指数関数を定積分でマクローリン展開

ピカールの逐次近似法の説明で指数関数を求める例がよく使われますrn-picardwiki-picard。普通に計算すれば再帰的な積分からマクローリン展開と同じ結果が現れます。

マクローリン展開

指数関数$e^x$をマクローリン展開します。masuo-maclaurin

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$

これと同じ形が積分で得られることを確認します。

定積分

$e^x$を$0$から$x$まで積分します。

$${\int }_0^x{e}^{x^{\prime }}d{x}^{\prime }=[e^{x^{\prime }}{]}_0^x=e^x-1$$

これを整理します。

$$e^x=1+{\int }_0^x{e}^{x^{\prime }}d{x}^{\prime }$$

右辺の積分内の$e^{x^{\prime }}$に、変数を調整して右辺全体を再帰的に代入します。

$$\begin{array}{rl}{e}^x& =1+{\int }_0^x(1+{\int }_0^{x^{\prime }}{e}^{x^{″}}d{x}^{″})d{x}^{\prime }\\ & =1+{\int }_0^{x}1d{x}^{\prime }+{\int }_0^x{\int }_0^{x^{\prime }}{e}^{x^{″}}d{x}^{″}d{x}^{\prime }\end{array}$$

同様に続けます。

$$\begin{array}{rl}{e}^x& =1+{\int }_0^{x}1d{x}^{\prime }+{\int }_0^x{\int }_0^{x^{\prime }}(1+{\int }_0^{x^{″}}{e}^{x^{‴}}d{x}^{‴})d{x}^{″}d{x}^{\prime }\\ & =1+{\int }_0^{x}1d{x}^{\prime }+{\int }_0^x{\int }_0^{x^{\prime }}1d{x}^{″}d{x}^{\prime }+{\int }_0^x{\int }_0^{x^{\prime }}{\int }_0^{x^{″}}{e}^{x^{‴}}d{x}^{‴}d{x}^{″}d{x}^{\prime }\end{array}$$

これを繰り返せば、一般には次のようになります。

$$e^x=1+{\int }_0^{x}1d{x}^{\prime }+{\int }_0^x{\int }_0^{x^{\prime }}1d{x}^{″}d{x}^{\prime }+{\int }_0^x{\int }_0^{x^{\prime }}{\int }_0^{x^{″}}1d{x}^{‴}d{x}^{″}d{x}^{\prime }+\cdots$$

$1$の多重積分を計算します。

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$$

これはマクローリン展開に一致します。

積分からマクローリン展開と同じ結果が現れるのは興味深いですが、計算自体はピカールの逐次近似法を使った方が簡単です。