指数関数を定積分でマクローリン展開
定積分による恒等式への反復代入と剰余項の評価により、指数関数のマクローリン展開を導きます。
概要
常微分方程式の解法であるピカールの逐次近似法などにおいて、指数関数を積分方程式の反復によって求める構成法がよく知られています。rn-picardwiki-picard
一般の微分方程式論を用いなくても、微積分学の基本定理から従う定積分の恒等式に自身を繰り返し代入することで、マクローリン展開の各項$x^n/n!$を導けます。
本記事では、まず指数関数$e^x$のマクローリン展開を比較のために掲げます。次に、$0$から$x$までの定積分から得られる恒等式を出発点とし、被積分関数に右辺全体を繰り返し代入して、部分和と剰余項からなる有限の等式を得ます。定数$1$の反復積分を計算すると階乗の逆数$1/n!$が現れ、剰余項が$0$に収束することを確かめると、マクローリン展開と同じ級数表示が得られます。
前提とするのは、微積分学の基本定理と初等的な定積分の計算、および指数関数の性質$(e^x)'=e^x$と$e^0=1$です。導出はこの1階の微分の性質を出発点とし、高階導関数を順に計算せずに各項の係数を求めます。各実数$x$について剰余項が$0$に収束することは確認しますが、ピカールの逐次近似法の一般的な収束定理や、微分方程式の解の存在・一意性は扱いません。
マクローリン展開
指数関数$e^x$をマクローリン展開します。masuo-maclaurin
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$
この式は比較のために掲げるもので、以下の導出では使いません。これと同じ級数が、定積分による恒等式への反復代入から得られることを確認します。
定積分による反復代入
以下、$x$は実数とし、$x<0$では$\int_0^x=-\int_x^0$と解釈します。
$(e^x)'=e^x$より、$e^x$を$0$から$x$まで積分します。
$$ \int_0^x e^{t_1}\,dt_1 = \bigl[e^{t_1}\bigr]_0^x = e^x - e^0 = e^x - 1 $$
これを移項して整理します。
$$ e^x = 1 + \int_0^x e^{t_1}\,dt_1 $$
この恒等式は任意の実数で成り立つので、$x$を$t_1$に置き換え、積分変数を$t_2$と書いた式も成り立ちます。
$$ e^{t_1} = 1 + \int_0^{t_1} e^{t_2}\,dt_2 $$
これを恒等式の右辺の被積分関数$e^{t_1}$に代入します。
$$ \begin{aligned} e^x &= 1 + \int_0^x \left(1 + \int_0^{t_1} e^{t_2}\,dt_2\right) dt_1 \\ &= 1 + \int_0^x 1\,dt_1 + \int_0^x \int_0^{t_1} e^{t_2}\,dt_2\,dt_1 \end{aligned} $$
同様に、最も内側の$e^{t_2}$に$e^{t_2} = 1 + \int_0^{t_2} e^{t_3}\,dt_3$を代入します。
$$ e^x = 1 + \int_0^x 1\,dt_1 + \int_0^x \int_0^{t_1} 1\,dt_2\,dt_1 + \int_0^x \int_0^{t_1} \int_0^{t_2} e^{t_3}\,dt_3\,dt_2\,dt_1 $$
各段では、最も内側の指数関数が定数$1$と1段深い反復積分に分かれます。そこで、定数$1$と$e^{t_n}$の$n$重の反復積分を次のように置きます。
$$ \begin{aligned} I_n(x) &= \int_0^x \int_0^{t_1} \cdots \int_0^{t_{n-1}} 1\,dt_n \cdots dt_2\,dt_1 \\ R_n(x) &= \int_0^x \int_0^{t_1} \cdots \int_0^{t_{n-1}} e^{t_n}\,dt_n \cdots dt_2\,dt_1 \end{aligned} $$
ただし$I_0(x)=1$、$R_0(x)=e^x$とします。最も外側の積分を残して内側をまとめると、内側は上限が$t_1$の$n$重の反復積分なので、$I_{n+1}(x)=\int_0^x I_n(t_1)\,dt_1$、$R_{n+1}(x)=\int_0^x R_n(t_1)\,dt_1$が成り立ちます。
$R_n$の最も内側の$e^{t_n}$に$e^{t_n} = 1 + \int_0^{t_n} e^{t_{n+1}}\,dt_{n+1}$を代入すると、$R_n(x)=I_n(x)+R_{n+1}(x)$となります。$e^x=R_0(x)$から始めて、剰余項が$n$重の反復積分になるまで代入すると、次の有限の等式が得られます。
$$ e^x = \sum_{k=0}^{n-1} I_k(x) + R_n(x) $$
$n=1$の場合が出発点の恒等式で、$n=2,3$の場合が上で計算した2つの式です。$R_n(x)$を剰余項と呼びます。
この手順は、微分方程式$y'=y,\ y(0)=1$を積分方程式$y(x)=1+\int_0^x y(t)\,dt$に直して解くピカールの逐次近似法と共通の構造を持ちます。定数関数$y_0=1$から始めて$y_n(x)=1+\int_0^x y_{n-1}(t)\,dt$と定めると、$y_n$は部分和$\sum_{k=0}^{n} I_k(x)$に一致します。本記事では、未知関数を近似していく代わりに、既知の$e^x$の恒等式を展開し、剰余項を残した等式として追います。
