\Q54{x,q^{-2N},q^{1-2N},\sqrt{aq^2/b},-\sqrt{aq^2/b}}{xq^{1-4N}/a,aq^2/b,\sqrt{aq^2},-\sqrt{aq^2}}{q^2;q^2} \end{align}
を得る. 全く同様に, $y=q^{-1-2N}$とすると,
\begin{align} &W\left(a;b,x,xq^2,q^{-2N-1},q^{-2N},q^{1-2N},q^{2-2N};q^4;\frac{a^2q^{8N+8}}{bx^2}\right)\\ &=\frac{(aq;q)_{2N+1}(aq/x;q^2)_{2N+1}}{(aq;q^2)_{2N+1}(aq/x;q)_{2N+1}}\Q54{x,q^{-2N},q^{-1-2N},\sqrt{aq^2/b},-\sqrt{aq^2/b}}{xq^{-1-4N}/a,aq^2/b,\sqrt{aq^2},-\sqrt{aq^2}}{q^2;q^2} \end{align}
も得られる. よって, 以下を得る.

古典極限を考えると以下を得る.

$x\to\infty$とすると以下の系を得る.

また, 定理1において, $b\mapsto 1+a-2b, x\mapsto 1+a-x$としてから$a\to\infty$とすると, 以下の系を得る.

を得る.

応用1: Franel数の表示

\begin{align} a_n:=\sum_{k=0}^n\binom nk^3 \end{align}
とする. 前の記事 でZeilbergerのアルゴリズムを用いて得たFranel数の表示
\begin{align} a_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{3n-4k-1}{2n-1}\qquad n\geq 1 \end{align}
を直接的に示す. 右辺は超幾何級数を用いて
\begin{align} &\binom{3n-1}n\F65{-n,-n,-\frac n4,\frac{1-n}4,\frac{2-n}4,\frac{3-n}4}{1,\frac{1-3n}4,\frac{2-3n}4,\frac{3-3n}4,\frac{4-3n}4}{1}\\ &=\binom{3n-1}n\F98{-n,1-\frac n2,-\frac n2,\frac{1-n}2,-n,-\frac n4,\frac{1-n}4,\frac{2-n}4,\frac{3-n}4}{-\frac n2,1-\frac n2,\frac{1-n}2,1,\frac{1-3n}4,\frac{2-3n}4,\frac{3-3n}4,\frac{4-3n}4}{1} \end{align}
と表される. 定理3より
\begin{align} &\F98{-n,1-\frac n2,-\frac n2,\frac{1-n}2,-n,-\frac n4,\frac{1-n}4,\frac{2-n}4,\frac{3-n}4}{-\frac n2,1-\frac n2,\frac{1-n}2,1,\frac{1-3n}4,\frac{2-3n}4,\frac{3-3n}4,\frac{4-3n}4}{1}\\ &=\frac{\left(1-4n,\frac 12-n\right)_n}{\left(\frac 12-2n,1-2n\right)_n}\F43{-n,-\frac n2,\frac{1-n}2,\frac{1}2}{\frac 12,1,\frac 12-n}1\\ &=\frac{\left(3n,\frac 12\right)_n}{\left(\frac 12+n,n\right)_n}\F32{-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n}1\\ &=\frac{(4n-1)!\left(\frac 12\right)_n^2(n-1)!}{(3n-1)!\left(\frac 12\right)_{2n}(2n-1)!}\F32{-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n}1\\ &=\frac{(2n-1)!(2n)!}{(3n-1)!n!}\F32{-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n}1\\ &=\frac{\binom{2n}n}{\binom{3n-1}n}\F32{-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n}1 \end{align}
となる. よって, 右辺は
\begin{align} \binom{2n}n\F32{-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n}1 \end{align}
となるが, 前の記事 の定理4より, これは$a_n$に等しい.

