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広義超積分の定義と収束条件

この記事は， 7777777 氏によるタグ超微分に関連しています．
前回，前々回の記事で超積分を定義し，その定理を見た．今回は広義積分の超積分バージョンを定義したい．

広義超積分の定義

広義超積分

関数 $f : R_{> 0} \supset (a, b) \to R_{> 0}$ は $(a, b)$ 上連続とする．このとき $a < \forall α < \forall β < b$ に対する有界閉区間 $[α, β]$ 上の $f$ の超積分値は定まる． $α$ が $a$ に， $β$ が $b$ に近づいたときの極限である

$lim_{α ↘ a, β ↗ b}^{} \int_{α}^{β} f (x) q x$

が有限な値として存在するとき， $f$ は $(a, b)$ 上で広義超積分可能，または広義超積分が収束するといい，その極限値を $^{} \int_{a}^{b} f (x) q x$ と表す．極限値が収束しないとき， $f$ の $(a, b)$ 上での広義超積分は発散する，または収束しないという．特に極限値が $\infty$ に発散するとき，広義超積分は $\infty$ に発散するという．

(i)を正確に書くと，任意の $ε > 0$ に対してある $δ > 0$ が存在して $b - δ < β < b$ ， $a < α < a + δ$ ならば
$|^{} \int_{a}^{b} f (x) q x -^{} \int_{α}^{β} f (x) q x | < ε$
となることである．
$f$ の $(a, b)$ での超原始関数を $F$ とすると， $F$ は $(a, b)$ 上で連続で，
$^{} \int_{a}^{b} f (x) q x = lim_{α ↘ a, β ↗ b} (\frac{F (β)}{F (α)})$
であることに注意する．つまり $a_{n} \to a$ なる単調減少な列 ${a_{n}}$ と， $b_{n} \to b$ なる単調増加な列 ${b_{n}}$ に対して，
$^{} \int_{a}^{b} f (x) q x = lim_{n \to \infty}^{} \int_{a_{n}}^{b_{n}} f (x) q x$
となることである．
通常の広義積分と同様に次が言える．

関数 $f : R_{> 0} \supset (a, b) \to R_{> 0}$ は $(a, b)$ 上連続とする．このとき $a_{n} \to a$ なる単調減少な列 ${a_{n}}$ と， $b_{n} \to b$ なる単調増加な列 ${b_{n}}$ が存在して
$Q_{n} =^{} \int_{a_{n}}^{b_{n}} f (x) q x$
で定まる列 ${Q_{n}}$ が上に有界ならば， $f$ は $(a, b)$ 上で広義超積分可能であり， $f$ の超広義積分の値は極限値 $lim_{n \to \infty} Q_{n}$ に等しい．
関数 $f, g : R_{> 0} \supset (a, b) \to R_{> 0}$ は $(a, b)$ 上連続で， $f \leq g$ とする． $g$ が $(a, b)$ 上で広義超積分可能ならば， $f$ も $(a, b)$ 上で広義超積分可能で，
$^{} \int_{a}^{b} f (x) q x \leq^{} \int_{a}^{b} g (x) q x$
を満たす．

$f$ が $(a, b)$ 上で広義超積分可能であっても広義積分が収束しない場合や，逆に広義積分可能であっても広義超積分可能でない場合がある．

$f = \frac{1}{{(\log (x))}^{2}}$ は $[2, \infty)$ で広義超積分可能だが，広義積分可能でない．

$f = \frac{\sin (x)}{x \sqrt{x}}$ は $(0, 1]$ で広義積分可能だが，広義超積分可能でない．

超定積分の変換公式から以下のような発散する条件が分かる．

関数 $f : R_{> 0} \supset (0, b] \to R_{> 0}$ は $(0, b]$ 上連続で， $f (x) \geq 1$ とする．また， $lim_{x ↘ 0} f (x)$ の値が定まり，その極限値が $1$ 以上ならば， $f$ は $(0, b]$ 上での広義超積分は $\infty$ に発散する．

$a_{n} \to 0$ なる単調減少な列 ${a_{n}}$ をとる．このとき，
$Q_{n} =^{} \int_{a_{n}}^{b} f (x) q x = \exp (\int_{a_{n}}^{b} \frac{f (x)}{x} d x) \geq \exp (\int_{a_{n}}^{b} \frac{1}{x} d x) = \frac{b}{a_{n}}$
となる．よって $Q_{n} \to \infty$ ．