定数1の反復積分
有限の等式の各項$I_k(x)$を計算します。最初の2つは直接計算できます。
$$ I_1(x) = \int_0^x 1\,dt_1 = x, \quad I_2(x) = \int_0^x \int_0^{t_1} 1\,dt_2\,dt_1 = \int_0^x t_1\,dt_1 = \frac{x^2}{2} $$
積分を1段重ねるごとに冪が1つ上がり、その指数で割られます。これが一般の$n$で成り立つことを確かめます。
任意の実数$x$と$n\ge0$について、次が成り立つ。
$$
I_n(x) = \frac{x^n}{n!}
$$
$n$についての帰納法による。$n=0$では$I_0(x)=1=x^0/0!$である。$I_n(x)=x^n/n!$が成り立つとすると、次のようになる。
$$
I_{n+1}(x) = \int_0^x I_n(t_1)\,dt_1 = \int_0^x \frac{t_1^n}{n!}\,dt_1 = \frac{x^{n+1}}{(n+1)\cdot n!} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}
$$
したがって、有限の等式は次のように書けます。
$$ e^x = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!} + R_n(x) $$
剰余項の評価
部分和がマクローリン展開の級数に一致するには、剰余項$R_n(x)$が$n\to\infty$で$0$に収束する必要があります。$R_n(x)$は$I_n(x)$の被積分関数$1$を$e^{t_n}$に置き換えたものなので、$e^{t_n}$の大きさを抑えれば、$I_n$と同じ計算で評価できます。
任意の実数$x$と$n\ge0$について、次が成り立つ。
$$
|R_n(x)| \le e^{|x|}\frac{|x|^n}{n!}
$$
特に、$n\to\infty$で$R_n(x)\to0$となる。
$0$と$x$の間（両端を含む）にあるすべての$s$について$|R_n(s)| \le e^{|x|}|s|^n/n!$となることを、$n$についての帰納法で示す。$n=0$では$|R_0(s)|=e^s\le e^{|s|}\le e^{|x|}$である。
$n$で成り立つとする。$0$と$s$の間の$t$は$0$と$x$の間にあるので、$|R_n(t)|\le e^{|x|}|t|^n/n!$である。積分の向きによらず$\left|\int_0^s f(t)\,dt\right| \le \left|\int_0^s |f(t)|\,dt\right|$が成り立つことを用いると、次のようになる。
$$
|R_{n+1}(s)| = \left|\int_0^s R_n(t)\,dt\right|
\le e^{|x|}\left|\int_0^s \frac{|t|^n}{n!}\,dt\right|
= e^{|x|}\frac{|s|^{n+1}}{(n+1)!}
$$
最後の等号は、$s\ge0$では$|t|=t$、$s<0$では$\int_0^s=-\int_s^0$かつ$|t|=-t$として積分すれば得られる。$s=x$とすれば評価式を得る。
次に$a_n=|x|^n/n!$とおくと、隣り合う項の比は$a_{n+1}/a_n=|x|/(n+1)$であり、$n\to\infty$で$0$に近づく。$N\ge2|x|$となる自然数$N$をとれば、$n\ge N$で$a_{n+1}\le a_n/2$となるので、$a_n\le a_N/2^{n-N}\to0$である。したがって$R_n(x)\to0$である。
剰余項が$0$に収束するので、有限の等式で$n\to\infty$とすると、部分和が$e^x$に収束します。
$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$
これは冒頭のマクローリン展開と一致します。
まとめ
本記事では、微積分学の基本定理から従う定積分の恒等式$e^x = 1 + \int_0^x e^{t_1}\,dt_1$を出発点とし、被積分関数に右辺全体を繰り返し代入して、部分和と剰余項からなる有限の等式を得ました。定数$1$の$n$重の反復積分が$x^n/n!$となることと、剰余項が$0$に収束することから、高階導関数を順に計算せずに、マクローリン展開と同じ級数が得られました。
$I_k(x)$は定数$1$の$k$重の反復積分、$R_n(x)$は$e^{t_n}$の$n$重の反復積分である。
$$
e^x = \sum_{k=0}^{n-1} I_k(x) + R_n(x)
$$
$$ I_n(x) = \frac{x^n}{n!} $$
剰余項は$n\to\infty$で$0$に収束し、マクローリン展開と同じ級数が得られる。
$$
|R_n(x)| \le e^{|x|}\frac{|x|^n}{n!},\qquad
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
$$
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