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広義超積分の定義と収束条件

この記事は， 7777777 氏によるタグ超微分に関連しています．
前回，前々回の記事で超積分を定義し，その定理を見た．今回は広義積分の超積分バージョンを定義したい．

広義超積分の定義

広義超積分

関数$f:\mathbb{R}_{>0}\supset (a,b) \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$は$(a,b)$上連続とする．このとき$a<\forall \alpha <\forall\beta< b$に対する有界閉区間$[\alpha,\beta]$上の$f$の超積分値は定まる．$\alpha$が$a$に， $\beta$が $b$に近づいたときの極限である

$$ \lim_{\alpha \searrow a,\ \beta \nearrow b} \qinteg^{\beta}_{\alpha}f(x)\ \mathrm{q}x$$

が有限な値として存在するとき，$f$は$(a,b)$上で広義超積分可能，または広義超積分が収束するといい，その極限値を$\qinteg^{b}_{a}f(x)\ \mathrm{q}x$と表す．極限値が収束しないとき，$f$の$(a,b)$上での広義超積分は発散する，または収束しないという．特に極限値が$\infty$に発散するとき，広義超積分は$\infty$に発散するという．

(i)を正確に書くと，任意の$\varepsilon>0$に対してある$\delta>0$が存在して$b-\delta<\beta< b$，$a<\alpha< a+\delta$ならば
$$ \left|\qinteg^{b}_{a}f(x)\ \mathrm{q}x- \qinteg^{\beta}_{\alpha}f(x)\ \mathrm{q}x \right|<\varepsilon $$
となることである．
$f$の$(a,b)$での超原始関数を$F$とすると，$F$は$(a,b)$上で連続で，
$$\qinteg^{b}_{a}f(x)\ \mathrm{q}x=\lim_{\alpha \searrow a,\ \beta \nearrow b} \left( \frac{F(\beta)}{F(\alpha)} \right) $$
であることに注意する．つまり$a_n\rightarrow a$なる単調減少な列$\{a_n \}$と，$b_n\rightarrow b$なる単調増加な列$\{b_n \}$に対して，
$$\qinteg^{b}_{a}f(x)\ \mathrm{q}x=\lim_{n \rightarrow \infty} \qinteg^{b_n}_{a_n}f(x)\ \mathrm{q}x$$
となることである．
通常の広義積分と同様に次が言える．

関数$f:\mathbb{R}_{>0}\supset (a,b) \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$は$(a,b)$上連続とする．このとき$a_n\rightarrow a$なる単調減少な列$\{a_n \}$と，$b_n\rightarrow b$なる単調増加な列$\{b_n \}$が存在して
$$Q_n=\qinteg^{b_n}_{a_n}f(x)\ \mathrm{q}x$$
で定まる列$\{Q_n\}$が上に有界ならば，$f$は$(a,b)$上で広義超積分可能であり，$f$の超広義積分の値は極限値$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}Q_n$に等しい．
関数$f,g:\mathbb{R}_{>0}\supset (a,b) \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$は$(a,b)$上連続で，$f\leq g$とする．$g$ が$ (a,b)$上で広義超積分可能ならば，$f$ も$ (a,b)$上で広義超積分可能で，
$$\qinteg^{b}_{a}f(x)\ \mathrm{q}x\leq\qinteg^{b}_{a}g(x)\ \mathrm{q}x$$
を満たす．

$f$が$(a,b)$上で広義超積分可能であっても広義積分が収束しない場合や，逆に広義積分可能であっても広義超積分可能でない場合がある．

$f= \frac{1}{ \left( \log(x) \right)^2 } $は$[2,\infty)$で広義超積分可能だが，広義積分可能でない．

$f=\frac{\sin(x)}{ x\sqrt{x} } $は$(0,1]$で広義積分可能だが，広義超積分可能でない．

超定積分の変換公式から以下のような発散する条件が分かる．

関数$f:\mathbb{R}_{>0}\supset (0,b] \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$は$(0,b]$上連続で，$f(x) \geq 1$とする．また，$\displaystyle \lim_{x \searrow 0}f(x)$の値が定まり，その極限値が$1$以上ならば，$f$は$(0,b]$上での広義超積分は$\infty$に発散する．

$a_n\rightarrow 0$なる単調減少な列$\{a_n \}$をとる．このとき，
$$Q_n=\qinteg^{b}_{a_n}f(x)\ \mathrm{q}x=\exp \left( \int^{b}_{a_n} \frac{f(x)}{x} \ \mathrm{d}x \right)\geq\exp \left( \int^{b}_{a_n} \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x \right)= \frac{b}{a_n} $$
となる．よって$Q_n\rightarrow \infty$．

$f:\mathbb{R}_{>0}\supset (a,b) \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$が$(a,b)$上で広義超積分可能なとき，その値は$0$を取らない．