応用2

\begin{align} b_n&:=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k\binom{2n-k}{n-k} \end{align}
とする. 前の記事 でZeilbergerのアルゴリズムを用いて得た表示
\begin{align} b_n&=\frac 1{2^n}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\left(\binom{3n-4k-1}{2n}+\binom{3n-4k}{2n}\right)\qquad n\geq 1 \end{align}
を直接的に示す. 前の記事 で見たように, 右辺は超幾何級数を用いて
\begin{align} \frac{4}{2^n\cdot 3}\frac{(3n)!}{n!^3}\F76{-n,1-\frac n2,\frac 12,-\frac n4,\frac{1-n}4,\frac{2-n}4,\frac{3-n}4}{-\frac n2,\frac 12-n,\frac{4-3n}4,\frac{3-3n}4,\frac{2-3n}4,\frac{1-3n}4}1 \end{align}
と表される. 系1より,
\begin{align} &\F76{-n,1-\frac n2,\frac 12,-\frac n4,\frac{1-n}4,\frac{2-n}4,\frac{3-n}4}{-\frac n2,\frac 12-n,\frac{4-3n}4,\frac{3-3n}4,\frac{2-3n}4,\frac{1-3n}4}1\\ &=\frac{(1-4n)_n}{2^n\left(\frac 12-2n\right)_n}\F32{-\frac n2,\frac{1-n}2,-n}{1,-2n}1\\ &=\frac{(3n)_n\left(\frac 12\right)_n}{2^n\left(\frac 12\right)_{2n}}\F32{-\frac n2,\frac{1-n}2,-n}{1,-2n}1\\ &=\frac{3\cdot 2^n}4\frac{(2n)!^2}{(3n)!n!}\F32{-\frac n2,\frac{1-n}2,-n}{1,-2n}1 \end{align}
となる. よって, 右辺は
\begin{align} \binom{2n}n^2\F32{-\frac n2,\frac{1-n}2,-n}{\frac 12-n,-2n}1 \end{align}
に等しい. 前の記事 の定理4より, これは$b_n$に等しいことが分かる.

六次変換公式

定理1において, $q\mapsto q^3$としてから, $x=q^{1-3N}, y=q^{2-3N}$とすると,
\begin{align} &W\left(a;b,q^{-3N},q^{1-3N},q^{2-3N},q^{3-3N},q^{4-3N},q^{5-3N};q^6;\frac{a^2q^{18N+3}}{b}\right)\\ &=\frac{(aq^3,aq^{6N};q^3)_N}{(aq^{3N+1},aq^{3N+2};q^3)_N}\Q54{q^{-3N},q^{1-3N},q^{2-3N},\sqrt{aq^3/b},-\sqrt{aq^3/b}}{q^{3-9N}/a,aq^3/b,\sqrt{aq^3},-\sqrt{aq^3}}{q^3;q^3}\\ &=\frac{(aq,aq^2,aq^3;q^3)_N(a;q^3)_{3N}}{(a,aq,aq^2;q^3)_{2N}}\Q54{q^{-3N},q^{1-3N},q^{2-3N},\sqrt{aq^3/b},-\sqrt{aq^3/b}}{q^{3-9N}/a,aq^3/b,\sqrt{aq^3},-\sqrt{aq^3}}{q^3;q^3}\\ &=\frac{(aq;q)_{3N}(a;q^3)_{3N}}{(a;q)_{6N}}\Q54{q^{-3N},q^{1-3N},q^{2-3N},\sqrt{aq^3/b},-\sqrt{aq^3/b}}{q^{3-9N}/a,aq^3/b,\sqrt{aq^3},-\sqrt{aq^3}}{q^3;q^3} \end{align}
となる. 同様に$x,y$を$q^{-1-3N},q^{1-3N}$や$q^{-2-3N},q^{-1-3N}$としたものを合わせると以下が得られる.

古典極限を考えると以下を得る.

この公式にも何らかの応用があるかどうかは気になるところである.